2.2圆的对称性典型例题与跟踪训练（含答案）-数学九年级上册苏科版

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2.2圆的对称性典型例题与跟踪训练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列说法中正确的说法有（ ）个
①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；
②长度相等的两条弧是等弧；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（ ）

A． B． C． D．
3．在中，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　）
A．9 B． C． D．
5．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（ ）

A．5 B．8 C． D．
6．如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点（点不与点重合），则的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，为直径，弦，垂足为点，则长为 ．

10．如图，为，则弦所对的圆心角度数为 ．
11．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ．
12．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ．
13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为，则此时排水管水面上升了 ．
14．如图，的半径为2，弦，，则的长为 ．
15．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为 ．
16．如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则点到距离的最大值为 ，面积的最大值为 ．
三、解答题
17．如图，已知 的半径为，，垂足为点，且，求 的长．
18．如图，已知直径为8，是的弦，，垂足为M，，求的长．

19．如图，是的弦，C是的中点．
(1)连接，求证：垂直平分；
(2)若，，求的半径．
20．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
21．如图，在中，，于点，于点．求证：．
22．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C C B C B C
1．A
【分析】本题考查了圆相关定义，垂径定理，圆周角定理．根据圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确；
②同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故②错误，
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故④错误；
故正确的是①，只有一个，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查坐标与图形，垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，圆心的坐标是，

故选：A．
3．C
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可．
【详解】解：取的中点，连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
4．C
【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点G，为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，由当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答．
【详解】解：设量角器刻度处为点G，如图，
则为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，
∵点E为中点，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵点F为弧上一动点，
∴当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值．
∴的最小值为．
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接，根据已知条件求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，由垂径定理求出答案即可．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B
6．C
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题．
【详解】是的直径，且，
．
在中，
，
．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键．连接，先求出，，设，则，，然后运用等腰三角形的性质分别求得和的值，然后即可解答．
【详解】解：连接，如下图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点为弦的中点，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即可能是．
故选：C．
9．10
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理得到，再由勾股定理即可求出，即可解答．
【详解】解：连接，

∵为直径，弦，
∴，
∴在中，，
∴的半径为5，
∴．
故答案为：10．
10．
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，连接，由为可得，据此即可求解，掌握弧、弦、圆心角之间的关系是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵为，
∴，
∴弦所对的圆心角度数为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由可得，，进而利用勾股定理求出即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．2米
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可．
【详解】解：如图，连接、，交于点，
由题意得：米，，
（米，，
（米，
米，
故答案为：2米．
13．10或70
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是下方和上方．
根据半径为，则直径为；又根据水面宽度为，则有两种情况，水面在水面平行的直径下方，过点作于点；水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出．
【详解】连接
∵
∴圆的直径为
∴水面在水面平行的直径下方
∴过点作于点
∴且与交于点
∵，
∴，
∴在直角三角形中，
∴
∴；
在直角三角形中，
∴
∴
∴上升的距离为
水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点
同理可得，上升的距离为：．
故答案为：10或70．
14．/
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，首先过点O作于点D，由垂径定理，即可求得，的长，然后由勾股定理，可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长．
【详解】过点O作于点D，
∵，
∴，，
∴，
∵的半径为，即，
∴在中，，
在中，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查垂径定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，，

在中，，
∴，
解得：；
∴圆形工件的半径为．
故答案为：
16． 8 32
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，点到直线的距离，掌握垂径定理是解题的关键．
过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，就是点到的最大距离，的面积就是的最大面积，根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：如解图，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴点到距离的最大值为8，
∴面积的最大值为．
故答案为：8，32．
17．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，，正方形的判定与性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过点分别作，，垂足分别为点，，连接 ，，根据垂径定理可求出，再根据勾股定理求出，同理可得，可证明四边形为正方形，得到，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点分别作，，垂足分别为点，，连接 ，．
，
，
在 中，，
同理可得，
，
易得四边形为正方形，
，
．
18．的长为
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接，先求出的长，再由垂径定理得出，然后在中，利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长．
【详解】解：如图，连接，

∵的直径，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
即的长为．
19．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握辅助线的作法及数形结合的思想是解题关键．
（1）由题意，有，运用垂径定理即可解得答案；
（2）由（1）知，垂直平分，交点为，则，在中，利用勾股定理求得，设的半径为，则，，在中运用勾股定理解出答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵C是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分．
（2）解：由（1）知，垂直平分，交点为，
∵，，
∴，
∴在中，根据勾股定理，可知；
设的半径为，
则，，
在中，
，即，
解得：．
20．(1)证明见解析
(2)5
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识；
（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：，为的弦，
，
，，
，
，
；
（2）如图，连接，
，为的弦，
，，
∴
设的半径是，
∴，
解得，
的半径是5．
21．证明见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同圆中弦与圆心角的关系，证明出全等是解决本题的关键．
先证明，继而得到，再根据同圆中圆心角相等则所对的弦相等求证即可．
【详解】证明：∵，，
∴和中，
，
∴，
∴，
∴．
22．米
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解．
【详解】解：连接，交于点D，如图，
即，
∵点C为运行轨道的最低点，，
∴，，
由勾股定理，得，
即，
∴，
故点C到弦所在直线的距离是米．
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