(共38张PPT)
§2 实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．
知识点一 实际问题的函数刻画
根据实际问题提供的两个变量间的关系是否确定，可把构建函数模型问题分为
两类：
一是构建确定的函数模型，因为变量间的关系确定，所以一般通过对变量的分
析，寻求相等关系来建立函数模型；
二是构建最佳的函数模型，因为实际问题中的变量间的关系并不完全确定，所
以一般是通过两个变量间的几组对应值，找到一个最恰当的函数模型.
知识点二 用函数模型解决实际问题
1.解应用题的一般思路
2.求解应用题的一般步骤（四步法）
（1）读题审题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要关系；
（2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
（3）求解：化归为常规数学问题，选择合适的数学方法求解；
（4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以修正，最后将结果应用于实际
问题，作出解释或验证.
知识点三 常见的函数模型
许多实际问题，一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数及其性质，使问题
得到解决．
常见函数模型有：
①正比例函数模型： ；
②反比例函数模型： ；
③一次函数模型： ；
④二次函数模型： ；
⑤指数函数模型：，且， ；
⑥对数函数模型：，，且 ；
⑦幂函数模型： .
【诊断分析】
选择函数模型时应注意什么问题？
解:选择函数模型时，要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合.
先根据散点图选取适当的函数模型，然后通过待定系数法求解析式，
最后通过数据验证.
探究点一 通过图象确定函数关系
例1 有一组数据如下表所示：
1.9 3.0 4.0 5.1 6.1
1.5 4.0 7.5 12.0 18.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最合适的一
个是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据所给数据，作出散点图，如图所示：
由图可知, 最合适.故选B.
变式（1） 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组数据．
1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一
个是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由表格数据可知随着的增大， 逐渐增大，且增长的速度越来越慢，只
有B符合题意.
（2）（多选题）[2023·贵阳高一期末] 某公司总结了在30天内 商品的销售价格
（单位：元）与时间（单位：天）的关系，如图所示，商品的销售量
（单位：万件）与时间的关系是 ，则下列说法正确的是
( )
AD
A.第15天的日销售额最大 B.第20天的日销售额最大
C.最大日销售额为120万元 D.最大日销售额为125万元
[解析] 当时，设，因为图象过点, ，
所以解得所以.
当时，设 ，因为图象过点,，
所以解得所以 .
综上可得，
设第天的销售额为 ，
因为 ，
所以
整理可得
当时，，所以 ，
当且仅当时，等号成立；
当时， ，所以
当且仅当 时，等号成立.
综上可得，第15天的销售额最大，最大值为125万元，故A，D正确.故选 .
［素养小结］
通过图象确定函数关系的一般步骤
（1）以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
（2）依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数关系，并设出其解析式；
（3）取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
（4）将其他点的坐标代入函数解析式，检验所得函数是否符合．
探究点二 用已知函数模型解决实际问题
例2 某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.
已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量 ，首次改良工
艺后所排放的废气中含有的污染物数量，第 次改良工艺后所
排放的废气中含有的污染物数量（单位： ）可由函数
给出，其中 是指改良工艺的次数．
（1）试求改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量 的函数解析式.
解：由题意得， ，且 ，
所以，解得 ，
所以 ，
故改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量 的函数解析式为
.
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过
.试问：至少改良多少次工艺后才能使企业所排放的废气中含有的污
染物数量达标？（参考数据： ）
解：由题意可得，，整理得 ，
即，两边同时取对数，得 ，
整理得 ，
因为，所以 ，故至少改良6次工艺后才能使企业所排放的废气中含
有的污染物数量达标．
变式 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的
平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 中
的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），而公交群体的人均通勤
时间不受 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
解：由题意知，当 时，
，即 ，
解得或， ，
当 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式,讨论 的单调性，并说明
其实际意义.
解：当时， ；
当 时，
.
的图象的对称轴为直线 ，
当时， ，
所以当时， 单调递减；
当时， 单调递增.
说明该地上班族中有小于 的人自驾时，人均通勤时间单调递减；有大于
的人自驾时，人均通勤时间单调递增；有 的人自驾时，人均通勤时
间最少.
［素养小结］
应用已知函数模型解题，有两种常见题型：（1）直接依据题中的函数解析式解
决相关问题；（2）若函数解析式中含有参数，则将题中相应数据代入解析式，
求得参数，从而确定函数解析式，最后解决问题.
探究点三 函数模型的选择
例3 [2023·山西大同高一期末] 某科研小组对面积为8000平方米的某池塘内的
一种生物的生长规律进行研究，开始时在此池塘投放了一定面积的该生物
（假设该池塘投放前不含该生物），通过试验得到该生物的覆盖面积
（单位：平方米）与所经过的时间（单位：月， ）之间的一组数据，如
下表：
0 2 3 4
4 25 62.5 156.3
为描述与的关系，提供了以下三种函数模型： ；
； .
（1）试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；
解：函数 刻画的是增长速度越来越快的变化规律，
函数 刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，
函数 刻画的是增长速度不变的规律，
根据表中的数据可知该生物增长的速度越来越快，
所以函数模型 更适合.
根据题意得可得所以， .
经检验可知，当时，，
当时， ，符合题意.故， .
（2）约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？（参考数据： ）
解：设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘，则 ，
解得.
显然 在定义域上是增函数，经过8个月此生物没能覆盖整个池塘，
所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘.
变式 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空
气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军
芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行了市场调研.调研得知，从4月1日起，
芦荟的种植成本（单位：元/千克）与上市时间 （单位：天）的数据情况如表：
50 110 250
Q 150 108 150
（1）根据表中数据，从， ，
，且，,且 四个函数中
选取一个最能反映芦荟种植成本与上市时间 的变化关系，并说明理由；
解：选择,由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本 与
上市时间的变化关系的函数不可能是单调函数，
函数 ，,且，
,且 均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，
所以应选用二次函数 进行描述.
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
解：将表格所提供的三对数据分别代入 ，
可得解得
所以芦荟种植成本与上市时间的变化关系的函数为 .
故当 （天）时，芦荟种植成本最低，最低为
（元/千克）.
［素养小结］
当一组数据所对应的函数关系不确定时,可根据题设条件,将这几个函数模型求出
来,再根据题中的其他条件,对这几个函数模型的可靠性作出评估,选出与数据最
吻合的函数模型.
1.何为数学建模？其目的是什么？
将现实生活中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型
的可靠性与合理性，并用该数学模型提供的信息来解释实际问题.数学知识的这一
应用过程称为数学建模，所以数学建模的目的就是用数学知识解决实际问题.
2.常见函数模型
（1）一次函数模型： ；
（2）二次函数模型： ；
（3）指数函数模型： ；
（4）对数函数模型： ；
（5）幂函数模型：,, 为常数，，, ；
（6）分段函数模型：
例 [2024·山东日照高一期末] 2023年10月29日，日照马拉松鸣枪开跑，来自
世界各地的两万多名跑友相聚日照最美赛道，从森林跑向大海，用脚步丈量山
与海的距离，共同为梦想而奔跑.为了进一步宣传日照马拉松，某赞助商开发了
一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月
内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间 （单位：天）的函数关
系近似满足，该商品的日销售量（单位：个）与时间 的部分
数据如下表所示：
5 10 15 20 25 30
205 210 215 220 215 210
（1）给出以下三种函数模型：， ，
，三种模型中,, 均不为0,请你根据上表中的数据，从中
选择最合理的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间 的关系，并求
出该函数的解析式；
解：根据表格数据可知， 的函数值关于220对称，且函数值220对应自变量
的值为20，所以选择 最合理.
由 ，
，解得， ，
则 ，经验证表格中各对数据均满足该式.
故 .
（2）求该商品的日销售总收入 （单位：元）的最小值
（注：日销售总收入 日销售价格×日销售量）.
解：
当，时， ，
当且仅当，即 时等号成立；
因为和在 上都单调递减，
所以当，时，在 上单调递减，
故此时的最小值为 .
综上所述，当时， 取得最小值，最小值为427元.§2 实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
【课前预习】
知识点三
诊断分析
解:选择函数模型时,要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合.先根据散点图选取适当的函数模型,然后通过待定系数法求解析式,最后通过数据验证.
【课中探究】
探究点一
例1 B [解析] 根据所给数据,作出散点图,如图所示:
由图可知,v=最合适.故选B.
变式 (1)B (2)AD [解析] (1)由表格数据可知随着x的增大,y逐渐增大,且增长的速度越来越慢,只有B符合题意.
(2)当0≤t≤20时,设P=at+b,因为图象过点(0,2),(20,6),所以解得所以P=t+2.当20≤t≤30时,设P=mt+n,因为图象过点(20,6),(30,5),所以解得所以P=-t+8.综上可得,P=设第t天的销售额为g(t),
因为Q=-t+40(0所以g(t)=P·Q=
整理可得g(t)=
当0探究点二
例2 解:(1)由题意得r0=2,r1=1.94,
且r1=r0-(r0-r1)·50.5+p,
所以1.94=2-(2-1.94)×50.5+p,解得p=-0.5,
所以rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*),
故改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量rn的函数解析式为rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*).
(2)由题意可得,rn=2-0.06×50.5n-0.5≤0.08,整理得50.5n-0.5≥,即50.5n-0.5≥32,两边同时取对数,得0.5n-0.5≥,整理得n≥2×+1≈5.306,
因为n∈N*,所以n≥6,故至少改良6次工艺后才能使企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
变式 解:(1)由题意知,当30f(x)=2x+-90>40,即x2-65x+900>0,
解得x<20或x>45,∴45∴当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当0当30∴g(x)=
y=0.02x2-1.3x+58的图象的对称轴为直线x=32.5,
当x=30时,y=0.02×302-1.3×30+58=37=g(30),
所以当0当32.5说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间单调递减;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间单调递增;有32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少.
探究点三
例3 解:(1)函数y=k·ax(k>0,a>1)刻画的是增长速度越来越快的变化规律,函数y=p+q(p>0)刻画的是增长速度越来越慢的变化规律,
函数y=ax+b刻画的是增长速度不变的规律,
根据表中的数据可知该生物增长的速度越来越快,
所以函数模型y=k·ax(k>0,a>1)更适合.
根据题意得可得所以y=4×,x∈N.经检验可知,当x=3时,y=4×=62.5,当x=4时,y=4×≈156.3,符合题意.故y=4×,x∈N.
(2)设约经过x个月,此生物能覆盖整个池塘,则4×=8000,解得x=2000= = ≈8.294.显然y=4×在定义域上是增函数,经过8个月此生物没能覆盖整个池塘,所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘.
变式 解:(1)选择Q=at2+bt+c(a≠0),由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是单调函数,函数Q=at+b(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0且b≠1)均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,
所以应选用二次函数Q=at2+bt+c(a≠0)进行描述.
(2)将表格所提供的三对数据分别代入Q=at2+bt+c,
可得解得
所以芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+.
故当t=-=150(天)时,芦荟种植成本最低,最低为×1502-×150+=100(元/千克).§2 实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
1.C [解析] 由球形容器的几何特征知,液面上升的速度先快后慢再变快.故选C.
2.C [解析] h(t)=-5t2+15t+20=-5+,则当t=时,h(t)取得最大值,最大值为h=≈31.故选C.
3.D [解析] 设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x(k1>0),则由题可得12=15k1,∴k1=.设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(k2>0),则由题可得12=,∴k2=180.∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=x(0≤x≤15),药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(x>15).把y=6代入y=x(0≤x≤15),得x=7.5,把y=6代入y=(x>15),得x=30.∵30-7.5=22.5,∴此次消毒的有效时间是22.5分钟,故选D.
4.D [解析] 观察各散点的坐标及各选项,可知y=2t最合适.故选D.
5.D [解析] 因为该动物的繁殖数量y与引入时间x的关系为y=alog2(x+1),当x=1时,y=180,所以180=alog2(1+1),得a=180,所以y=180·log2(x+1).当x=15时,y=180·log2(15+1)=180×4=720,所以引入15年时的数量为720只.故选D.
6.C [解析] 依题意可得,方案一:第一次付款2880元时,因为4500>2880>2000,所以此次付款享受了9折优惠,则其原价为=3200(元);第二次付款4850元时,因为4850>4500,所以其原价为+5000=5500(元),所以分两次购买饲料的原价为3200+5500=8700(元).方案二:若一次性付款,则应付款为(8700-5000)×0.7+5000×0.9=7090(元).所以方案二比方案一节省(2880+4850)-7090=640(元).故选C.
7.B [解析] 设该挖掘机的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2,则由题意知所以10=10lg=90-50=40,则lg=4,所以=104,故选B.
8.AD [解析] 设此种商品的月销售额为f(x),由题意知,单价为50-x,销售量为300+10x,所以销售额f(x)=(50-x)(300+10x)=-10x2+200x+15 000.要使月销售额不低于15 950元,需满足-10x2+200x+15 000≥15 950,整理得x2-20x+95≤0,解得10-≤x≤10+,则不等式的解集为{x|10-≤x≤10+},记该集合为M,易知7,13∈/ M,9,11∈/M,故选AD.
9.CD [解析] ∵该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,∴得e22k==,∴e11k=,∴k<0,则储存温度越高保鲜时间越短,该食品在11 ℃的保鲜时间是e11k+b=e11k·eb=×192=96(小时),该食品在33 ℃的保鲜时间为e33k+b=(e11k)3·eb=×192=24(小时),故选CD.
10.2700 [解析] 由题可知8100=k·92,解得k=100.则当v≥1.5时,m≥100×91.5=2700.
11.28 [解析] 因为10×6=60,(20-10)×8=80,60+80=140<220,所以该户居民的年用量超过20千克.设该户居民的年用量为x千克,则140+(x-20)×10=220,解得x=28,故该户居民的年用量为28千克.
12.64 6 [解析] ∵n≤log2,∴当对折完4次时,log2≥4,即log2≥6,∴≥64,∴的最小值为64.∵n≤log2=log2600=×=×≈×≈6.18,∴该矩形纸最多能对折6次.
13.解:因为蓄水池侧面的总建造成本为100×2πrh=200πrh(元),底面的总建造成本为160πr2元,所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元.
根据题意得200πrh+160πr2=12 000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
由h>0,r>0,可得014.解:(1)当0≤x≤400时,P(x)=400x-x2-100x-20 000=-x2+300x-20 000,
当x>400时,P(x)=80 000-100x-20 000=-100x+60 000,
故P(x)=
(2)当0≤x≤400时,P(x)=-(x-300)2+25 000,
故当x=300时,P(x)取得最大值,最大值为25 000;
当x>400时,P(x)=-100x+60 000,易知P(x)在(400,+∞)上单调递减,
故P(x)<-100×400+60 000=20 000.
综上,当月产量为300台时,公司所获月利润最大,最大月利润为25 000元.
15.A [解析] 当点E在边AB上时,AE=2x(0≤x≤1),y=×2x×2=2x;当点E在边BC上时,BE=2(x-1)(116.解:(1)因为四边形ABCD是矩形,且对角线MN过点C,所以=,所以AM=,所以y=AN·AM=.
由得4所以y=,定义域为(4,12].
(2)令t=x-4(0所以当AN=8米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小面积为96平方米.
17.解:(1)若安排3人完成钢笔的装盒工作,则完成钢笔的装盒工作需要=10(天),完成保温杯的装盒工作需要=(天),因为<10,所以纪念品装盒工作的工期为10天.
(2)设安排x人完成钢笔的装盒工作,则完成钢笔的装盒工作需要f(x)==(天),完成保温杯的装盒工作需要g(x)==(天),其中x∈{1,2,3,4,5,6}.
因为随着x的增大,f(x)是递减的,g(x)是递增的,
所以纪念品装盒工作的工期(单位:天)为T(x)=
由=,得x=,
从而T(x)=
计算可得T(3)=10,T(4)=,且T(4)所以安排4人完成钢笔的装盒工作,3人完成保温杯的装盒工作,可以使工期最短.§2 实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
【学习目标】
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
◆ 知识点一 实际问题的函数刻画
根据实际问题提供的两个变量间的关系是否确定,可把构建函数模型问题分为两类:
一是构建确定的函数模型,因为变量间的关系确定,所以一般通过对变量的分析,寻求相等关系来建立函数模型;
二是构建最佳的函数模型,因为实际问题中的变量间的关系并不完全确定,所以一般是通过两个变量间的几组对应值,找到一个最恰当的函数模型.
◆ 知识点二 用函数模型解决实际问题
1.解应用题的一般思路
2.求解应用题的一般步骤(四步法)
(1)读题审题:读懂和深刻理解题意,译为数学语言,找出主要关系;
(2)建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题;
(3)求解:化归为常规数学问题,选择合适的数学方法求解;
(4)评价:对结果进行验证或评估,对错误加以修正,最后将结果应用于实际问题,作出解释或验证.
◆ 知识点三 常见的函数模型
许多实际问题,一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数及其性质,使问题得到解决.
常见函数模型有:
①正比例函数模型:y=kx(k≠0);
②反比例函数模型:y=(k≠0);
③一次函数模型:y=kx+b(k≠0);
④二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0);
⑤指数函数模型:y=m·ax+b(a>0,且a≠1,m≠0);
⑥对数函数模型:y=mlogax+c(m≠0,a>0,且a≠1);
⑦幂函数模型:y=k·xn+b(k≠0).
【诊断分析】 选择函数模型时应注意什么问题
◆ 探究点一 通过图象确定函数关系
例1 有一组数据如下表所示:
t 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1
v 1.5 4.0 7.5 12.0 18.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最合适的一个是 ( )
A.v=2t-2 B.v=
C.v=log0.5t D.v=log3t
变式 (1)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组数据.
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( )
A.y=2x B.y=log2x
C.y=(x2-1) D.y=2.61x
(2)(多选题)[2023·贵阳高一期末] 某公司总结了在30天内A商品的销售价格P(单位:元)与时间t(单位:天)的关系,如图所示,A商品的销售量Q(单位:万件)与时间t的关系是Q=40-t(0A.第15天的日销售额最大
B.第20天的日销售额最大
C.最大日销售额为120万元
D.最大日销售额为125万元
[素养小结]
通过图象确定函数关系的一般步骤
(1)以所给数据作为点的坐标,在平面直角坐标系中绘出各点;
(2)依据点的整体特征,猜测这些点所满足的函数关系,并设出其解析式;
(3)取特殊数据代入,求出函数的具体解析式;
(4)将其他点的坐标代入函数解析式,检验所得函数是否符合.
◆ 探究点二 用已知函数模型解决实际问题
例2 某化工企业探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量r0=2 mg/m3,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量r1=1.94 mg/m3,第n次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量rn(单位:mg/m3)可由函数rn=r0-(r0-r1)·50.5n+p(p∈R,n∈N*)给出,其中n是指改良工艺的次数.
(1)试求改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量rn的函数解析式.
(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08 mg/m3.试问:至少改良多少次工艺后才能使企业所排放的废气中含有的污染物数量达标 (参考数据:lg 2≈0.301)
变式 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式,讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.
[素养小结]
应用已知函数模型解题,有两种常见题型:(1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题;(2)若函数解析式中含有参数,则将题中相应数据代入解析式,求得参数,从而确定函数解析式,最后解决问题.
◆ 探究点三 函数模型的选择
例3 [2023·山西大同高一期末] 某科研小组对面积为8000平方米的某池塘内的一种生物的生长规律进行研究,开始时在此池塘投放了一定面积的该生物(假设该池塘投放前不含该生物),通过试验得到该生物的覆盖面积y(单位:平方米)与所经过的时间x(单位:月,x∈N)之间的一组数据,如下表:
x 0 2 3 4
y 4 25 62.5 156.3
为描述y与x的关系,提供了以下三种函数模型:y=k·ax(k>0,a>1);y=p+q(p>0);y=ax+b.
(1)试判断哪个函数模型更适合,并求出该模型的函数解析式;
(2)约经过几个月,此生物能覆盖整个池塘
(参考数据:lg 2≈0.301)
变式 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行了市场调研.调研得知,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/千克)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据,从Q=at+b(a≠0),Q=at2+bt+c(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0且b≠1)四个函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系,并说明理由;
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
[素养小结]
当一组数据所对应的函数关系不确定时,可根据题设条件,将这几个函数模型求出来,再根据题中的其他条件,对这几个函数模型的可靠性作出评估,选出与数据最吻合的函数模型.§2 实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下图中能表示在注入过程中容器的液面高度h与时间t的函数关系的是 ( )
A B C D
2.我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为h(t)=-5t2+15t+20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面的高度约为 ( )
A.26米 B.28米
C.31米 D.33米
3.[2023·福建宁德高一期中] 某学校对教室进行药熏消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)与时间x(单位:分钟)成正比例关系,药物燃烧完后,y与x成反比例关系(如图).现测得药物15分钟燃烧完,此时室内每立方米空气中的含药量为12毫克.研究表明,当每立方米空气中的含药量不低于6毫克时才有效,则此次消毒的有效时间是 ( )
A.15分钟 B.17.5分钟
C.18分钟 D.22.5分钟
4.如图所示是某种豆类的生长枝数y与时间t(单位:月)的散点图,那么此种豆类的生长枝数y与时间t的关系用下列函数模型近似刻画最好的是 ( )
A.y=2t2 B.y=log2t
C.y=t3 D.y=2t
5.[2023·陕西榆林十中高一期末] 某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物引入一年时的数量为180只,则引入15年时的数量为 ( )
A.300只 B.400只
C.600只 D.720只
6.某公司销售一种饲料,优惠政策如下:
(1)若购买饲料不超过2000元,则不给予优惠;
(2)若购买饲料超过2000元但不超过5000元,则按标价给予9折优惠;
(3)若购买饲料超过5000元,则5000元及5000元以内的部分给予9折优惠,超过5000元的部分给予7折优惠.
某顾客购买一批饲料,有如下两种方案:
方案一:分两次付款购买,分别付款2880元和4850元;
方案二:一次性付款购买.
若用方案二购买此批饲料,则比方案一节省( )
A.540元 B.620元
C.640元 D.800元
7.[2023·江西奉新四中高一月考] 当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg(其中A0为常数),某挖掘机的声音约为90分贝,普通室内谈话的声音约为50分贝,则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为 ( )
A.e4 B.104
C. D.1
8.(多选题)某种商品的单价为50元时,每月可销售此种商品300件,若将单价降低x(x∈N*)元,则月销售量增加10x件,要使此种商品的月销售额不低于15 950元,则x的取值可以为 ( )
A.9 B.7 C.13 D.11
9.(多选题)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系:y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则下列说法中正确的是 ( )
A.k>0
B.储存温度越高保鲜时间越长
C.该食品在11 ℃的保鲜时间是96小时
D.该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.科学研究发现,大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数m与其游动速度v(单位:m/s)的关系式为m=k·9v(k>0且k为常数).当这种鲑鱼的游动速度为2m/s时,其耗氧量为8100个单位,若这种鲑鱼的游动速度不小于1.5m/s,则其耗氧量至少为 个单位.
11.[2023·山东聊城一中高一期中] 某种物资实行阶梯价格制度,具体见表:
阶梯 年用量(千克) 价格(元/千克)
第一阶梯 不超过10的部分 6
第二阶梯 超过10而不超过20的部分 8
第三阶梯 超过20的部分 10
若某户居民使用该物资的年花费为220元,则该户居民的年用量为 千克.
12.某校学生在研究折纸实验中发现,当对折后纸张达到一定的厚度时,便不能继续对折了,在理想情况下,对折次数n与纸的长边长ω(单位:cm)和厚度x(单位:cm)的关系式为n≤log2.现有一张长边长为30 cm,厚度为0.05 cm的矩形纸,根据以上信息,当对折完4次时,的最小值为 ;该矩形纸最多能对折 次.(本题参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.
14.(10分)[2023·山西阳泉三中高一月考] 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知月总收入R(单位:元)关于月产量x(单位:台)的函数关系式为R(x)=
(1)将月利润P(单位:元)表示为月产量x的函数.
(2)当月产量为少台时,公司所获月利润最大 最大月利润为多少元 (总收入=总成本+利润)
15.(5分)如图,正方形ABCD的边长为2,动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长度/秒的速度运动到C点停止,同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长度/秒的速度运动到D点停止,则△AEF的面积y与运动时间x(单位:秒)之间的函数图象大致是 ( )
A B C D
16.(15分)[2023·陕西师大附中高一期中] 如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过点C.已知AB=6米,AD=4米,设AN的长为x米,且要求AM的长不少于9米.
(1)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,试求函数y=f(x)的解析式及其定义域;
(2)求当AN的长度是多少时,矩形花坛AMPN的面积最小,并求出最小面积.
17.(15分)某中学筹办100年校庆活动,需为参加校庆的校友、嘉宾每人准备一份纪念品,共需要准备5000份纪念品,每份纪念品包含一支钢笔和一个保温杯,现需要将钢笔和保温杯装入精品礼盒.校庆筹备小组负责此项工作的共有7人,现将其分成两组,一组完成钢笔的装盒工作,另一组完成保温杯的装盒工作,据测算,6人一天可完成1000支钢笔的装盒工作,5人一天可完成1000个保温杯的装盒工作.
(1)若安排3人完成钢笔的装盒工作,则纪念品装盒工作的工期为多久
(2)如何安排两组的人数,才能使工期最短
