2025-2026学年数学九年级上册人教版第22章二次函数解答题专项训练（含解析）

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2025-2026学年数学九年级上册人教版第22章二次函数解答题专项训练
1．已知二次函数 .
（1）当 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
2．二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标．
（3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
3．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 和 ．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）当 时，请根据图象直接写出 的取值范围．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，
①求证：该抛物线的顶点不在第三象限；
②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值．
（2）若，直线与该抛物线有两个交点A、，其坐标分别为和．当时，求的最小值．
5．已知二次函数（其中，为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点，求的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围．
6．已知二次函数 ，且经过点 ．
（1）求二次函数的表达式．
（2）将该二次函数图象向下平移 5 个单位，求平移后图象与 轴的交点坐标．
7．记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线．
（1）若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ；
（2）设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
①求p，q的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
8．已知抛物线（）．
（1）若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴．
（2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式．
（3）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，求证：．
9．已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
10．已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值和二次函数的对称轴．
（2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值．
11．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
（1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
（2）已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
12．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？
13．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数．
（1）当，时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数．
（1）当，时，请求出该函数图象上的完美点坐标；
（2）已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围．
15．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点…都是和谐点．
（1）判断二次函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点
①求这个二次函数的解析式；
②若时，函数的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围．
16．已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值；
（3）若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围；
（4）已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．
17．如图，已知二次函数的图象经过点和点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标；
（3）点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标．
18．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
19．某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：
x 12 14 15 17
y 36 32 30 26
⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？
⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
20．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示．
（1）分别求出、与之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
21．综合实践：测量拱形门建筑的高度．
素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8．
任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离．
22．2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为．
（1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；
（2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？
（3）守门员乙站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止球员甲的此次射门吗？
23．如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米．
（1）求的值．
（2）已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值．
24．二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图象模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．
（1）求出a，k的值；
（2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】（1）解： ，对称轴 ，
分类讨论： ① 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
② 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 或 不符合题意，舍去.
④当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，
解得 或 不符合题意，舍去.
综上， 或 .
（2）解：分类讨论：
① 当 时，即 ，当 时， ，即 ，解得 ，故 .
② 当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，不符合题意，舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，故 .
综上，
2．【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线，
∴，解得，
∴该二次函数的解析式为.
（2）解：∵ 图象上的点称为函数的不动点，
∴，
解得：，，
∴这个函数不动点的坐标为和.
（3）解：∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
∴当时，y有最小值，
当时，y有最大值5，
∴的最大值与最小值的差为．
3．【答案】（1）解：将 代入二次函数 （ 为常数） 中，
得到 ，解得 ，
∴
，，
∴顶点坐标
（2）解：令，变形为x2-x-2=0，即（x+1）（x-2）=0，
解得x=-1或x=2，
∴ 当 时，。
4．【答案】（1）解：①证明：当时，抛物线为，∴顶点坐标为，
若顶点在第三象限，则解得：，即该不等式组无解．
∴抛物线的顶点不在第三象限．
②解：∵抛物线与轴有两个不同交点，
∴．
∴．
∵为自然数，
∴．
∴抛物线为．
当时，，．则．
（2）解：∵直线与抛物线有两个交点和，
∴．解得：．
∴．
∵，
∴．
∴，
∵直线与该抛物线有交点，
∴，解得：，
∴抛物线为．
∴的图象开口方向向上，对称轴为直线．
①当，即时，，随的增大而减小，
∴当时，取最小值为．
②当，即时，，随的增大而减小，
，随的增大而增大，
∴当时，取最小值为0．
③当时，，随的增大而增大，
∴当时，取最小值为．
综上可知：当时，取最小值为；
当时，取最小值为0；
当时，取最小值为．
5．【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；

（2）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）解：∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．

6．【答案】（1）解：∵二次函数 经过点(2，0)，
解得
∴二次函数的表达式为
（2）解：∵二次函数的表达式为
∴将该二次函数图象向下平移5个单位，得到的函数解析式为
当 时， 解得
∴平移后图象与x轴的交点坐标为(1，0)，( .
7．【答案】（1）
（2）①；②或
8．【答案】（1）解：当，
∴与y轴交点为，
∵抛物线经过点，
∴对称轴为直线：，
∴对称轴为直线；
（2）解：点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后所得到的点为，由题意得把，代入
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）证明：∵抛物线的对称轴为直线，∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
将点，代入得，，
∴，
∵，
∴当时，
取得最大值18，即．
9．【答案】（1）函数，，
二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为，
二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大，
，
（2）点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
，，
，
，
，
时，有最大值；
，
，
，
，
，
整理得，，
即，
，，
时，始终有，
的值不会随的变化而变化，
10．【答案】（1）解：把代入得，
解得，
二次函数解析式为，
，
二次函数图象的对称轴为直线
（2）该函数图象向上平移个单位长度后所得函数图象的解析式为，
平移后的二次函数图象与轴只有一个交点，
关于的一元二次方程有个相等的实数解，
，
解得，
即的值为
11．【答案】（1）解：（答案不唯一）
（2）解：①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x），
将（x，-x），代入y=x2-mx-3，
得，则，
，
∴此方程存在两个不相等的实数根，
∴该函数图象上一定存在两个“点”；
②∵这两个“点”的横坐标分别是，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
12．【答案】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标，设抛物线的方程为，
又∵点在抛物线上，
∴．
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：货车可以从该隧道内通过．理由如下：当时，得：，
解得：，，
∵，
∴货车可以从该隧道内通过．
13．【答案】（1）解：当，时，，
令，则，
解得：，，
该函数的完美点为，
（2）解：令，即，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，，则．
又方程根为，
，，
该二次函数的解析式为
（3）解：，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为，
与轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点．在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；
当时，函数的最小值为，最大值为，
14．【答案】（1）解：当a=1，c=2时，y=x2+4x+2，
令y=x，则x2+3x+2=0，
解得：x1=-1，x2=-2，
∴该函数的完美点为P1(-1，-1)，P2(-2，-2)
（2）解：令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴Δ=9-4ac=0，则4ac=9.
又方程根为，
∴a=-1，
∴该二次函数的解析式为
（3）解：∵，
∴该二次函数图象如图所示，顶点坐标为(2，1)，
与y轴交点为(0，-3)，根据对称规律，点(4，-3)也是该二次函数图象上的点.在x=2左侧，y随x的增大而增大；在x=2右侧，y随x的增大而减小；
∵当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，
∴2≤m≤4
15．【答案】（1）存在和谐点，和谐点的坐标为，
（2）①；②当时，函数的最小值为1，最大值为3
16．【答案】（1）
（2）6
（3）或
（4）或
17．【答案】（1）
（2）该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为
（3） ， 点的坐标为
18．【答案】（1）解∶设y与x的函数表达式为，
把，；，代入，得，
解得，
∴y与x的函数表达式为；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴，
化简得
解得，
当时，，
则每盒的利润为：，舍去，
∴m的值为2．
19．【答案】解：（1）设关系式为y=kx+b，把（12，36），（14，32）代入得：，
解得：k=-2，b=60，
∴y与x的之间函数关系式为y=-2x+60，
通过验证（15，30）（17，26）满足上述关系式，
因此y与x之间的函数关系式就是y=-2x+60．
自变量的取值范围为：10≤x≤18．
（2）根据题意得：（x-10）（-2x+60）=168，
解得：x=16，x=24舍去，
答：获得平均每天168元的利润，售价应定为16元/kg；
（3）W=（x-10）（-2x+60）=-2x2+80x-600=-2（x-20）2+200，
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x=18时，W最大=-2（18-20）2+200=192元，
答：W与x之间的函数关系式为W=-2（x-20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．
20．【答案】（1），；（2）①，当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元；②乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内
21．【答案】解：任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可设．
将点代入上式，得．
．
任务2：因为，即抛物线的顶点坐标为，则拱形门建筑最高点到地面的距离为20．
22．【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是，
把代入，得，
解得，
则抛物线解析式为：；

（2）解： 当时，，
故：能射进球门；
答：足球能射进球门．
（3）解：当时，，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当时，，
解得：（舍去），
∴，
答：他至少后退，才能阻止球员甲的射门．
23．【答案】（1）解：由题意得，，
解得：
（2）解：由上得，抛物线解析式为，
当时，，
整理得，，
解得：或，
∵，
∴．
24．【答案】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为，
∴抛物线和直线均经过点，
∴，，
解得：，；
（2）解：由①知：，，
∴，
∴最大值，
当时，，
解得：，，
又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．而火箭第二级的引发点的高度为，
∴不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度时，在第二级则，
解得：，
∴，
∴这两个位置之间的距离为．
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