第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
【课前预习】
知识点一
横坐标
诊断分析
(1)× (2)√ [解析] (1)零点不是点,是一个数,是函数图象与x轴交点的横坐标.
知识点二
f(a)·f(b)<0 至少有一个
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (2)函数y=x2在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)·f(2)>0.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)3 (2)D (3)D [解析] (1)由题图知函数f(x)在[a,d]内有3个零点.
(2)由题图可知a<0,c>0,∵函数图象的对称轴为直线x=1,函数图象与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),∴3是函数的一个零点.故选D.
(3)根据题意可知x=2,x=0为f(x)的零点,因为奇函数的图象关于原点对称,所以x=-2也为f(x)的零点,所以f(x)的零点共有3个,故选D.
探究点二
提问 解方程
例2 解:①当a=0时,函数f(x)=-x+1.令-x+1=0,得x=1,则函数f(x)的零点为1.
②当a=1时,函数f(x)=(x-1)2.令(x-1)2=0,得x=1,则函数f(x)的零点为1.
③当a≠0且a≠1时,令(ax-1)(x-1)=0,得x=1或x=,则函数f(x)的零点为1,.
综上,当a=0或a=1时,函数f(x)的零点为1;当a≠0且a≠1时,函数f(x)的零点为1,.
变式 -2,e [解析] 由f(x)=0,得或解得x=-2或x=e.所以函数f(x)的零点为-2,e.
探究点三
例3 解:令f(x)=0得3x=lox.
作出y=3x(x>0)和y=lox的图象,如图所示,
由图可知y=3x(x>0)和y=lox的图象有1个交点,
∴f(x)=3x-lox有1个零点.
变式 (1)B (2)B [解析] (1)因为y=2x与y=x3-2在R上均为增函数,所以函数f(x)=2x+x3-2在R上是增函数,因此函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上单调递增,又f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以f(x)在(0,1)上有1个零点.
(2)由f(-2)=f(0)得4-2b+c=c,所以b=2,由f(-3)=9-6+c=1,得c=-2,所以当x≤0时,f(x)=x2+2x-2.当x≤0时,由f(x)-x=x2+x-2=0,得x=-2或x=1(舍去).当x>0时,由f(x)-x=2-x=0,得x=2.因此方程f(x)-x=0只有两个解,即函数y=f(x)-x有两个零点.故选B.
例4 (1)B (2)A [解析] (1)易知f(x)=ln x+x-4在(0,+∞)上单调递增,又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)的零点在区间(2,3)内.故选B.
(2)易知f(x)=ax2+bx+c的图象是一条连续不断的曲线,因为f(-3)×f(-1)=6×(-4)=-24<0,所以f(x)在(-3,-1)内有零点,即方程ax2+bx+c=0在(-3,-1)内有根.同理方程ax2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A.
变式 (1)C (2)B [解析] (1)令f(x)=ex-x-2,则由表中数据知f(-1)=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7.39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,因为f(1)·f(2)<0,f(x)的图象是连续不断的曲线,所以f(x)的一个零点在区间(1,2)内,即方程ex-x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选C.
(2)根据指数函数和幂函数的性质,可得>,<,所以f=->0,f=-<0,即f·f<0.又f(x)=-为R上的减函数,所以由零点存在定理,可得函数f(x)=-有且只有一个零点且零点x0∈.故选B.
例5 (1)0或- (2)D [解析] (1)若a=0,则f(x)=-x-1,易知函数f(x)仅有一个零点.若a≠0,则f(x)为二次函数,由f(x)仅有一个零点,得方程ax2-x-1=0有两个相等的实数根,故Δ=1+4a=0,即a=-.综上所述,当a=0或a=-时,函数f(x)仅有一个零点.
(2)作出f(x)=的图象和直线y=k,如图所示,由图可知-4
变式 (0,2) [解析] 由|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b,由题意可知函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个交点,结合函数y=|2x-2|与y=b的图象(如图所示)可知0拓展 D [解析] 函数f(x)在上无零点,在上有零点,即方程f(x)=0在上无实数根,在上有实数根,即方程logax=4x-1在上无实数根,在上有实数根.设g(x)=logax,h(x)=4x-1,则函数h(x)在R上为增函数,且h(0)=,h=,h(1)=1,h(x)=4x-1>0恒成立.若a>1,则当x∈(0,1)时,g(x)=logax<0,不满足条件,故0§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
1.B [解析] 根据题意可知f(x)的图象与x轴的交点为(2,0),所以函数f(x)的零点为2.故选B.
2.B [解析] 函数f(x)=x3+x-5为增函数,f(1)=1+1-5=-3<0,f(2)=8+2-5=5>0,则f(1)f(2)<0,所以根据函数的零点存在定理可得,函数f(x)的零点所在区间为(1,2),故选B.
3.B [解析] 因为函数y=2x,y=x-1在R上均为增函数,所以函数f(x)=2x+x-1在R上为增函数,因为x1∈(-1,x0),x2∈(x0,+∞),所以f(x1)f(x0)=0.故选B.
4.D [解析] 因为ax2-x-c>0的解集为{x|-35.C [解析] 由题可知f(a)=f(b)=-2<0,f(α)=f(β)=0,又因为f(x)的图象开口向上,所以α6.B [解析] 当a≥0时,函数f(x)在区间(1,10)上恒有f(x)>0,此时f(x)在区间(1,10)上无零点,不满足题意;当a<0时,函数f(x)在区间(1,10)上单调递增,因为f(x)在(1,10)上有唯一的零点,所以只需f(1)·f(10)<0,即a(a+10)<0.
7.C [解析] 函数f(x)=-log3x的定义域为(0,+∞).因为函数y=(x>0)和函数y=-log3x在(0,+∞)上都是减函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.由实数a是函数f(x)=-log3x的零点,得f(a)=0.若x0>a,则必有f(x0)<0,故选C.
8.CD [解析] 对于A,零点不是点,f(x)=lg x的零点是1,故A错误;对于B,如f(x)=x2-x在(-1,2)上有两个零点,但f(-1)·f(2)>0,故B错误;对于C,根据二次函数的零点和判别式之间的关系可知C正确;对于D,在同一平面直角坐标系中作出y=ln x与y=2x-6的图象,如图所示,由图可知y=ln x与y=2x-6的图象有两个交点,所以f(x)零点的个数为2,故D正确.故选CD.
9.AD [解析] 因为y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,所以Δ=a2-4b=0,即a2=4b,b>0.对于选项A,a2-b2=4b-b2=-(b-2)2+4≤4,A中结论错误;对于选项B,a2+=4b+≥2=4,当且仅当b=时等号成立,B中结论正确;对于选项C,不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2=-b<0,C中结论正确;对于选项D,x3+x4=-a,x3x4=b-c,故|x3-x4|2=(x3+x4)2-4x3x4=a2-4b+4c=4c=16,解得c=4,D中结论错误.故选AD.
10.1 [解析] 令f(x)=lg x+x-2,显然f(x)在(0,+∞)上是增函数,且其图象为连续的曲线,因为f(1)<0, f(2)>0,所以f(x)在(1,2)上有唯一的零点,即方程lg x+x=2在(1,2)上只有一个根,又方程的根x0∈(k,k+1),k∈Z,所以k=1.
11.3 [解析] 由表可知,f(-2)·f(-1.5)<0,f(-0.5)·f(0)<0,f(0)·f(0.5)<0,所以函数f(x)在区间[-2,2]内至少有3个零点.
12.(1,+∞) [解析] 令f(x)=0,得logax=x-2,作出函数y=logax和y=x-2的图象.当a>1时,函数y=logax和y=x-2(x>0)的图象如图①所示.由图①可知函数y=logax和y=x-2(x>0)的图象有两个交点,所以f(x)=logax-x+2有两个零点,符合题意.当00)的图象如图②所示.由图②可知y=logax和y=x-2(x>0)的图象有一个交点,所以f(x)=logax-x+2有一个零点,不符合题意.综上,a的取值范围为(1,+∞).
① ②
13.解:设函数f(x)=x3-2x,易知f(x)在[1,2]上的图象是一条连续不断的曲线.
∵f(1)=1-2=-1<0,f(2)=8-4=4>0,∴f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)=x3-2x在区间[1,2]上有零点,即方程x3=2x在区间[1,2]上有实数解.
14.解:(1)令x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2+2(-x)+1=x2-2x+1,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),则当x>0时,f(x)=x2-2x+1,所以f(x)=作出函数f(x)的大致图象,如图所示.
(2)令g(x)=0,则f(x)-m=0,即f(x)=m.因为g(x)=f(x)-m有四个零点,所以函数y=f(x),y=m的图象有四个交点,结合(1)中作出的函数f(x)的大致图象可知,当m∈(0,1)时,y=f(x)与y=m的图象有四个交点,则m的取值范围为(0,1).
15.D [解析] g(x)=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4(x116.解:(1)由题知,当x>0时,f(x)=log2x+x-3,则f(1)=log21+1-3=-2,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2)=2.
设x<0,则-x>0,f(-x)=log2(-x)+(-x)-3=log2(-x)-x-3,又f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-log2(-x)+x+3,
又f(0)=0,所以f(x)=
(2)由(1)知,f(x)=
当x>0时,f(x)=log2x+x-3,f(x)单调递增,
由f(1)=-2<0,f(3)=log23>0,得f(x)在(0,+∞)上有1个零点.
因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上也有1个零点,又f(0)=0,所以f(x)在R上的零点个数为3.第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
【学习目标】
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
◆ 知识点一 函数的零点
使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=x+1的零点是(-1,0). ( )
(2)函数y=x2-2x-3有两个零点. ( )
◆ 知识点二 零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即 ,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0 解.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x)在区间[a,b]内满足f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内无零点. ( )
(2)f(x)在区间(a,b)内有一个零点,则f(a)·f(b)<0. ( )
◆ 探究点一 由图象确定函数的零点
例1 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在[a,d]内有 个零点.
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是 ( )
A.a>0
B.c<0
C.(-1,0)是函数的一个零点
D.3是函数的一个零点
(3)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2-2x(x≥0),则函数f(x)的零点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[素养小结]
由图象确定函数的零点个数主要有两种方法:
1.直接画出函数的图象,通过图象与x轴交点的个数确定零点个数.
2.将函数f(x)写成f(x)=h(x)-g(x)的形式,画出函数y=h(x)与y=g(x)的图象,根据两函数图象的交点个数判断方程h(x)=g(x)的根的个数,即可确定函数f(x)的零点个数.
◆ 探究点二 由方程的解求函数的零点
[提问] 当方程易得出解时,可通过 得到对应函数的零点.
例2 求函数f(x)=(ax-1)(x-1)(a∈R)的零点.
变式 函数f(x)=的零点为 .
[素养小结]
求函数y=f(x)的零点通常有两种方法:其一是令y=0,由对应方程的根求得函数的零点;其二是画出函数的图象,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
◆ 探究点三 函数零点的综合问题
角度1 判断函数零点个数
例3 求函数f(x)=3x- lox的零点个数.
变式 (1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)上的零点个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)设函数f(x)=若f(-2)=f(0),f(-3)=1,则函数y=f(x)-x的零点个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[素养小结]
确定函数零点个数的方法:
(1)因式分解法:可转化为一元n次方程根的个数问题,一般采用因式分解法来解决.
(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数.
(3)图象法:将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用图象法解决.
(4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.
角度2 判断函数零点所在的区间
例4 (1)函数f(x)=ln x+x-4的零点所在的区间为 ( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(5,6)
(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是 ( )
A.(-3,-1)和(2,4)
B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
变式 (1)根据下表中的数据,可以判断方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为 ( )
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
(2)若x0是函数f(x)=-的零点,则x0属于区间 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
(1)判断一个函数是否有零点,首先看函数f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,其次判断f(a)·f(b)<0是否成立,若成立,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)已知函数f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,若存在f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内有零点,若只有一个零点,则称此零点为变号零点.反过来,若f(a)与f(b)不变号,而是同号,即不满足f(a)·f(b)<0,也不能说函数f(x)在(a,b)内无零点,如f(x)=x2在[-1,1]上的图象是连续不断的曲线,且f(-1)·f(1)=1>0,但0是f(x)的零点.
角度3 由函数零点(或方程的解)的个数求参数问题
例5 (1)函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,则实数a= .
(2)已知函数f(x)=的图象与直线y=k有三个不同的交点,则k的取值范围是 ( )
A.(-4,-3) B.[-4,-3)
C.[-4,-3] D.(-4,-3]
变式 若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
[素养小结]
解此类题的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.求解时首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.
拓展 已知函数f(x)=logax-4x-1(a>0且a≠1)在上无零点,在上有零点,则实数a的取值范围为 ( )
A. B.∪(1,+∞)
C. D.第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的零点为 ( )
A.1
B.2
C.(0,1)
D.(2,0)
2.函数f(x)=x3+x-5的零点所在区间为 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.[2023·江西铜鼓中学高一月考] 已知x0(x0>-1)是函数f(x)=2x+x-1的零点,若x1∈(-1,x0),x2∈(x0,+∞),则 ( )
A.f(x1)>0,f(x2)<0
B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)>0
D.f(x1)<0,f(x2)<0
4.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-3A.(3,0)和(-2,0) B.(-3,0)和(2,0)
C.2和-3 D.-2和3
5.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,aA.a<αC.α6.函数f(x)=+lg x在区间(1,10)上有唯一的零点,则实数a应满足的条件为 ( )
A.a(a+10)>0 B.a(a+10)<0
C.a(a+1)>0 D.a(a+1)<0
7.已知实数a是函数f(x)=-log3x的零点,若x0>a,则f(x0)的值满足 ( )
A.f(x0)=0
B.f(x0)>0
C.f(x0)<0
D.f(x0)的符号不能确定
8.(多选题)下列关于函数零点的论述中,正确的是 ( )
A.函数f(x)=lg x的零点是(1,0)
B.若图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)((a,b) D)内有零点,则f(a)·f(b)<0
C.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点
D.设函数f(x)=ln x-2x+6,则f(x)零点的个数为2
9.(多选题)[2023·陕西榆林高一月考] 已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则下列结论中错误的是 ( )
A.a2-b2≥4
B.a2+≥4
C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2<0
D.若不等式x2+ax+b二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.若方程lg x+x=2的根x0∈(k,k+1),其中k∈Z,则k= .
11.已知函数f(x)的图象是不间断的,且有如下的x,f(x)对应值表:
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89
则函数f(x)在区间[-2,2]内的零点个数至少为 .
12.已知函数f(x)=logax-x+2(a>0,且a≠1)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)试判断方程x3=2x在区间[1,2]上是否有实数解.
14.(10分)[2023·新疆阿克苏月考] 已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x2+2x+1.
(1)求函数f(x)在R上的表达式,并在图中的平面直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象;
(2)若g(x)=f(x)-m有四个零点,求实数m的取值范围.
15.(5分)[2023·安徽阜阳三中高一期中] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1A.(2,+∞) B.
C. D.
16.(15分)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x+x-3.
(1)求f(-1)的值和函数f(x)的表达式;
(2)求f(x)在R上的零点个数.(共33张PPT)
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．
知识点一 函数的零点
使得的数称为方程的解，也称为函数的零点. 的零
点就是函数的图象与 轴交点的________.
横坐标
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的零点是 .( )
×
[解析] 零点不是点，是一个数，是函数图象与 轴交点的横坐标.
（2）函数 有两个零点.( )
√
知识点二 零点存在定理
若函数在闭区间 上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的
函数值一正一负，即_______________，则在开区间内，函数 至少
有一个零点，即在区间内相应的方程 ____________解.
至少有一个
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在区间内满足,则在区间 内无零点.( )
×
（2）在区间内有一个零点，则 .( )
×
[解析] 函数在区间内有零点，但 .
探究点一 由图象确定函数的零点
例1（1） 已知函数的图象如图所示，则函数在 内有___个零点.
3
[解析] 由题图知函数在 内有3个零点.
（2）已知二次函数 的图象如图
所示，则下列结论中正确的是( )
D
A.
B.
C. 是函数的一个零点
D.3是函数的一个零点
[解析] 由题图可知,, 函数图象的对称轴为直线，函数图象与
轴的一个交点的坐标为， 函数图象与轴的另一个交点的坐标为 ，
是函数的一个零点.故选D.
（3）定义在上的奇函数满足，则函数 的零点
个数为( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 根据题意可知，为 的零点，因为奇函数的图象关于原点
对称，所以也为的零点，所以 的零点共有3个，故选D.
［素养小结］
由图象确定函数的零点个数主要有两种方法：
1.直接画出函数的图象，通过图象与 轴交点的个数确定零点个数.
2.将函数写成的形式，画出函数与 的
图象，根据两函数图象的交点个数判断方程 的根的个数，即可确定
函数 的零点个数.
探究点二 由方程的解求函数的零点
［提问］ 当方程易得出解时，可通过________得到对应函数的零点.
解方程
例2 求函数 的零点.
解：①当时，函数.令，得,则函数 的零
点为1.
②当时，函数.令，得，则函数 的零
点为1.
③当且时，令，得或，则函数 的
零点为1， .
综上，当或时，函数的零点为1；当且时，函数
的零点为1， .
变式 函数 的零点为_______.
，
[解析] 由,得或解得或 .
所以函数的零点为， .
［素养小结］
求函数的零点通常有两种方法：其一是令 ，由对应方程的根求得函
数的零点；其二是画出函数的图象，图象与 轴的交点的横坐标即为函数的零点.
探究点三 函数零点的综合问题
角度1 判断函数零点个数
例3 求函数 的零点个数.
解：令得 .
作出和 的图象，如图所示，
由图可知和 的图象有1个交
点，
有1个零点.
变式（1） 函数在区间 上的零点个数是( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因为与在 上均为增函数，所以函数
在上是增函数，因此函数在 上单调
递增，又，，所以 在
上有1个零点．
（2）设函数若， ，则函数
的零点个数为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由得，所以 ，
由，得，
所以当时， .
当时，由，得或（舍去）.
当 时，由，得.
因此方程 只有两个解，即函数 有两个零点．故选B.
［素养小结］
确定函数零点个数的方法:
（1）因式分解法:可转化为一元 次方程根的个数问题,一般采用因式分解法来解决.
（2）判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根
的个数.
（3）图象法:将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用
图象法解决.
（4）单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数
在所给区间上只有一个零点.
角度2 判断函数零点所在的区间
例4（1） 函数 的零点所在的区间为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 易知在上单调递增，又 ,
，所以，所以的零点在区间 内.故选B.
（2）二次函数 的部分对应值如下表：
0 1 2 3 4
6 6
不求，，的值，判断方程 的两根所在的区间是( )
A
A.和 B.和
C.和 D.和
[解析] 易知 的图象是一条连续不断的曲线，
因为，所以在 内有零点，
即方程在内有根.同理方程在
内有根.故选A.
变式（1） 根据下表中的数据，可以判断方程 的一个根所在的
区间为( )
0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
C
A. B. C. D.
[解析] 令，则由表中数据知 ，
， ，
， ，
因为，的图象是连续不断的曲线，所以 的一个零点在区间
内，即方程的一个根在区间 内.故选C.
（2）若是函数的零点，则 属于区间( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据指数函数和幂函数的性质，可得, ，
所以,，即 .
又为 上的减函数，所以由零点存在定理，可得函数
有且只有一个零点且零点 .故选B.
［素养小结］
（1）判断一个函数是否有零点，首先看函数在区间 上的图象是否连续，
其次判断是否成立，若成立，则函数在区间 内必
有零点．
（2）已知函数在上的图象是连续不断的曲线，若存在 ，
则在区间 内有零点，若只有一个零点，则称此零点为变号零点.反过来，
若与不变号，而是同号，即不满足，也不能说函数
在内无零点，如在 上的图象是连续不断的曲线，且
，但0是 的零点．
角度3 由函数零点（或方程的解）的个数求参数问题
例5（1） 函数仅有一个零点，则实数 _______.
0或
[解析] 若,则,易知函数仅有一个零点.
若,则 为二次函数，
由仅有一个零点，得方程 有两个相等的实数根，
故,即.
综上所述，当或时，函数 仅有一个零点.
（2）已知函数的图象与直线 有三个不同的交
点，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 作出的图象和直线 ，如图所示，由图可
知 ,故选D.
变式 若函数有两个零点，则实数 的取值范围是______.
[解析] 由,得,由题意可知函数与
的图象有两个交点，结合函数与 的图象（如图所示）可知
.
［素养小结］
解此类题的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.求解时
首先根据已知条件构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数
的图象，最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.
拓展 已知函数且在 上无零点，在
上有零点，则实数 的取值范围为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 函数在上无零点，在 上有零点，
即方程在上无实数根，在 上有实数根，
即方程在上无实数根，在 上有实数根.
设,，则函数 在上为增函数，
且,, ， 恒成立.
若，则当时， ，不满足条件，故 .
由于与的图象在上无交点，在 上有交点，
因此根据函数与 的图象（如图所示）
可知解得 ，故选D.
如何理解函数的零点的概念？
函数的零点是实数，是函数的图象与 轴交点的横坐标，而不是一个点，因此判
断函数是否有零点，有几个零点，就是判断对应的方程是否有实数根，有几个
实数根，也就是判断函数的图象与 轴是否有交点，有几个交点.并非所有的函
数的图象与 轴都有交点，所以并非所有的函数都有零点.
例 [2024·湖北荆州高一期末] 函数 的零点所在的区间是 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为函数，，都在 上单调递增，
所以函数在上单调递增.
因为函数 的图象是连续不断的，且，
，所以，
所以函数的零点所在的区间是 .故选A.
零点存在定理
判断在上的图象是一条连续曲线的函数在区间 上是否存在零点，
通常利用赋值法求解，判断 的正负即可.