滚动习题(八)
[范围§1~§2]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是 ( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
2.[2023·广西防城港高一期末] 某商店进了一批服装,每件进价为60元.当每件的售价为90元时,每天可售出30件.在一定的范围内这批服装每件的售价每降低1元,每天就多售出1件.要使这批服装每天的利润最大,每件的售价应为 ( )
A.60元 B.90元
C.80元 D.70元
3.[2023·重庆北山中学高一月考] 已知函数f(x)=x-e-x的部分函数值如下表所示,
x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5
f(x) 0.632 -0.106 5 0.277 6 0.089 7 -0.007
那么函数f(x)的一个零点的近似值(精确度为0.1)为 ( )
A.0.55 B.0.57 C.0.65 D.0.7
4.函数f(x)=ln x与函数g(x)=的图象的交点的横坐标所在的大致区间是 ( )
A.(1,2) B.(2,3)
C. D.(e,+∞)
5.[2023·福州三中高一期中] 2021年5月11日,国家统计局发布第七次全国人口普查公报(第二号),公报显示截至2020年11月1日零时,全国总人口为a=14.434 973 78亿人.如果到2049年11月1日零时全国总人口超过16亿人,那么从2021年11月1日零时到2049年11月1日零时,全国总人口数的年平均增长率应不低于( )
A. B.
C. D.-1
6.(多选题)下列说法正确的有 ( )
A.函数y=x2-3x-4的零点是(4,0),(-1,0)
B.方程ex=3+x有两个解
C.函数y=3x,y=log3x的图象关于直线y=x对称
D.用二分法求方程3x+3x-8=0在(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间(1.25,1.5)内
7.(多选题)在某次购物节中,某电商对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额满一定额度,可以给予以下优惠:
(1)如果购物总额不超过100元,则不给予优惠;
(2)如果购物总额超过100元但不超过200元,则可以使用一张10元优惠券;
(3)如果购物总额超过200元但不超过500元,则不超过200元的按第(2)条给予优惠,超过200元的部分给予9折优惠;
(4)如果购物总额超过500元,则不超过500元的按第(2)(3)条给予优惠,超过500元的部分给予8折优惠.
某人购买了部分商品,则下列说法正确的是 ( )
A.如果购物总额为168元,则应付款158元
B.如果购物总额为368元,则应付款351.2元
C.如果购物总额为768元,则应付款674.4元
D.如果购物时一次性全部付款1084元,则购物总额为1280元
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
8.已知a是函数f(x)=2-log2x的零点,则实数a的值为 .
9.若函数f(x)同时满足下列两个条件:
(1)f(1)f(-1)<0;(2)f(x)无零点.
则函数f(x)的解析式可以是 .
10.已知f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个零点,则实数k的取值范围是 .
11.[2023·江苏海安高级中学月考] 如果物体初始温度为T0,则经过时间t(单位:分钟)的温度T满足T-Ta=(T0-Ta),其中Ta是环境温度,h为常数.现有一杯80 ℃的热水用来泡茶,研究表明,此茶的最佳饮用口感会出现在55 ℃.经测量室温为25 ℃,茶水降至75 ℃大约用时一分钟,那么为了获得最佳饮用口感,从泡茶开始大约需要等待 分钟.
(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.50,lg 5≈0.70,lg 11≈1.04.)
三、解答题(本大题共3小题,共45分)
12.(15分)[2023·江西上饶高一期中] 已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3-x).
(1)证明:函数f(x)是偶函数;
(2)求函数f(x)的零点.
13.(15分)2023年9月23日,第19届亚运会开幕式在杭州成功举行,完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内(包括第30天),第x(x∈N*)天每件的销售价格M(单位:元)满足M(x)=第x天的日销售量N(单位:千件)满足N(x)=a+,且第2天的日销售量为13 000件,第3天的日销售量为12 000件.
(1)求N(x)的解析式;
(2)若每件该产品的总成本为20元,求该产品在开幕式后的30天内第x天的日销售利润f(x)(单位:千元)的解析式,并求开幕式后第几天的日销售利润最小.
14.(15分)[2023·江西景德镇一中高一期中] 已知f(x)=|x2-1|+x2+kx.
(1)若k=2,x≤-1,求方程f(x)=0的解.
(2)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x2.
①求k的取值范围;②证明:+<4.滚动习题(八)
1.C [解析] ∵f(-2)=e-2-2-2<0,f(-1)=e-1-1-2<0,f(0)=e0+0-2<0,f(1)=e+1-2>0,∴f(1)f(0)<0,∴f(x)的零点所在的区间是(0,1).
2.B [解析] 设这批服装每件的售价为(90-x)元,则每天的销售量增加了x件,所以每天所获利润y=(30-x)(30+x)=-x2+900,故当x=0时,每天所获利润最大.故售价定为每件90元时,每天可获得最大利润.故选B.
3.B [解析] 易知f(x)在[0,1]上单调递增,且f(x)在[0,1]上的图象是一条连续不断的曲线,由表格中数据得f(0.562 5)·f(0.625)<0,且|0.625-0.562 5|<0.1,所以函数f(x)的精确度为0.1的零点在(0.562 5,0.625)内,故所求的近似值为0.57.故选B.
4.B [解析] 令h(x)=ln x-,因为h(2)=ln 2-1<0,h(3)=ln 3->0,且函数h(x)在(2,3)上的图象是一条连续不断的曲线,所以函数h(x)在区间(2,3)内有零点,所以函数f(x)=ln x与函数g(x)=的图象的交点的横坐标所在的大致区间为(2,3),故选B.
5.D [解析] 设年平均增长率为x,则a(1+x)29≥16,所以(1+x)29≥,即x≥-1.故选D.
6.BCD [解析] 对于A,令x2-3x-4=0,解得x=-1或x=4,所以函数y=x2-3x-4的零点是-1和4,故A错误;对于B,分别作出y=ex,y=3+x的图象如图所示,由图可知y=ex与y=3+x的图象有两个交点,即方程ex=3+x有两个解,故B正确;对于C,函数y=3x与y=log3x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,故C正确;对于D,因为y=3x+3x-8在(1,2)上单调递增,f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,所以由零点存在定理,可知方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故D正确.故选BCD.
7.ACD [解析] 设购物总额为x元,应付款为y元,根据题意知,当0500时,y=460+(x-500)×0.8=0.8x+60且y>460.对于选项A,购物总额x=168元,则应付款y=168-10=158(元),正确.对于选项B,购物总额x=368元,则应付款y=0.9×368+10=341.2(元),不正确.对于选项C,购物总额x=768元,则应付款y=0.8×768+60=674.4(元),正确.对于选项D,由购物时一次性全部付款y=1084元,且y>460,可得1084=0.8x+60,则x=1280(元),正确.故选ACD.
8.4 [解析] 因为a是函数f(x)=2-log2x的零点,所以f(a)=2-log2a=0,解得a=4.
9.f(x)=(答案不唯一) [解析] 根据题意,由函数零点存在定理,知f(x)的图象必定不连续,可以考虑f(x)为反比例函数,则函数f(x)的解析式可以是f(x)=(答案不唯一).
10.(-2,0)∪{2} [解析] 函数g(x)=f(x)-k有两个零点,即方程f(x)=k有两个根,即函数y=f(x)与y=k的图象有两个交点,作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,显然,当k=2或-211.6 [解析] 根据题意可知, 环境温度Ta=25℃,初始温度T0=80℃,经过时间t(单位:分钟)的温度T满足T-Ta=(T0-Ta).因为茶水降至75℃大约用时一分钟,即当t=1时,T=75℃,所以75-25=(80-25),可得=lo=lo,则h=.所以要使得该茶降至55℃,即T=55℃,则有55-25=(80-25),得=lo=lo,故t=·h====≈=6.所以大约需要等待6分钟.
12.解:(1)证明:由解得-3(2)f(x)=ln(3-x)+ln(3+x)=ln(9-x2),
令ln(9-x2)=0,得9-x2=1,解得x=±2,
∴函数f(x)的零点为-2和2.
13.解:(1)由题意知解得
所以N(x)=10+(1≤x≤30,x∈N*).
(2)设第x天每件该产品的销售利润为P(x),则P(x)=
所以第x天的日销售利润f(x)=N(x)·P(x)=
即f(x)=
当1≤x≤20时,f(x)=10x++606≥2+606=726,当且仅当10x=,即x=6时等号成立.
当20所以f(x)min=f(30)=714<726.
故当x=30时,f(x)取得最小值714,即开幕式后第30天的日销售利润最小.
14.解:(1)当k=2时,f(x)=0,
即|x2-1|+x2+2x=0,
当x≤-1时,方程可化为2x2+2x-1=0,解得x=,因为0<<1,
所以舍去,所以x=.
(2)①当x∈(0,2)时,f(x)=|x2-1|+x2+kx=
因为方程2x2+kx-1=0在(1,2)上至多有1个实根,
方程kx+1=0在(0,1]上至多有一个实根,
所以方程f(x)=0在(0,2)上的两个解x1,x2中,1个在(0,1]内,1个在(1,2)内,
不妨设x1∈(0,1],x2∈(1,2).
设g(x)=2x2+kx-1,
数形结合可分析出解得-由x1∈(0,1]可得0<-≤1,所以k≤-1.
故k的取值范围是.
②证明:因为x1=-,x2=,
所以+=,-令t=-k,则t∈,+=,
因为y=在上单调递增,
所以+=<=4,故得证.
