2025-2026学年数学九年级上册人教版第21章一元二次方程解答题专项训练（含答案）

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2025-2026学年数学九年级上册人教版第21章一元二次方程解答题专项训练
1．已知m是方程的一个根，求代数式的值．
2．已知m 为一元二次方程. 的根，求 的值.
3．化简求值：，其中m是方程的根
4．关于x的一元二次方程有实根.
（1）求k的最大整数值；
（2）当k取最大整数值时，方程的根满足，求m的值.
5．已知关于x的一元二次方程．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况．
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
6．已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，求的值．
7．关于x的一元二次方程．
（1）判断该方程根的情况，并说明理由；
（2）若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根．
8．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，是原方程的两根，且，求m的值．
9．已知的一条边的长为，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）当为何值时，是以为斜边的直角三角形；
（2）当为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
10．已知关于x的方程的根为、．
（1）当时，求的值；
（2）若方程的一个根，求a的值与另一个根．
11．已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
13．已知关于的一元二次方程为实数
（1）求证：无论取何值，该方程总有两个实数根；
（2）该方程的两个实数根为、，若，求正数的值．
14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则　 　；
（2）若是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之间的关系．
15．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数的值．
16．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
17．某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为45元/千克时，每月销售水果______千克；
（2）当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？
（3）当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？
18．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
19．随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
20．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽为x米，请你用含x的代数式表示的长___________米；
（2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽．
21．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
22．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
答案解析部分
1．【答案】解：将x=m代入方程可得：
m2+3m-4=0，即m2+3m=4
∴原式=m2+2m+1+m2+4m=2(m2+3m)+1=2×4+1=9
2．【答案】解：∵m为一元二次方程 的根，
2023
∴原式 =m3+3m2-m2-3m-2023m+2023
=m(m2+3m)-(m2+3m)-2 023m+2023
=2023m-2023-2023m+2023
=0.
3．【答案】；
4．【答案】（1）（2）
5．【答案】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根
（2）或
6．【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，，
∴，即
∴；
（2）解：∵，，
由得，，
∴，
解得，，
∵，
∴．
7．【答案】（1）解：方程有两个实数根．
理由∶∵关于x的一元二次方程中，
，，，
∴，
∵无论m为任意实数，，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
设方程的另一个根为，
∵，
∴．
∴，方程的另一个根为2．
8．【答案】（1）证明：∵
∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴，
又∵
∴，
解得：，．
9．【答案】（1）解：由题意得，，，∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得或(不合题意，舍去)，
∴
（2）解：①当为腰长时，则方程有一个根为，代入方程得，，
∴，
∴方程为，
解得，，
∴等腰三角形的三边为，
∴的周长为；
②当为底边时，则方程有个相同的实数根，
∴，
整理得，，
∴，
方程为，
解得，
∴等腰三角形的三边为，
∴的周长为；
综上，当时，的周长为；当时，的周长为
10．【答案】（1）解：∵当时，方程为，
，
.
（2）解：∵方程的根为、，，
，
即，
解得：，
11．【答案】（1）解：方程有两个实数根，
，
解得：
（2）解：方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
12．【答案】（1）解：由题知，
，
解得．
又，
所以的取值范围是且．
（2）解：因为该方程有两个实数根分别为、，
所以，．
又，
即，
所以，
解得，
经检验是原方程的解．
又且，
所以．
13．【答案】（1）证明：，
无论取何值，该方程总有两个实数根
（2）解：，即，
解得：或，
，，
，，
，
，
14．【答案】（1）
（2）解：解方程得，，．
方程两根是倍关系，
或，
当时，，即，
代入代数式，
当时，，即，
代入代数式．
综上所述，
（3）解：根据“倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和．
原方程可以改写为，
，
．
解得．
，，之间的关系是
15．【答案】（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵方程两实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
16．【答案】（1）证明：方程为：，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，
解得：，
实数的值为．
17．【答案】（1）350
（2）解：设这种水果的售价为x元/千克，
则由题意，得：，
解得，
故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克
（3）解：设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，则由题意，得：
又由可知抛物线的开口向下，
∴当时，
故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元
18．【答案】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，
当时，售价为，
∴，
∴购买的这种健身器材的套数为200套．
19．【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
由题意得：
解得：（舍），，
答： 该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
20．【答案】（1）
（2）解：由题意可得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，故舍去；
当时，，符合题意；
答：此时花圃的宽为9米．
21．【答案】（1）解：设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣ ×20）个，
依题意，得：280﹣ ×20≥130，
解得：x≤55．
答：每个背包售价应不高于55元．
（2）解：∵销售利润是3120元
∴（x﹣30）（280﹣ ×20）＝3120，
整理，得：x2﹣98x+2352＝0，
解得：x1＝42，x2＝56（不合题意，舍去）．
答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．
（3）解：∵销售利润是3700元，
∴（x﹣30）（280﹣ ×20）＝3700，
整理，得：x2﹣98x+2410＝0．
∵△＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，
∴该方程无解，
∴这种书包的销售利润不能达到3700元．
22．【答案】解：（1）-2；1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
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