22.1二次函数的图像和性质典型例题与跟踪训练（含解析）-数学九年级上册人教版

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22.1二次函数的图像和性质典型例题与跟踪训练-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列各式中，y是x的二次函数是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．若抛物线（a，h，k均为常数，）的顶点坐标为，且抛物线经过点，则该抛物线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数y 的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数经过点和点，交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③当时，y随着x的增大而增大；④若，则．以上说法正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ．
10．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为 ．
11．写一个满足下列两个条件的二次函数：（1）开口向下；（2）顶点坐标是，可以是 ．
12．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
13．已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，点在轴正半轴上，，为直线上一点，过点作直线轴，直线交抛物线于点，当的长为时，点的坐标为 ．
16．如图，抛物线的对称轴是，下列结论：
①；②；③当时，随的增大而减小；④．则正确的结论是 ．（填序号即可）
三、解答题
17．如图，有长为米的篱笆，一面利用墙(墙足够长)，围成长方形花圃．设花圃的宽为x米，面积为S米，
(1)求S与x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
18．已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，且过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式．
19．已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点．
(1)求抛物线的函数解析式及点C的坐标；
(2)平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，且与x轴交于两点，连接，．点P是抛物线上的点，连接，若，请求出所有符合条件的点P的坐标．
20．小明在研究某二次函数时，函数值与自变量的部分对应值如表：
(1)求该二次函数的表达式．
(2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值．
(3)已知点是该二次函数图象与轴的交点，把点向下平移（）个单位得到点．若点向左平移（）个单位，将与该二次函数图象上的点重合；若点向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，求，的值．
21．已知二次函数，该函数图象的对称轴为直线，与x轴相交于点A和点B（点B在点A右侧），与y轴交于点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)如图①，点D是直线下方抛物线上的动点，过点D作轴交直线于点E，求的最大值；
(3)如图②，点P是直线下方抛物线上的动点，于点Q，当取最大值时，求点P的坐标．
22．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“琦点”．例如，点是函数的图象的“琦点”．
(1)分别判断函数，的图象上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标；
(2)若抛物线有两个“琦点”为点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式；
(3)若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当两部分组成的图象上恰有3个“琦点”时，求m的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C D B B B
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如为常数，的函数，叫二次函数.根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A.y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B. ，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C. 是x的二次函数，故本选项符合题意；
D. ，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C
2．D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．其顶点坐标是，对称轴为直线．根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是．
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查抛物线的性质，待定系数法求抛物线解析式，先有顶点坐标为，且抛物线经过点求出解析式，再画图判断即可．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线解析式为，
抛物线的大致图象如图：

∴该抛物线不经过第三象限，
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，两个二次函数的二次项系数的绝对值相同时，两个二次函数图象的形状才相同，据此求解即可．
【详解】解：两个二次函数的二次项系数的绝对值相同时，两个二次函数图象的形状才相同，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函数的性质．根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是，根据函数的性质得出图象的开口向下，点离对称轴越近，函数值越大，即可得到．
【详解】解：∵，
函数图象的对称轴是，图象的开口向下，
∴点离对称轴越近，函数值越大，
∵，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，属于基础题．先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，不符合题意；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，符合题意；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，不符合题意；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，不符合题意．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，交点坐标和系数的关系，①二次函数经过点和点，因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值；②二次函数经过点和点，因而将M、N两点坐标代入即可消去b解得；③求出对称轴，然后结合a的取值范围判断；④当时利用根与系数的关系可得到的值，当时，可得到的值，通过ｃ建立等量关系求证判断④．
【详解】解：∵经过点和点，
∴，
由得到：，故①正确；
由得到，则，则，
∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；
故②正确；
二次函数的对称轴，当时不能判定时，y随x的增大而增大；故③错误；
∴二次函数为
；
∴二次函数为当时，，
利用根与系数的关系得，即，
当时，，即，
∴若，则，
故④正确，
故选：B
9．
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为，
∵顶点在第一象限，
∴，
∴m的取值范围为．
故答案为：．
10．4
【分析】根据得到抛物线开口向下，对称轴为直线，分当时，，，四种情形解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，且与对称轴的距离越大，函数值越小，
当时，，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，
∴，，
解得或（舍去），
∴的值为4；
当时，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，
∴，，
解得，，
∴都不符合题意，舍去；
当时，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，
解得，，
∴都不符合题意，舍去；
当时，根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，
∴，，
解得，，不符合题意，
故答案为：4．
11．（答案不唯一）
【分析】此题考查了二次函数的解析式．根据二次函数的性质和顶点式进行解答即可．
【详解】解：根据题意可得，一个满足下列两个条件的二次函数为，
故答案为：（答案不唯一）
12．/
【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵，，，，
∴，
∵存在，
∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，即，且，
∵，，
∴且，
解得，
故答案为： ．
13．/
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质．
把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解．
【详解】解：把代入，则，
解得：，
二次函数解析式为：，
令，则，
故，
∵抛物线的对称轴为直线，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，
，
∴此时的值最小，
∴此时周长有最小值，
，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
14．10
【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得．
【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A，
∴A点坐标为．
当时，，
解得，
∴B点坐标为，C点坐标为，
∴．
故答案为：10．
15．或或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先求出直线的解析为，然后设，则，根据的长为可得，然后解方程即可求解．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，即
∴或，
对于，化简得，
∴，
当时，，
当时，，
∴P的坐标为或；
对于，化简为，
∴，
∴，
当时，，
∴P的坐标为，
综上，P的坐标为或或
16．②④
【分析】本题考查二次函数图象与性质，由题中所给的二次函数图象，判断出符号即可确定①，由抛物线对称轴可确定②，由增减性可确定③，令，代入函数解析式即可确定④，从而确定答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：根据抛物线的对称轴位于轴右侧知异号，则；由抛物线与轴交于正半轴，则，
，故①错误；
由该抛物线的对称轴是直线知，则，故②正确；
由抛物线的对称轴为，则当时，随的增大而减小，故③错误；
由图象可知当时得，且，则，故④正确；
故答案为：②④．
17．(1)
(2)．
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，
（1）设花圃的宽为x米，则米，根据长方形的面积公式列出函数解析式，再求出自变量的取值范围即可；
（2）把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：设花圃的宽为x米，则米，则
，
由得到，
∴S与x的函数关系式为；
（2）解：，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵，
∴当时，S的最大值为．
18．(1)
(2)抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式：
（1）设满足题意的抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求的解析式结合二次函数的性质即可得到答案；
（3）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】（1）解：设满足题意的抛物线解析式为，
∵抛物线经过，
∴，
解得，
∴满足题意的抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式．
19．(1)，
(2)点P的坐标为或
【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与角度问题，二次函数的平移；
（1）把代入计算即可；
（2）先求出抛物线的解析式和所在直线的函数解析式，再根据①当点P在上方时，②当点P在下方时两种情况分别画出图形后计算即可．
【详解】（1）解：把代入中，得
解得
解得，
抛物线的解析式为．
令，则
．
（2）解：∵平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，
∴设抛物线的解析式为，
将点代入，解得，
∴抛物线的解析式为．
设所在直线的函数解析式为，
将代入得，解得
∴所在直线的函数解析式为，
①当点P在上方时，将沿x轴向右平移2个单位，此时点B与点N重合，得到线段，则所在直线的函数解析式为，
设所在直线与抛物线的另一交点为，
由平移的性质可得，，
∴，
令，解得（舍），，
．
②当点P在下方时．取的中点E，连接，交于点F，连接并延长交抛物线于点，
，，
∴是等腰直角三角形，所在直线的函数解析式为，
是的垂直平分线，
∴，
∴，
令，解得，
，
设所在直线的函数解析式为，
将代入得，解得，
∴所在直线的函数解析式为．
令，解得（舍），．
．
综上，点P的坐标为或．
20．(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的轴对称的性质，待定系数法求二次函数的解析式，点的平移规律等知识，利用二次函数的轴对称性质是解本题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求得抛物线的对称轴和顶点坐标，知当时，该二次函数的最大值为1，根据题意列得方程，据此求解即可；
（3）先求得点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性，列式计算求得；求得点C的坐标为，得到点P的坐标为，据此求解即可．
【详解】（1）解：设该二次函数的表达式为，
由题意得，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为，抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴当时，二次函数的值随的增大而增大；
当时，该二次函数的最大值为1，
∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，
∴，解得或（舍去），
∴；
（3）解：∵点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，
∴点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同，
∴，解得，
当时，，
∴点C的坐标为，
∵点C向下平移个单位得到点M，
∴点M的坐标为，
∴点P的坐标为，
将代入，得，
∴，
∴，．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求得，再用待定系数法求直线的函数表达式为，设，根据轴，得点E的纵坐标为，然后代入，求得，从而得，则，然后根据二次函数的最值求解即可．
（3）过点P作轴交于点H，先求得，则，再根据轴，则，从而得到是等腰直角三角形，由勾股定理得，设，则，则，从而得到，然后根据二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，
∴ 解得
∴该二次函数的表达式为．
（2）解：在二次函数中，令得
，解得或，
∴，
设直线的函数表达式为，
把、代入，得
，解得：，
∴直线的函数表达式为．
设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为，
把代入中，得
，解得，
∴，
∴，
∵点D是直线下方抛物线上的动点，
∴，
∵，
∴当时有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
（3）解：过点P作轴交于点H，如解图．
∵、，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵点P是直线下方抛物线上的动点，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，
此时点P的坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的图象性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，平行线的性质．熟练掌握二次函数最值的解法是解题的关键．
22．(1)函数的图象上不存在“琦点”；函数的图象上存在“琦点”为和；
(2)；
(3)或2或．
【分析】（1）根据 “琦点”的定义分析计算即可；
（2）首先确定抛物线的对称轴，根据“琦点”的概念得到，进而可得，，结合，可解得或6，然后分情况确定点坐标，利用待定求解即可；
（3）首先确定抛物线旋转后的抛物线解析式，再根据“琦点”的定义解得图像上两个“琦点”的坐标，然后分图像上只有一个“琦点”，图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，分别求解即可．
【详解】（1）因为当时，无解，
∴的图像不存在“琦点”，
当时，
整理得，
解得或1
∴的图像存在“琦点”为和．
（2）由题可知抛物线的对称轴为，
∵抛物线有两个“琦点”为点，
∴根据“琦点”的概念得，，
∴，
∵过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合），
∴点A和点C关于对称轴对称，
∴点C的横坐标为3，
∴，
，
，即，
解得或6．
①当时，
，解得．
②当时，
，解得（不合题意，舍去）．
综上，抛物线解析式为；
（3）抛物线绕点旋转后的图象记为
∴开口大小不变，方向向反，对称轴不变为y轴
∴的二次项系数为1
∴设的表达式为，顶点坐标为
∵抛物线的顶点和关于对称
∴，解得
∴的解析式为，
由，得或
∴图像上有两个“琦点”和
①图像上只有一个“琦点”，即与只有一个交点，
，
解得．
②图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，则，
解得得．
③图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，则，
解得．
综上，或2或．
【点睛】本题主要考查了新定义问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、解一元二次方程等知识，正确理解新定义“琦点”是解题关键．
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