22.3实际问题与二次函数典型例题与跟踪训练（含解析）-数学九年级上册人教版

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22.3实际问题与二次函数典型例题与跟踪训练-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．生物学研究表明：在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值（单位：）与温度（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度为时，该种酶的活性值为（ ）
A．142 B．240 C．14 D．
5．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（ ）
A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒
6．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（ ）
A．小球落地点与点O的水平距离为
B．当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为
C．小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势
D．小球与斜坡的距离的最大值为
7．如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．小明推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系式为，当铅球行进的高度为时，铅球行进的水平距离 ．
10．2023年杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物深受广大人民的喜爱．某特许零售店某款亚运会吉祥物的销售日益火爆，每个吉祥物进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每降低1元，每天的销量增加20个．现商家决定降价销售，设销售单价为元，商家每天销售吉祥物获得的利润为w元，则w关于x的函数关系式为 ．
11．如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是 米．
12．如图是某座抛物线形的廊桥示意图．抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．
13．如图，一个小球在并不光滑但均匀的水平地面上滚动，下表是小球s内滚动的路程（单位：m）的一些数据：
时间 0 1 2 3 5
路程 0 10
已知是关于的二次函数，则当时，的值为 ．
14．有一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．棚顶的竖直高度（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：m）近似满足函数关系，如图，这是其函数图象，点在图象上，点的横坐标为6．若一辆货车打算在停车棚下避雨，将货车截面看作一个长，高的矩形，则可判定货车 （填“能”或“不能”）完全停到车棚内．
15．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：）与运行的水平距离（单位：）满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．若排球运动员本次练习发球过程中球会超过球网但不会出界（可以压线），则的取值范围是 ．
16．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．
（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ；
（2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ．
三、解答题
17．如图，四边形是矩形，，两点在轴的正半轴上，，两点在抛物线，已知，求矩形的周长．
18．某工艺品厂生产一款工艺品，已知这款工艺品的生产成本为60元/件．经市场调研发现，这款工艺品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系：
售价x/（元/件） … 70 90 …
销售量y/件 … 3000 1000 …
(1)求销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
(2)求每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
(3)如何定价才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元？
19．一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，该加工品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
(1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销售量每件的利润）
(3)该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是128元？若能，求出销售单价应为多少元；若不能，请说明理由．
20．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此 抛物线篮球可准确落入篮圈．
(1)求篮圈中心到地面的距离为多少米．
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
(3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
21．如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养牛圈，其中羊圈一边靠墙，另外三边用围栏围住，在边开个门（宽度为1米），的长度为．
(1)为了让围成的羊圈（矩形）面积达到，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？
(2)请你帮忙计算一下羊圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？最大面积是多少？
22．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛某跳台滑雪台的起跳台的高度为，基准点K的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为（d为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为．
(1)c的值为 ；
(2)若运动员落地点恰好到达K点；且此时，，求基准点K到起跳台的水平距离d；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B B D B B B
1．A
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
根据增长率的问题可直接进行求解．
【详解】设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，
根据题意得，．
故选：A．
2．B
【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数．
如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式．
【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x，
∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆，
∴y与x之间的函数表达式是．
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，设边长为，则边长为，根据列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③.
【详解】解：设边长为，则边长为，
当时，，
解得
∵的长不能超过，
∴， 故①不正确；
∵菜园面积为，
∴，
整理得：
解得或
∵，
∴，
∴的长只有一个值满足菜园面积为，故②错误；
设矩形菜园的面积为，　　
根据题意得：，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为200. 故③正确；
∴正确的有１个，
故选：B．
4．B
【分析】根据函数的解析式，已知自变量的值，求其函数值解答即可．
本题考查了根据函数解析式求函数值，熟练掌握求函数值的基本方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
当时，
，
故选B．
5．D
【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了已知函数值求自变量的值，根据题意可知当时符合题意，进而求出答案即可．
【详解】当时，，
解得或，
所以球弹起后又回到地面所经过的时间是3秒．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，令，解得，，即可判断A；把代入得，求解即可判断B；将抛物线解析式化为顶点式即可判断C；设抛物线上一点的坐标为，作轴交直线于，则，表示出，结合二次函数的性质即可判断D，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：令，解得，，
∴小球落地点与点O的水平距离为，故A正确，不符合题意；
把代入得，
解得：，，
∴当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为或，故B错误，符合题意；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势，故C正确，不符合题意；
设抛物线上一点的坐标为，
作轴交直线于，则，
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴小球与斜坡的距离的最大值为，故D正确，不符合题意；
故选：B．
7．B
【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可.
【详解】解：当时，如图，
∵三个动点同速，
∴三个动点路程相同，
∴，
∵
∴，
∴
当时，如图，
此时
∴，
∴，
∴
∴结合两个函数判断B符合题意，
故选：B
8．B
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，求出的坐标，顶点式，求得二次函数的解析式即可．
【详解】解：如图，∵对应的两条抛物线关于轴对称，，
∴，
∵轴，，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设右轮廓所在抛物线的解析式为，把，代入，得：，
∴右轮廓所在抛物线的解析式为；
故选B．
9．2或6
【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，把代入函数解析式求解即可。
【详解】解：把代入，
得，
解得，，
故答案为：2或6.
10．
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，根据题意列出函数关系式即可求解．
【详解】解：设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，
根据题意得，
则，
故答案为：．
11．5
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把解析式化为顶点式，顶点的纵坐标的值即为水柱的最大高度．
【详解】解：，
∴水柱的最大高度是5米，
故答案为：5．
12．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解题关键．根据题意可知、两点是关于轴对称的，且纵坐标都为，则代入解析式可分别求解出两点的横坐标，从而计算出的长度．
【详解】解：由题意得，、两点是关于轴对称，纵坐标都为，代入解析式，得
，解得：，，
∴米，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的应用．利用待定系数法得到函数解析式，再将代入计算即可得到答案．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
当时，，
故答案为：
14．不能
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：在中，当时，
，
∴，
∵，
∴，
在中，当时，
，
∵，
∴可判定货车不能完全停到车棚内，
故答案为：不能．
15．
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意构造不等式进行解答即可．
【详解】解：球会超过球网，
当时，，
解得
∵球不会出界网，
当时，，
解得
．
故答案为：
16．
【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解；
（）确定直线的表达式为，求出，进而求解；
本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
设点的坐标为：，则抛物线的表达式为，
则点的坐标为，点，
将点的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得：，
即抛物线的表达式为：，
∴，
故答案为：；
（）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，
∴所以旋转前与水平方向的夹角为，
设直线的解析式为，
将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：，
联立并整理得：，
则，，
则，
则，
由的表达式知，其和轴的夹角为，则，
故答案为：．
17．18
【分析】此题考查了二次函数上点的坐标特点，矩形的性质，解题的关键是求出 C、 D的坐标．
首先将代入求出，得到，然后将代入求出点C的横坐标为5，然后根据矩形的性质求周长即可．
【详解】∵
∴点A的横坐标为1
∴将代入
∴，
∴
∴将代入得，
整理得，
解得或5
∴点C的横坐标为5
∵四边形是矩形
∴，
∴矩形的周长．
18．(1)
(2)
(3)80
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
（1）根据题目中每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系和表格中的数据，可以求得销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的关系式，可以求得w与x的函数关系式；
（3）令代入（2）中的函数关系式，即可求得x的值，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
由题意得，解得，
即销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式是：；
（2）解：由题意可得，
，
即每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式是：；
（3）解：当时，
，
解得，，
答：当定价为80元时，才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元．
19．(1)，
(2)，每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元
(3)能，销售单价为14元/件
【分析】此题考查了二次函数、一次函数、一元二次方程的实际应用．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质进行解答即可；
（3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元．据此得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设与的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
所以与的函数表达式为，
（元/件），
；
（2）根据题意知，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，
最大值为；
每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元；
（3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元．
根据题意知，，
则，
解得或（舍去），
答：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元，销售单价为14元/件．
20．(1)3.05米；
(2)0.2米；
(3)1米；
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征．
（1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案；
（3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米．
【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为，
在中，令得，
篮圈中心的纵坐标为3.05，
篮圈中心到地面的距离为3.05米；
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为，
，
解得，
球出手时，他跳离地面的高度是0.2米；
（3）解：在中，令得：，
解得（舍去）或，
，
两名运动员之间的距离不能超过1米．
21．(1)羊圈的长为，宽
(2)羊圈的长为，宽时，羊圈的面积最大，最大值
【分析】（1）设长，则宽为，根据矩形场地面积为，列出方程，解方程即可；
（2）设矩形的面积为，根据题意，得构造二次函数解答即可．
本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用，构造二次函数是解题的关键．
【详解】（1）解：设长，则宽为，
∵矩形场地面积为，
∴，
即，
解得：，，
当时，，符合题意，
当时，，舍去，
故当时，成立，
答：矩形的长为，宽为．
（2）解：设矩形的面积为，根据题意，得，
∴当时，y有最大值，最大值为．
此时矩形的长为，宽为．
答：矩形的长为，宽为，矩形面积最大，最大面积为．
22．(1)
(2)基准点K的水平距离d为
(3)他的落地点能超过K点，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
（1）根据起跳台的高度OA为，即可得；
（2）由，，知，根据基准点K的高度为，即得基准点K到起跳台的水平距离d；
（3）由题意设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过K点．
【详解】（1）解：∵起跳台的高度为，
∴，
把代入得：
，
故答案为：60；
（2）解：∵，，
∴，
∵基准点K的高度为，
∴，
解得：，舍去
∴基准点K的水平距离d为；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，
∴抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴他的落地点能超过K点．
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