本章总结提升
【知识辨析】
1.× [解析] 函数的零点不是点,是一个数,是函数的图象与x轴交点的横坐标,所以函数f(x)=x-1的零点为1.
2.√ [解析] 函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解.
3.√ [解析] 因为(-2b)2+4>0恒成立,所以函数y=x2-2bx-1一定有两个零点.
4.× [解析] 函数f(x)在(a,b)上的图象可能不是连续的曲线.
5.√ [解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以函数f(x)没有零点.
6.× [解析] 二分法适用于图象在区间[a,b]上是一条连续曲线,且满足f(a)·f(b)<0的函数的零点问题.
7.√ [解析] 符合函数建模的步骤要求.
8.× [解析] 不一定,函数模型只是用来预测结果,与实际结果可能相等也可能不相等.
【素养提升】
题型一
例1 (1)B (2)C [解析] (1)易知f(x)=x3+x-1在R上是增函数.因为f<0,f(1)>0,所以ff(1)<0,故函数f(x)=x3+x-1的零点所在的区间为.
(2)由f(x)=0,得lg(x-1)=3-x,构造函数h(x)=lg(x-1),g(x)=3-x(x>1),在同一平面直角坐标系内作出函数h(x)与g(x)的图象,如图所示.结合图象可知,这两个函数图象的交点的横坐标在区间(2,3)内,故函数f(x)的零点所在的区间是(2,3).故选C.
变式 (1)C (2)B [解析] (1)易知函数f(x)在定义域内是增函数,因为f(1)=-1<0,f(2)=2>0,所以由零点存在定理得,f(x)的零点位于区间(1,2)内.
(2)易知函数f(x)=-ln x在定义域内是减函数.∵f(2)=-ln 2>0,f(3)=1-ln 3<0,∴f(2)·f(3)<0,∴根据零点存在定理可得,函数f(x)=-ln x的零点所在的区间是(2,3),故选B.
题型二
例2 (1)C (2)A (3)(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
[解析] (1)由题意可得x>0,求函数f(x)=x2+ln x-2021的零点个数,即求方程ln x=2021-x2(x>0)的解的个数.数形结合可得,函数y=ln x的图象和函数y=2021-x2(x>0)的图象有1个交点,故f(x)=x2+ln x-2021有1个零点,故选C.
(2)在同一平面直角坐标系内作出f(x)的图象和直线y=a,如图所示,由图可知当0
(3)方法一:①当a=0时,f(x)=-2x-|x2+1|=-(x+1)2,则f(x)只有一个零点-1,不符合题意.
②当a∈[-2,0)∪(0,2]时,关于x的不等式x2-ax+1≥0恒成立,此时f(x)=ax2-2x-(x2-ax+1)=(a-1)x2+(a-2)x-1,当a=1时,f(x)只有一个零点-1,不符合题意;当a≠1时,令f(x)=0,得Δ=(a-2)2+4(a-1)=a2>0,故f(x)有且仅有两个零点,符合题意.③当a∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,关于x的方程x2-ax+1=0有两个不等实根m,n,不妨设m即f(x)=
令f(x)=0,得x1=-1,x2=,x3=1,x4=,其中x1,x2∈(-∞,m]∪[n,+∞),x3,x4∈(m,n),当a>2时,-ax2+1=-+1=<0,
-ax4+1=-+1=>0,舍去x2,x4,故f(x)有且仅有两个零点-1,1,符合题意;当a<-2时,-ax1+1=2+a<0,-ax3+1=2-a>0,舍去x1,x3,故f(x)有且仅有两个零点,,符合题意.综上,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
方法二:当x2-ax+1≥0时,f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|=ax2-2x-(x2-ax+1)=(a-1)x2+(a-2)x-1=(x+1)[(a-1)x-1],令f(x)=0,得x1=-1,x2=.又x2-ax+1≥0,所以x1=-1对应a≥-2,x2=对应a≤2.当x2-ax+1<0时,f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|=ax2-2x+(x2-ax+1)=(a+1)x2-(a+2)x+1=(x-1)[(a+1)x-1],令f(x)=0,得x3=1,x4=.又x2-ax+1<0,所以x3=1对应a>2,x4=对应a<-2.特别地,当a=1时,函数f(x)只有一个零点,为-1,不符合题意;当a=0时,函数f(x)只有一个零点,为-1,不符合题意;当a=-1时,函数f(x)有两个零点,分别为-1和-,符合题意.综上,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
变式 (1)C (2)(1,3]∪(4,+∞)
[解析] (1)函数f(x)的零点个数等价于方程log2(x+4)=3x的实根个数,等价于函数y=log2(x+4)与y=3x图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=log2(x+4)与y=3x的大致图象,如图所示,由图可知两个函数图象共有两个不同的交点,故f(x)有两个零点.故选C.
(2)当x-4=0时,x=4;当x2-4x+3=0时,x=1或x=3.由题可知,函数f(x)=有2个零点.若当x≥λ时没有零点,则当x<λ时有2个零点,此时λ>4;若当x≥λ时有1个零点,则当x<λ时有1个零点,此时1<λ≤3.所以λ的取值范围是(1,3]∪(4,+∞).
例3 B [解析] 不妨设x1变式 (2,+∞) [解析] 由题意知x1是y=ex与y=a-x图象交点的横坐标,x2是y=ln x与y=a-x图象交点的横坐标.显然y=ex与y=ln x的图象关于直线y=x对称,直线y=a-x与直线y=x垂直,因此这两个交点关于直线y=x对称,
如图所示,所以=x2,因为a>1,所以x2>1,所以m=+x2=2x2∈(2,+∞),即m的取值范围为(2,+∞).
题型三
例4 B [解析] 由表格知在区间(0.562 5,0.625)两端点处的函数值符号相反,且区间长度不超过0.1,符合精确度要求,因此,方程根的近似值可取此区间上任意一个数.故选B.
变式 C [解析] 由题意可知,对于区间(0,1),需要求解f(0.5),f(0.75),f(0.625),f(0.687 5)的值,然后得到f(x)零点精确度为0.1的近似值,所以零点的近似解可以为0.65,区间(0,1)最少等分4次.故选C.
题型四
例5 C [解析] 由题意,当0≤t≤5时,函数图象是一条线段.当t≥5时,函数的解析式为y=80+b,图象过点(5,100)和点(15,60),将(5,100),(15,60)代入解析式,有解得故y=80+20,t≥5.当t≥5时,令y=40,解得t=25,所以需要的时间为25 min.故选C.
变式 (1)C (2)D [解析] (1)由题意得,生产100千克该产品获得的利润y=·100=10 000=10 000,1≤x≤10,令t=,则≤t≤1,y=10 000(-2t2+t+3)=-20 000,故当t=时,y取得最大值,此时x=4.故选C.
(2)由题知θ0=30,θ1=120,θ=40,∴40=30+(120-30)e-0.05t,∴e-0.05t=,∴-0.05t=ln,∴0.05t=ln 9=2ln 3,∴t==40×ln 3≈44.故选D.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.函数f(x)=x-1的零点是点(1,0). ( )
2.判断方程解的个数也就是判断对应函数零点的个数. ( )
3.函数y=x2-2bx-1一定有零点. ( )
4.若函数f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上至少有一个零点.( )
5.函数f(x)=x+没有零点. ( )
6.满足f(a)·f(b)<0的函数f(x)的零点问题都可以用二分法求解. ( )
7.函数建模一般要经历审题、建模、解模、作答四个过程. ( )
8.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在的意义了. ( )
◆ 题型一 函数零点所在区间的判定
[类型总述] (1)依据零点存在定理判断;(2)作出函数的图象,根据函数图象与x轴的交点情况判断.
例1 (1)函数f(x)=x3+x-1的零点所在的区间为 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=lg(x-1)+x-3,则函数f(x)的零点所在的区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
变式 (1)设f(x)=2x+x-4,则函数f(x)的零点所在的区间为 ( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
(2)函数f(x)=-ln x的零点所在的区间是 ( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,+∞)
◆ 题型二 与函数零点个数有关的问题
[类型总述] (1)求函数的零点个数;(2)利用函数的零点个数求参数的取值范围.
例2 (1)函数f(x)=x2+ln x-2021的零点个数是 ( )
A.3 B.2
C.1 D.0
(2)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a有3个不同的零点,则a的取值范围是 ( )
A.(0,4) B.(0,+∞)
C.(0,3) D.(3,4)
(3)[2023·天津卷] 若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为 .
变式 (1)[2023·江西铜鼓中学高一月考] 函数f(x)=log2(x+4)-3x的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知λ∈R,函数f(x)=若f(x)的图象与x轴恰好有2个交点,则λ的取值范围是 .
例3 已知函数f(x)=若g(x)=f(x)-m恰有3个零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是 ( )
A. B.
C.(-∞,0] D.(-∞,0)
变式 [2023·湖南长沙高一期末] 已知a>1,x1,x2分别是函数f(x)=ex+x-a与g(x)=ln x+x-a的零点,若m=+x2,则m的取值范围为 .
◆ 题型三 利用二分法求方程的近似解
[类型总述] 对于一些没有求根公式的方程,可考虑利用二分法求其近似解.
例4 用二分法逐次计算函数f(x)=ln x+x在区间[0.5,1]内的一个零点附近的函数值,所得数据如下:
x 0.5 1 0.75 0.625 0.562 5
f(x) -0.193 1 0.462 0.155 -0.013
则方程ln x+x=0的一个近似根(精确度为0.1)为 ( )
A.0.56 B.0.57 C.0.65 D.0.8
变式 [2023·江苏淮安高一期末] 已知函数f(x)=x3+x-1在(0,1)内有一个零点,且求得f(x)的部分函数值如下表所示:
x 0 1 0.5 0.75 0.625 0.687 5 0.656 25
f(x) -1 1 -0.375 0.172 -0.131 0.012 -0.061
要使f(x)零点的近似值的精确度为0.1,则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为 ( )
A.6次,0.75 B.5次,0.65
C.4次,0.65 D.4次,0.55
◆ 题型四 实际问题的函数建模
[类型总述] 函数模型是高考常考的考点,涉及的实际问题较广,解题的关键是把实际问题转化为数学问题,题目难度中等.
例5 [2023·大连育明高级中学高一期中] 某种热饮需用开水冲泡,其基本操作流程如下:①先将水加热到100 ℃,水温y(单位:℃)与时间t(单位:min)近似满足一次函数关系;②用开水将热饮冲泡后在室温下放置,水温y与时间t近似满足的函数关系式为y=80+b(a,b为常数), 通常这种热饮在40 ℃时,口感最佳.某天室温为20 ℃时,冲泡热饮的部分数据如图所示,那么按上述流程冲泡一杯热饮,并在口感最佳时饮用,需要的时间为( )
A.35 min B.30 min
C.25 min D.20 min
变式 (1)[2023·北京朝阳区高一期末] 某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润为100元,要使生产100千克该产品获得的利润最大,该厂应选取的生产速度是 ( )
A.2千克/小时 B.3千克/小时
C.4千克/小时 D.6千克/小时
(2)[2023·江苏扬州一中高一期中] 著名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃,则t min后物体的温度θ(单位:℃)满足θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.若常数k=0.05,空气温度为30 ℃,则某物体的温度从120 ℃下降到40 ℃,大约需要的时间为(参考数据:ln 3≈1.1) ( )
A.36 min B.39 min
C.40 min D.44 min(共29张PPT)
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◆ 知识网络
◆ 知识辨析
◆ 素养提升
判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
1.函数的零点是点 .( )
×
[解析] 函数的零点不是点，是一个数，是函数的图象与 轴交点的横坐标,所以
函数 的零点为1.
2.判断方程解的个数也就是判断对应函数零点的个数.( )
√
[解析] 函数的零点就是方程 的解.
3.函数 一定有零点.( )
√
[解析] 因为恒成立，所以函数 一定有两个零点.
4.若函数在区间上满足，则在 上至少有一个
零点.( )
×
[解析] 函数在 上的图象可能不是连续的曲线.
5.函数 没有零点.( )
√
[解析] 函数的定义域为，当时，，
当 时，，所以函数 没有零点.
6.满足的函数 的零点问题都可以用二分法求解.( )
×
[解析] 二分法适用于图象在区间 上是一条连续曲线，且满足
的函数的零点问题.
7.函数建模一般要经历审题、建模、解模、作答四个过程.( )
√
[解析] 符合函数建模的步骤要求.
8.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在的意义
了.( )
×
[解析] 不一定，函数模型只是用来预测结果，与实际结果可能相等也可能不相等.
题型一 函数零点所在区间的判定
［类型总述］（1）依据零点存在定理判断;（2）作出函数的图象，根据函数图
象与 轴的交点情况判断.
例1（1） 函数 的零点所在的区间为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 易知在上是增函数.因为, ,
所以,故函数的零点所在的区间为 .
（2）已知函数，则函数 的零点所在的区间是 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
构造函数, ，
在同一平面直角坐标系内作出函数与 的图象，
如图所示.
结合图象可知，这两个函数图象的交点的横坐标在区间
内，故函数的零点所在的区间是 .故选C.
变式（1） 设，则函数 的零点所在的区间为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 易知函数在定义域内是增函数，因为， ，
所以由零点存在定理得，的零点位于区间 内.
（2）函数 的零点所在的区间是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 易知函数在定义域内是减函数.
，，，
根据零点存在定理可得，函数的零点所在的区间是 ，故选B.
题型二 与函数零点个数有关的问题
［类型总述］（1）求函数的零点个数；（2）利用函数的零点个数求参数的取
值范围.
例2（1） 函数 的零点个数是( )
C
A.3 B.2 C.1 D.0
[解析] 由题意可得，求函数 的零点个数，即求方
程的解的个数.
数形结合可得，函数 的图象和函数的图象有1个
交点，故 有1个零点，故选C.
（2）已知函数若函数 有3个不同的
零点，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 在同一平面直角坐标系内作出
的图象和直线 ，如图所示，
由图可知当时， 的图象与直线
有3个交点，即函数
有3个不同的零点.故选A.
（3）[2023·天津卷] 若函数 有且仅有两个零
点，则 的取值范围为________________________.
[解析] 方法一：①当时，,则 只有
一个零点 ，不符合题意.
②当时，关于的不等式 恒成立，
此时,
当时， 只有一个零点，不符合题意；
当时，令 ,得,
故 有且仅有两个零点，符合题意.
③当时，关于的方程有两个不等实根, ,
不妨设,此时
即
令,得,,,,其中, ,
,,
当时， ,
,舍去,,
故 有且仅有两个零点，1，符合题意；
当时， , ,舍去,,
故有且仅有两个零点, ，符合题意.
综上，的取值范围为 .
方法二：当 时，
,
令,得， .
又，所以对应，对应 .
当时，，
令,得 ，.
又，所以对应，对应 .
特别地，当时，函数只有一个零点，为,不符合题意；
当 时，函数只有一个零点，为,不符合题意；
当时，函数 有两个零点，分别为和,符合题意.
综上，的取值范围为 .
变式（1） [2023·江西铜鼓中学高一月考]函数 的零点
个数为( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 函数 的零点个数等价于方程 的实根个数，
等价于函数与 图象的交点个数.
在同一平面直角坐标系中，
作出函数与 的大致图象，
如图所示，
由图可知两个函数图象共有两个不同的交点，
故 有两个零点．故选C.
（2）已知，函数若的图象与 轴恰好有2
个交点，则 的取值范围是_______________.
[解析] 当时，；当时，或 .
由题可知，函数有2个零点.
若当 时没有零点，则当 时有2个零点，此时；
若当 时有1个零点，则当 时有1个零点，此时.
所以 的取值范围是 .
例3 已知函数若恰有3个零点， ，
，则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 不妨设，作出函数的图象与直线 ，如图所示，
由图可知，当时，直线与函数 的图象有三个交点，
且有，.
由，得 ，
因为，所以，
所以 ，
则，故 .故选B.
变式 [2023·湖南长沙高一期末] 已知,, 分别是函数
与的零点，若，则 的取值
范围为_________.
[解析] 由题意知是与图象交点的横坐标，
是 与图象交点的横坐标.
显然与的图象关于直线 对称，
直线与直线垂直，
因此这两个交点关于直线 对称，
如图所示，所以，因为，所以 ，
所以，即的取值范围为 .
题型三 利用二分法求方程的近似解
［类型总述］ 对于一些没有求根公式的方程，可考虑利用二分法求其近似解.
例4 用二分法逐次计算函数在区间 内的一个零点附近
的函数值，所得数据如下：
0.5 1 0.75 0.625
1 0.462 0.155
则方程的一个近似根（精确度为 ）为( )
B
A.0.56 B.0.57 C.0.65 D.0.8
[解析] 由表格知在区间 两端点处的函数值符号相反，且区间长
度不超过 ，符合精确度要求，因此，方程根的近似值可取此区间上任意一个
数．故选B.
变式 [2023·江苏淮安高一期末] 已知函数在 内有一个零
点，且求得 的部分函数值如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625
1 0.172 0.012
要使零点的近似值的精确度为，则对区间 的最少等分次数和近似解
分别为( )
C
A.6次， B.5次， C.4次， D.4次，
[解析] 由题意可知，对于区间，需要求解,, ,
的值，然后得到 零点精确度为0.1的近似值，所以零点的近似解
可以为，区间 最少等分4次.故选C.
题型四 实际问题的函数建模
［类型总述］ 函数模型是高考常考的考点，涉及的实际问题较广，解题的关键
是把实际问题转化为数学问题，题目难度中等.
例5 [2023·大连育明高级中学高一期中]某种热饮需用开水冲
泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到，水温
（单位：）与时间（单位： ）近似满足一次函数关系；
②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，水温与时间 近似满足
的函数关系式为,为常数 ,通常这种热饮在
C
A. B. C. D.
时，口感最佳.某天室温为 时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上
述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，需要的时间为( )
[解析] 由题意，当时，函数图象是一条线段.
当 时，函数的解析式为,图象过点和点，
将， 代入解析式，有解得
故,.
当 时，令，解得,所以需要的时间为 ．故选C.
变式（1） [2023·北京朝阳区高一期末]某厂以 千克/时的速度匀速生产某种产
品（生产条件要求），每小时可获得的利润为 元，
要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是( )
C
A.2千克/小时 B.3千克/小时 C.4千克/小时 D.6千克/小时
[解析] 由题意得，生产100千克该产品获得的利润
，
，
令，则 ，，
故当时， 取得最大值，此时 .故选C.
（2）[2023·江苏扬州一中高一期中]著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在
空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则 后物体的
温度 （单位：）满足．若常数 ，空气温度为
，则某物体的温度从下降到 ，大约需要的时间为（参考数据：
）( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题知，，， ，
，， ，
.故选D.