1.2 利用二分法求方程的近似解
【课前预习】
知识点一
连续的曲线 中点
诊断分析
解:我们把称为区间(a,b)的中点,区间的中点是数不是点.
知识点二
(1)异号 (2)中点 异号 (3)任意一个
诊断分析
解:不会.初始区间的选定,往往需要通过分析函数的性质和试算,长度应尽可能的小.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)B (3)C [解析] (1)用二分法求函数零点的近似值仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.观察所给的四个函数的图象,它们与x轴都有交点,但B中的图象在x轴上或x轴上方,即函数在零点附近的函数值不变号,无法用二分法.故选B.
(2)∵f(1.5)·f(1.25)<0,且f(x)在R上是增函数,∴方程的根所在的区间是(1.25,1.5).
(3)易知选项C中的函数f(x)=x2的零点为x=0,而在零点左右两侧的函数值都为正数,故不能用二分法求零点;选项A,B,D中的函数,它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反,可以用二分法求函数的零点.故选C.
探究点二
例2 解:设f(x)=2x+3x-6,在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x和y=6-3x的图象,观察图象可以发现,它们的图象仅有一个交点,即方程2x=6-3x有唯一解,设为x0.因为f(1)=2+3-6=-1<0,f(2)=4+6-6=4>0,所以f(1)·f(2)<0,即方程2x=6-3x的解x0∈(1,2).利用二分法,可以得到下表:
区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点 f
(1,2) f(1)<0 f(2)>0 1.5 f(1.5)≈1.33>0
(1,1.5) f(1)<0 f(1.5)>0 1.25 f(1.25)≈0.13>0
(1,1.25) f(1)<0 f(1.25)>0 1.125 f(1.125)≈-0.44<0
(1.125,1.25) f(1.125)<0 f(1.25)>0 1.187 5 f(1.187 5)≈-0.16<0
因为|1.187 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以当精确度为0.1时,方程的解x0∈(1.187 5,1.25),因此可选取这一区间上的任意一个数作为方程的近似解,如可取x0=1.2作为方程2x=6-3x的一个近似解.
变式 解:(1)令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,
即方程f(x)=0在(0,1)内有解.
取区间(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)=-1.25<0,
又f(1)>0,所以方程f(x)=0在(0.5,1)内有解.
如此下去,得到方程f(x)=0的正实数根所在的区间,如表:
区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点 f
(0,1) f(0)<0 f(1)>0 0.5 f(0.5)<0
(0.5,1) f(0.5)<0 f(1)>0 0.75 f(0.75)>0
(0.5,0.75) f(0.5)<0 f(0.75)>0 0.625 f(0.625)<0
(0.625,0.75) f(0.625)<0 f(0.75)>0 0.687 5 f(0.687 5)<0
因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以方程2x3+3x-3=0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.7.
(2)设至少需要n次等分,n∈N+,
由题意知,<0.1,即2n>10,n∈N+,
解得n≥4,所以至少需要4次等分.
拓展 解:由题意知f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,
所以f(1)·f(2)<0,即方程f(x)=0在区间(1,2)内有解.
利用二分法,可得到下表:
区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点 f
(1,2) f(1)<0 f(2)>0 1.5 f(1.5)<0
(1.5,2) f(1.5)<0 f(2)>0 1.75 f(1.75)>0
因为|1.75-1.5|=0.25<0.5,所以方程f(x)=0的一个精确度为0.5的近似解可取为1.6.1.2 利用二分法求方程的近似解
1.B [解析] 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.对于选项B,不满足函数在零点x0附近函数值异号,不能用二分法求零点.对于选项A,C,D,满足函数在零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.故选B.
2.B [解析] 设f(x)=x+lg x-3,显然函数图象是一条连续曲线,且f(x)在(0,+∞)上单调递增.计算得f(1)=-2<0,f(2)=lg 2-1<0,f(3)=lg 3>0,所以f(2)·f(3)<0,故区间[2,3]可以作为初始区间.故选B.
3.A [解析] ∵x0∈[a,b]且f(x0)=0,∴x0是f(x)的一个零点,①为假命题;当f(x)在[a,b]上的图象不是一条连续曲线,或x0是f(x)的不变号零点时,不可以用二分法求x0的近似值,②为假命题;方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,③为假命题;用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,④为假命题.故选A.
4.A [解析] 设f(x)=2x+log2x-4,因为f(1)·f(2)=(2+0-4)×(4+1-4)=-2<0,所以下一个有根的区间为(1,2).
5.C [解析] 由题知ff=·(-1+a-1)<0,可得a∈,故选C.
6.B [解析] ∵f(1.312 5)<0,f(1.375)>0,|1.312 5-1.375|<0.1,∴方程x3-x-1=0的一个近似根可以为1.32.故选B.
7.B [解析] 根据精确度的定义可知选B.
8.ACD [解析] 对于B,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0,当x>1时,f(x)>0,因为在零点两侧函数值同号,所以不能用二分法求函数零点.其余选项中,函数图象均为连续的曲线,且在函数的零点两侧函数值均异号,都能用二分法求零点.故选ACD.
9.ABD [解析] 由二分法的步骤可知:①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,则f(4)<0;②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,因为f(0)>0,所以f(2)<0;③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,因为f(2)<0,所以f(1)>0;④零点在内,则有f(1)·f<0,因为f(1)>0,所以f<0;⑤零点在内,则有f·f<0,因为f<0,所以f>0.所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f,故选ABD.
10.±4 [解析] 由题意知Δ=a2-16=0,解得a=±4.
11.4 [解析] 利用二分法思想,第一次将金币平均分成两份,则假币一定在质量小的那13枚金币里,第二次将质量小的13枚金币分成6枚、6枚、1枚共三份,用天平称两份6枚金币,若天平平衡,则未称的1枚为假币,否则假币一定在质量小的那6枚金币里,一直重复下去,最多称4次就可以发现这枚假币.
12.4 12 [解析] 由题意得解得所以b-a=4.设需要进行k(k∈N*)次区间中点函数值的计算,则×4<0.001,又k∈N*,所以k≥12,所以至少需要进行12次区间中点函数值的计算.
13.解:经计算f(1)=-2<0,f(2)=3>0,所以函数f(x)=2x+3x-7在区间(1,2)内存在零点,
设为x0,取区间(1,2)的中点1.5,经计算,f(1.5)≈0.33>0,∴x0∈(1,1.5);
取区间(1,1.5)的中点1.25,经计算f(1.25)≈-0.87<0,∴x0∈(1.25,1.5);
取区间(1.25,1.5)的中点1.375,经计算f(1.375)≈-0.28<0,∴x0∈(1.375,1.5);
取区间(1.375,1.5)的中点1.437 5,经计算f(1.437 5)≈0.02>0,∴x0∈(1.375,1.437 5).
∵|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1,
∴1.4可以是函数f(x)=2x+3x-7的近似零点.
14.解:(1)证明:f(x)的定义域为(0,+∞).
令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2),且>1,x1-x2>0,∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),则f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)至多有一个零点.
又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.
∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
(2)f(2)<0,f(3)>0,取x1==,
则f=ln-1<0,∴f(3)f<0,即f(x)的零点x0∈.
取x2==,则f=ln->0,
∴ff<0,∴x0∈.
又=≤,
∴满足题意的一个区间为.
15.C [解析] 开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作,区间长度变为.因为精确度为0.01,所以需满足<0.01,又n∈N*,所以n≥7且n∈N*,故所需二分区间的次数最少为7,故选C.
16.解:(1)∵f(x)=2x2-8x+m+3为二次函数,其图象的开口向上,对称轴为直线x=2,
∴函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
∵f(x)在区间[-1,1]上存在零点,∴
即解得-13≤m≤3,
∴实数m的取值范围是[-13,3].
(2)当m=-4时,f(x)=2x2-8x-1,其图象的开口向上,对称轴为直线x=2,∴f(x)在区间(-1,1)上单调递减.
∵f(-1)=9,f(1)=-7,∴f(-1)·f(1)<0,
∴函数f(x)在(-1,1)上存在唯一零点x0.
∵f(0)=-1<0,∴f(-1)·f(0)<0,∴x0∈(-1,0);
∵f=>0,∴f·f(0)<0,
∴x0∈;∵f=>0,
∴f·f(0)<0,∴x0∈;
∵f=>0,∴f·f(0)<0,
∴x0∈;∵f=-<0,∴f·f<0,∴x0∈.
此时=<0.1,即满足精确度为0.1,
∴零点所在的区间为.1.2 利用二分法求方程的近似解
【学习目标】
1.探索用二分法求方程近似解的思路,并会画程序框图.
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解,并知道用二分法求方程近似解具有一般性.
◆ 知识点一 二分法的概念
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条 ,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的 ,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法叫作二分法.
【诊断分析】 区间(a,b)的中点是什么 它是点还是数
◆ 知识点二 用二分法求方程近似解的步骤
用二分法求方程f(x)=0近似解的步骤如图所示.
(1)“初始区间”是一个两端点函数值 的区间.
(2)新区间的一个端点是原区间的 ,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值 .
(3)方程的解满足要求的精确度且选取区间内的 数作为方程的近似解.
【诊断分析】 初始区间选的不同,会影响最终的计算结果吗
◆ 探究点一 二分法应用条件的考查
例1 (1)下列图象所对应的函数中,不能用二分法求零点的是 ( )
A B
C D
(2)设函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)内近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间是 ( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
(3)[2023·福州格致中学高一期中] 下列函数中不能用二分法求零点的是 ( )
A.f(x)=3x+1 B.f(x)=x3
C.f(x)=x2 D.f(x)=ln x
[素养小结]
运用二分法求函数的零点应具备的条件:
(1)函数图象在零点附近连续不断;
(2)在该零点附近,左、右两侧的函数值异号.
只有同时满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.
◆ 探究点二 利用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程2x=6-3x的近似解.(精确度为0.1)
变式 (1)用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
(2)用二分法求函数f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上的一个零点,至少要经过多少次等分后精确度达到0.1
[素养小结]
利用二分法求方程的近似解时,取不同的初始区间,其计算就有繁简之分,一般地,可用特殊值代入计算并结合估算寻找确定一个使计算最简单的初始区间.
拓展 已知f(x)=ln x+x-2,用二分法求方程f(x)=0的一个近似解(精确度为0.5).1.2 利用二分法求方程的近似解
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2023·江西靖安中学高一月考] 下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是 ( )
A B C D
2.用二分法求方程x+lg x-3=0的近似解,以下区间可以作为初始区间的是 ( )
A.[1,2] B.[2,3]
C.[3,4] D.[4,5]
3.下列是关于函数f(x),x∈[a,b]的四个命题:
①若x0∈[a,b],且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;
③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但方程f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;
④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.
其中真命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.3 D.4
4.用二分法研究方程2x+log2x-4=0在区间(1,3)上的根,如果取区间的中点2,那么下一个有根的区间是 ( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(1,1.5) D.(2.5,3)
5.用二分法求函数f(x)=log2x+a-2x的一个零点的近似值时,如果确定该零点所在的初始区间为,那么a的取值范围为 ( )
A.(-∞,2)
B.
C.
D.(-∞,2)∪
6.已知函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点附近的函数值如表:
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5
f(x) -1 0.875 -0.296 9 0.224 6 -0.051 51
则方程x3-x-1=0的一个近似根(精确度为0.1)可以为 ( )
A.1.3 B.1.32
C.1.437 5 D.1.25
7.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ξ(ξ为精确度)时,函数零点的近似值x0=与真实零点的误差最大不超过 ( )
A. B.
C. ξ D.2ξ
8.(多选题)下列函数中,能用二分法求零点的是 ( )
A.f(x)=3x-2 B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-2
9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的曲线,且函数f(x)的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),,内,则下列函数值中与f(0)符号不同的是 ( )
A.f(4) B.f(2)
C.f(1) D.f
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2023·江西铜鼓中学高一月考] 已知函数f(x)=x2+ax+4有零点,但不能用二分法求出该零点,则a的值为 .
11.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平(无砝码),则用二分法的思想,最多称 次就可以发现这枚假币.
12.[2023·山东潍坊高一期中] 已知函数f(x)满足对任意x1,x2∈[a,b],都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,且f(a)·f(b)<0.在用二分法寻求f(x)零点的过程中,依次确定了零点x0所在区间为(a,b),,,,则b-a= ;若要求精确度为0.001,则至少需要进行 次区间中点函数值的计算.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)利用二分法求函数f(x)=2x+3x-7的近似零点.(精确度为0.1)
14.(10分)已知函数f(x)=ln x+2x-6.
(1)证明:f(x)有且只有一个零点;
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.
15. (5分)用二分法求函数f(x)=ln (x+1)+x-1在区间(0,1)上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
16.(15分)已知函数f(x)=2x2-8x+m+3.
(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围.
(2)若m=-4,判断f(x)在(-1,1)上是否存在零点 若存在,请在精确度为0.1的条件下,用二分法求出这个零点所在的区间;若不存在,请说明理由.(共22张PPT)
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.2 利用二分法求方程的近似解
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.探索用二分法求方程近似解的思路，并会画程序框图.
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解，并知道用二分法求方程近似
解具有一般性．
知识点一 二分法的概念
对于一般的函数，，若函数 的图象是一条__________
__， ，则每次取区间的______，将区间一分为二，再经比较，按
需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法叫作二分法.
连续的曲线
中点
【诊断分析】
区间 的中点是什么？它是点还是数？
解：我们把称为区间 的中点，区间的中点是数不是点.
知识点二 用二分法求方程近似解的步骤
用二分法求方程 近似解的步骤如图所示.
（1）“初始区间”是一个两端点函数值______的区间.
异号
（2）新区间的一个端点是原区间的______，另一端点是原
区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值______.
中点
异号
（3）方程的解满足要求的精确度且选取区间内的_________
数作为方程的近似解.
任意一个
【诊断分析】
初始区间选的不同，会影响最终的计算结果吗？
解：不会.初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算，长度应尽可
能的小.
探究点一 二分法应用条件的考查
例1（1） 下列图象所对应的函数中，不能用二分法求零点的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 用二分法求函数零点的近似值仅对函数的变号零点适用，对函数的不变
号零点不适用.观察所给的四个函数的图象，它们与 轴都有交点，但B中的图象
在轴上或 轴上方，即函数在零点附近的函数值不变号,无法用二分法.故选B.
（2）设函数,用二分法求方程在区间 内近似解
的过程中得到,, ,则方程的根所在的区间是( )
B
A. B. C. D.不能确定
[解析] ,且在上是增函数,
方程的根所在的区间是 .
（3）[2023·福州格致中学高一期中]下列函数中不能用二分法求零点的是 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 易知选项C中的函数的零点为 ，而在零点左右两侧的函数
值都为正数，故不能用二分法求零点；
选项A，B，D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，
可以用二分法求函数的零点.故选C.
［素养小结］
运用二分法求函数的零点应具备的条件：
（1）函数图象在零点附近连续不断；
（2）在该零点附近，左、右两侧的函数值异号.
只有同时满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
探究点二 利用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程的近似解.精确度为
解：设，在同一平面直角坐标系中作出函数 和
的图象，观察图象可以发现，它们的图象仅有一个交点，
即方程有唯一解，设为.
因为 ，，
所以，即方程 的解 .利用二分法，
可以得到下表：
区间 区间中点
1.5
1.25
1.125
因为 ，所以当精确度为0.1时，方程的解
，因此可选取这一区间上的任意一个数作为方程的近似解，
如可取作为方程 的一个近似解.
变式（1） 用二分法求方程的一个正实数近似解 精确度为
.
解：令，经计算，， ，
，
所以函数在 内存在零点，
即方程在 内有解.
取区间的中点，经计算 ，
又，所以方程在 内有解.
如此下去，得到方程 的正实数根所在的区间，如表：
区间 区间中点
0.5
0.75
0.625
因为，所以方程 的一个精确度
为0.1的正实数近似解可取为0.7.
（2）用二分法求函数在 上的一个零点，至少要经过多
少次等分后精确度达到0.1
解：设至少需要次等分， ，
由题意知，，即， ，
解得 ，所以至少需要4次等分.
［素养小结］
利用二分法求方程的近似解时，取不同的初始区间，其计算就有繁简之分，一
般地，可用特殊值代入计算并结合估算寻找确定一个使计算最简单的初始区间.
拓展 已知，用二分法求方程的一个近似解
精确度为 .
解：由题意知在上单调递增， ，
，所以，
即方程在区间 内有解.利用二分法，可得到下表：
区间 区间中点
1.5
1.75
因为，所以方程 的一个精确度为0.5的近似解
可取为1.6.
应用二分法求方程的近似解应注意的问题
（1）题目对方程的解的要求有两类，注意区分.一是“精确度”，如果方程的解所
在的区间满足,那么区间内任意一个数都是满足精确度 的
近似解；二是“精确到”，这要求通过二分法得到的近似解精确到多少位.
（2）二分法不是万能的，只有满足在区间 上的图象是连续的曲线，且
的函数 的零点才能用二分法求解.因此，二分法只能求变号
零点，不能求不变号零点.
求函数的近似零点
利用二分法求函数在区间上的零点，就是不断地把函数 的零点所
在的区间一分为二，并通过判断区间两端点函数值乘积的正负，使区间的两个
端点逐步逼近零点，从而找到零点的近似值.
例 [2024·江西铜鼓中学高一期末] 设函数 ，则
在区间内的零点的近似值为____________________.精确度为
（答案不唯一）
[解析] 利用二分法可得下表：
区间中点
因为，所以在区间 内的一个
精确度为0.1的零点的近似值可取为 .
