单元素养测评卷(五)
1.D [解析] 解方程x3-x=0,得x=-1或x=0或x=1,所以函数y=x3-x有3个零点.
2.B [解析] 令f(x)=log4x-,因为函数y=log4x,y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)=log4x-在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=-<0,f(2)=log42-=-=>0,所以函数f(x)=log4x-在区间(1,2)上有唯一零点,所以用二分法求方程log4x-=0的近似解时,所取的第一个区间可以是(1,2).故选B.
3.C [解析] 设前后两次地震释放的能量分别为E1,E2,由已知得两式相减得lg=1.5×0.5=0.75,则n==100.75=1=.因为54<1000<64,所以5<<6,即n=∈(5,6),所以n的整数部分为5.故选C.
4.B [解析] 由题意知f(12)=log2(12+m)=0,可得 m=-11,∴f(x)=则f(19)=log2(19-11)=3,∴f[4f(19)]=f(4×3)=f(12)=0.故选B.
5.B [解析] 因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(1)f(1.5)<0,所以函数f(x)在(1,1.5)内有零点,因为1.5-1=0.5>0.1,所以不满足精确度为0.1;因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数f(x)在(1.25,1.5)内有零点,因为1.5-1.25=0.25>0.1,所以不满足精确度为0.1;因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数f(x)在(1.375,1.5)内有零点,因为1.5-1.375=0.125>0.1,所以不满足精确度为0.1;因为f(1.437 5)>0,所以f(1.437 5)f(1.375)<0,所以函数f(x)在(1.375,1.437 5)内有零点,因为1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,所以满足精确度为0.1.所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)是区间[1.375,1.437 5]内的任意一个值,根据四个选项可知B符合.故选B.
6.C [解析] 函数y=-x2+bx+c只有一个零点,则Δ=b2+4c=0.不等式-x2+bx+c-m>0的解集为(x0,x0+2),即x2-bx-c+m<0的解集为(x0,x0+2).设方程x2-bx-c+m=0的两根为x1,x2,则x1+x2=b,x1·x2=-c+m,且|x2-x1|=2,∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=4,则b2-4(-c+m)=4,整理得b2+4c-4m=4,∴m=-1.故选C.
7.B [解析] 由题可知当上市时间为120天时,种植成本要低于上市时间为50天和150天时的种植成本,所以二次函数模型最合适.故选B.
8.B [解析] 若f(x)存在零点,取f(x)=3x-1,x∈[0,1],则f=0,因为对任意x1∈[0,1],都存在x2=1-x1,使得==1,所以函数f(x)具有性质P(1),但是2 [0,1],故充分性不成立.若2∈D,则根据函数f(x)具有性质P(1),取x1=2,可得存在x2∈D,使得==1,所以f(x2)=0,所以f(x)存在零点x2,故必要性成立.综上所述,若函数f(x)具有性质P(1),则“f(x)存在零点”是“2∈D”的必要不充分条件,故选B.
9.ABD [解析] 用二分法只能求出变号零点,对于不变号的零点,不能使用二分法求解,结合选项,只有(-1.3,-0.8),(-0.3,0.3)和(1.3,1.8)内的零点可用二分法求出.故选ABD.
10.BC [解析] 因为x≤16,p(x)=-x2+6x-20=-(x-15)2+25,所以当x=15时,能获得最大利润,最大利润为p(15)=25(万元),故B正确,D错误;y==-x+6-=-+6≤-2+6=2,当且仅当x=,即x=10时取等号,所以当x=10时,利润率取得最大值2,故C正确,A错误.故选BC.
11.BC [解析] 函数g(x)恰有3个零点等价于方程f(x)=m有3个不等实根,等价于f(x)的图象与直线y=m有3个交点.作出y=f(x)的图象,如图所示,由图可知,当
12.00,解得013.(1.5,2) [解析] 令f(x)=x3-2x-3,因为f(1)=-4<0,f(2)=1>0,f(1.5)=1.53-6<0,所以确定的下一个有根的区间是(1.5,2).
14.102-20 [解析] 因为矩形ABCD的面积为100平方米且AB=x米,所以AD= 米,EF=(x-2)米,FG=米,所以S=(x-2)=102--x.因为规定矩形ABCD的每条边长均不超过20米,所以015.解:(1)f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0,得(x+1)(x2-x+1)=0,解得x=-1,所以f(x)=x3+1存在零点,且零点为-1.
(2)方法一:令f(x)=0,得-x=0,即=0,解得x=±1,而±1 (0,1),所以f(x)=-x,x∈(0,1)不存在零点.
方法二:在同一平面直角坐标系中作出y=与y=x的图象,如图所示,从图中可以看出,当0故f(x)=-x,x∈(0,1)不存在零点.
16.解:(1)当c=0时,f(x)=|1-lg x|,
令f(x)=0,则lg x=1,解得x=10,所以f(x)的零点为x=10.
(2)令f(x)=|1-lg x|-c=0,则|1-lg x|=c(c>0),故1-lg x=±c,
因为x10,10c>0,所以由基本不等式可得4x1+x2=40×10-c+10×10c≥2=40,当且仅当40×10-c=10×10c,即c=lg 2时取等号,故4x1+x2≥40,
所以4x1+x2的取值范围为[40,+∞).
17.解:(1)由题意得P(5)·Q(5)=×180=216,解得k=1.
(2)由表中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量先增后减,并不单调,而①③中的函数为单调函数,故选②最合适,即Q(x)=ax2+bx.
由表中数据可得Q(5)=180,Q(10)=310,即解得故Q(x)=-x2+41x(1≤x≤30,x∈N*).
(3)由(1)可得P(x)=1+(1≤x≤30,x∈N*),依题意得H(x)=P(x)Q(x)=(-x2+41x)=-x2-x+41x+41=-x2+40x+41=-(x-20)2+441(1≤x≤30,x∈N*),
所以当x=20时H(x)取得最大值,即H(x)max=H(20)=441.
18.解:(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,证明如下:
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1(2)g(x)=+log2x-2在定义域(0,+∞)上是增函数,
∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.
∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,
g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,
∴函数g(x)的零点在(1.5,1.75)内,
∵|1.5-1.75|<0.3,∴g(x)零点的一个近似值为1.6.
(函数g(x)的零点近似值取区间(1.5,1.75)内的任意一个数都可以).
19.解:(1)因为函数f(x)=log2(m>0)是定义域上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),即log2=-log2=log2,
所以=,所以1-x2=1-m2x2,则m2=1,
因为m>0,所以m=1,此时函数f(x)=log2.
由>0可得<0,解得-1所以函数f(x)是定义域(-1,1)上的奇函数,合乎题意.综上所述,m=1.
(2)证明:由(1)可得f(x)=log2,
由g(x)=f(2x)-log2(2x+a)=log2-log2(2x+a)=0,
可得=2x+a,其中0<2x<1,
令t=2x∈(0,1),则=a+t,整理可得t2+(a+2)t+a-1=0.
令h(t)=t2+(a+2)t+a-1,则二次函数h(t)的图象的对称轴为直线t=-,且-<0,所以函数h(t)在(0,1)上单调递增,
因为h(0)=a-1<0,h(1)=2a+2>0,即h(0)h(1)<0,
所以函数h(t)在(0,1)上存在唯一零点.
因此,函数g(x)=f(2x)-log2(2x+a)有唯一零点.单元素养测评卷(五)
第五章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=x3-x的零点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.[2023·广东梅州高一期中] 用二分法求方程log4x-=0的近似解时,所取的第一个区间可以是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.研究表明,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.2023年12月18日在甘肃省积石山县发生了里氏6.2级地震,2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震,若前后这两个地震释放的能量的比值是n,则n的整数部分为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
4.已知12是函数 f(x)= 的一个零点,则 f[4f(19)] 的值是 ( )
A.1 B.0 C.2 D.+1
5.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为 ( )
A.1.2 B.1.4 C.1.3 D.1.5
6.[2023·湖北荆州高一期末] 已知函数y=-x2+bx+c只有一个零点,不等式-x2+bx+c-m>0的解集为(x0,x0+2),则m的值为 ( )
A.-4 B.-2
C.-1 D.1
7.某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/百千克)与上市时间t(单位:天)的数据如表:
上市时间t 50 120 150
种植成本Q 2600 500 2600
由表知,体现Q与t关系的最佳函数模型是 ( )
A.Q=at+b B.Q=at2+bt+c
C.Q=abt D.Q=a·logbt
8.[2023·大连高一期末] 已知定义域为D的函数f(x),若对任意x1∈D,都存在x2∈D,使=a,则称函数f(x)具有性质P(a).若函数f(x)具有性质P(1),则“f(x)存在零点”是“2∈D”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.如图是函数f(x)的图象,它与x轴有7个不同的交点,给出下列四个区间,则各区间内的零点能用二分法求出的是( )
A.(-1.3,-0.8) B.(-0.3,0.3)
C.(0.3,0.8) D.(1.3,1.8)
10.[2023·宁夏石嘴山中学高一期中] 几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品,生产此产品获得的月利润p(x)(单位:万元)与每月投入的研发经费x(单位:万元)有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元,且p(x)=-x2+6x-20,利润率y=.某月已投入研发经费9万元,则下列判断正确的是 ( )
A.此时获得最大利润率
B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率
D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润
11.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m恰有3个零点,则m的取值可能为 ( )
A. B.1
C.2 D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2023·江西宜丰中学高一月考] 函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 .
13.求方程x3-2x-3=0在区间(1,2)内的实数根,用二分法确定的下一个有根的区间是 .
14.某中学为了扩大校园绿化面积,规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建花圃,规定矩形ABCD的每条边长均不超过20米,如图所示,要求矩形区域EFGH用来种花,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的草坪区域,设AB=x米,草坪区域EFGH的面积为S平方米,则S的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)判断下列函数是否存在零点.如果存在,求出零点;如果不存在,说明理由.
(1)f(x)=x3+1,x∈R;
(2)f(x)=-x,x∈(0,1).
16.(15分)[2023·北京西城区高一期末] 已知函数f(x)=|1-lg x|-c,其中c∈R.
(1)若c=0,求f(x)的零点;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x117.(15分)[2023·北京通州区高一期中] 2023年杭州亚运会给人们留下了深刻印象,也带火了很多杭州特色产品.某小组通过对一款杭州特产龙井茶的某官网销售情况的调查发现,该商品在过去30天内,第x(x∈N*)天的销售单价P(x)(单位:百元/件)近似满足P(x)=1+(k为常数),第x天的销售量Q(x)(单位:件)的部分数据如下表所示:
x 5 10 15 20 25 30
Q(x) 180 310 390 420 400 330
已知第5天的销售收入为216百元.
(1)求k的值.
(2)给出以下三种函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=ax2+bx;③Q(x)=a·bx.请根据上表中的数据,选择你认为最合适的一种函数模型来描述Q(x)与x的变化关系,并求出函数Q(x)的解析式.
(3)记该商品在这30天内的日销售收入为H(x)(单位:百元),求H(x)的最大值.
18.(17分)已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明.
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用二分法求零点的一个近似值(精确度为0.3);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
19.(17分)已知函数f(x)=log2(m>0)是定义域上的奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若0