3.3抛物线同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版2019

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3.3抛物线同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019
一、单选题
1．过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
2．设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（ ）

A．50m B． C．55m D．
7．已知抛物线的焦点为F，定点，P是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
8．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列结论错误的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．线段的长度为
C． D．线段的中点到y轴的距离为
10．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A．的斜率为
B．是锐角三角形
C．四边形的面积是
D．
11．已知顶点为的抛物线为上位于焦点右侧的一个动点，则（ ）
A．若，则
B．若满足，则
C．若直线交于两点，且，则
D．若直线交于点，则
三、填空题
12．抛物线经过点，，F为焦点，且，则的值为 ．
13．已知抛物线与双曲线共焦点，设的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的离心率为 ．
14．已知，顶点为的抛物线，焦点为，点是上一点，已知的外接圆与的准线相切，且外接圆的面积为，过点作的两条切线，切点分别为，则的面积为 ．
四、解答题
15．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
16．已知直线与抛物线相切，且切点为.
(1)求直线的斜率的值；
(2)如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值.
17．已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点．
(1)若直线过点，且其倾斜角，求的取值范围；
(2)是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点.
19．已知抛物线，直线过点且与抛物线交于两点，直线分别与抛物线的准线交于.
(1)若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：；
(2)求证：为定值；
(3)求的最小值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B C A C C BD ABD
题号 11
答案 AD
1．D
【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解.
【详解】由题得直线，设，联立得，
令，则，所以，
由，
则，解得．故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】求出的直线，再与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，从而可得，即可求解.
【详解】易知过点的直线为：，设，，
由得，则，
因为，
则．故D正确.
故选：D.
3．C
【分析】由题意记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，再结合和及抛物线定义知识可求得，即可求解.
【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，
因为，所以，即，
由于，所以，
由可知，所以，而，
由可知，即的方程为．故C正确.
故选：C.
4．B
【分析】设出直线方程，联立曲线后借助焦点弦公式计算即可得.
【详解】依题意，设直线的方程为，
由，得，所以，
所以，
解得，所以直线的斜率为．
故选：B.
5．C
【分析】设出满足条件的点的坐标，根据已知列出方程求解即可.
【详解】设满足条件的点为，
则到的准线的距离为，
设，所以，
解得或，故所求方程为或．
故选：C
6．A
【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案.
【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知，
设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离，
则,解得．

故选：A
7．C
【分析】由抛物线的定义，结合三点共线时最小即可求解.
【详解】 准线为，A在抛物线内部，
设到准线的距离为，
到准线的距离.

故选：C.
8．C
【分析】由题意可求得抛物线方程，再根据光线的反射性质求出反射光线的方程，即可求出反射光线与抛物线的交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求得结果.
【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，
所以抛物线的方程为，则焦点为，
又因为反射光线经过点及焦点，，
所以反射光线的方程为，
联立抛物线方程得，解得或，
所以反射光线与抛物线的交点为，
由两点间距离公式可得，
所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为.
故选：C.
9．BD
【分析】对于A，将抛物线焦点代入直线l的方程求出p即可得解；对于B，联立抛物线方程和直线l的方程可求出两交点横坐标，再由焦半径公式即可计算求解；对于C，利用抛物线的定义求得，从而判断；对于D，由抛物线定义和焦半径公式求出即为解.
【详解】对于A，由题可知在直线上，
所以，故抛物线的方程为，故A正确；
对于B，联立，
所以或，故B错误；
对于C，因为，所以，
因为轴，轴，
所以，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以线段的中点到y轴的距离为，故D错误.
故选：BD.
10．ABD
【分析】根据题意分析可知为等边三角形，即可得直线的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线的方程，联立方程求点的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，

设，
则，可得，
因为，即，
可知为等边三角形，即，
且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；
则直线，
联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在中，，且，
可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；
四边形的面积为，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
11．AD
【分析】对于A，利用点在抛物线上结合两点斜率公式消元，再利用基本不等式计算即可；对于B，利用锐角三角函数结合点坐标计算即可；对于C，设坐标及直线方程，联立抛物线求出关系式即可；对于D，设坐标及直线方程，联立抛物线结合韦达定理及二次函数的性质计算即可.
【详解】对于A，当，时，，
则，
又，所以，A正确；

对于B，，
又，所以，B错误；

对于C，设，则，
设，联立，得，
同理可得，所以，
所以，当且仅当时，，
而当时，，
而为上位于焦点右侧的一个动点，即，矛盾，故C错误；

对于D，设，
联立得，，，
，
又，所以，D正确.

故选：AD
12．
【分析】根据焦半径公式得，进而得，再结合的横坐标为求解即可.
【详解】∵抛物线经过点，为抛物线的焦点，且，
∴抛物线的定义，可得，解得，
∴，
∵的横坐标为，
∴，解得．
所以.
故答案为：．
13．
【分析】先确定抛物线方程，进而得到其准线方程，过向准线做垂线垂足为，结合，结合，得到，代入数据即可求解.
【详解】
设的半焦距为，因为抛物线与双曲线共焦点，所以的方程为，
故的准线的方程为，过作于，则由抛物线的定义可知，
易知，所以，
又，所以，即，
即，解得（负值舍去）．
故答案为：
14．
【分析】利用三角形外心的性质结合圆的面积可确定抛物线方程，再设坐标，结合直线与抛物线相切及同解方程得出切点弦方程，再根据点到直线的距离公式及弦长公式计算即可.
【详解】易知，则的外接圆圆心的纵坐标为，
由题意得的外接圆半径为，故，解得，
所以的方程为，即．
设点，直线的方程为，
联立,得．
因为相切，所以，解得，
故直线的方程为，结合得①，
设点，同理得直线的方程为②，
将代入①②得,
所以直线的方程为．
由，得，则，，
故．
又易得点到直线的距离为，所以．
故答案为：.

15．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，即可求得的轨迹方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，得到，根据，的方程，将①式代入，求得，进而判定直线过定点.
【详解】（1）因为动点到定点的距离比到直线的距离少1，
所以动点到定点的距离与到直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，
所以轨迹方程为；
（2）如图，设，
由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，
设其方程为，显然，
联立方程组，整理得，
由韦达定理知，
由，可得，可得，
即，整理得，
将①式代入上式，可得，
此时，直线的方程可表示为，即，
所以直线恒过定点.
【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，（如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解），把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解.
16．(1)
(2)
【分析】（1）设直线l的方程，与抛物线联立方程组，消去x整理后，由求的值；
（2）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线BM的方程，与抛物线联立方程组，求点坐标，同理得点坐标，表示出直线PQ的斜率，化简得的值.
【详解】（1）显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
与联立，消去x整理得，
令，即，
解得
（2）由题意知，两直线的斜率互为相反数，
设直线BM的方程为，与联立，消去x整理得，
所以,得，从而，
将换成，同理可得，
所以.
17．(1)
(2)存在，或
【分析】（1）由题可知，且直线的斜率不为0，设，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理求弦长，然后求解三角形的面积分析求解最值即可；
（2）设直线方程为，联立方程组，将转化为，求解直线的方程即可.
【详解】（1）由题可知，且直线的斜率不为0，
设．
设直线的方程为，因为，则，
因此点到直线的距离为，
联立则，显然，
所以，
则，
所以，
当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，所以的取值范围为．
（2）设直线方程为，即，
联立得，故即,
又，
易知，
因为，则，
因为，所以，即，
解得或，
故存在斜率为1的直线，使得，此时直线的方程为或．
18．(1)；
(2)证明见详解.
【分析】（1）根据向量关系得点的坐标关系，利用相关点法可得；
（2）设方程为，的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得，代入方程化简即可得证.
【详解】（1）设，则，则，
又，所以，得，
因为点在抛物线上，所以，
所以动点的轨迹方程为
（2）显然直线斜率存在且不为0，设方程为，
由得，，
设，则，
所以①，
直线的方程为，
由得，，
设，则②，
由①②得，整理得③，
若直线斜率不存在，则，代入③可得，
则，所以直线方程为；
若直线斜率存在，则，
则直线方程为，即，
将③代入得，
即，故直线斜率存在时过定点.
综上，直线过定点.
【点睛】关键点睛：第二问关键在于设出方程，联立抛物线方程，利用韦达定理消去点坐标，得到坐标关系，根据此关系代入方程整理即可得证.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设,，可得，结合两点间距离公式求，即可分析证明；
（2）设，,，联立方程可得韦达定理，结合数量积的坐标可得为定值；
（3）根据题意求得，，整理可得，由此能求出的最小值．
【详解】（1）点是抛物线上任意一点，
设,，
抛物线的准线方程为．
点在直线上的射影为，
，
，，
．
（2）由题设知直线的斜率一定存在，设，
由，得，
设,，则，，
，
,，,，
．
故为定值．
（3）因为,，，
直线，直线，
，都在直线上，
，，
，
当时，取最小值．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.
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