3.2双曲线同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版2019
文档属性
| 名称 | 3.2双曲线同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版2019 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 14:12:15 | ||
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文档简介
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3.2双曲线同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019
一、单选题
1．已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线的上支 B．双曲线的下支
C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线
2．若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为是上一点，若，则（ ）
A．2 B．3或6 C．3 D．2或10
5．如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若椭圆与双曲线（，，，均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，则是两条直线
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．的面积为
D．直线与圆相切
11．双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值可能是（ ）
A．3 B． C． D．
三、填空题
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作的切线与的两支分别交于两点，若，则的渐近线方程为 ．
13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为，直线截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 .
14．已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 .
四、解答题
15．已知双曲线的一条渐近线方程为，若过点的直线交于两点，设的斜率为.
(1)求的取值范围；
(2)若交的两条渐近线于两点，且，求.
16．已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．
(1)求的方程和焦点坐标；
(2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求．
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点.
(1)求C的方程；
(2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系．
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线，
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；
(2)斜率为1的直线与交于P、Q两点，若与圆相切，求证OPOQ
(3)椭圆：，若M，N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离为定值.
19．已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且．
(1)求的方程；
(2)如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D A A B B AD ACD
题号 11
答案 AB
1．A
【分析】根据题意，得到，结合双曲线的定义，即可得到答案.
【详解】由定点且在y轴上，可得，
因为，即，
根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支.
故选：A.
2．A
【分析】由双曲线方程的结构特点列出不等式求解即可.
【详解】方程表示双曲线，
，解得，
故的取值范围为，
故选：A.
3．D
【分析】先判断斜率为0不符合题意，再设直线方程为，联立双曲线方程，由结合韦达定理列出方程，求解即可.
【详解】易知，当直线的斜率为零时，得，不合题意；
当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，
联立得，
设，由得，
而，即，解得，即．
故选：D
4．D
【分析】根据双曲线的几何性质，求得，分在的左支和在的右支，两种情况讨论，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】因为双曲线虚轴长为，且离心率为，
可得，所以，
又因为，即，解得，
当在的左支时，，因为，所以；
当在的右支时，，因为，所以．
综上，或10．
故选：D.
5．A
【分析】由切线性质可得，再结合双曲线定义即可得解.
【详解】因为直线是圆的切线，所以，
由双曲线定义可得，
所以双曲线的离心率.
故选：A
6．A
【分析】设和过点的双曲线切线方程为，再将其与双曲线方程联立，利用判别式等于0和和韦达定理即可得到答案.
【详解】不妨设，则过点的双曲线切线方程为存在且不为零，
联立，消去得，
所以，整理得
可知为关于的方程的两个根，且，
即，整理得，即点的轨迹方程为，
即双曲线的蒙日圆方程为，
半径为面积为.
故选：A.
7．B
【分析】根据椭圆的定义和双曲线的定义可求.
【详解】由曲线方程及其对称性，不妨设在第一象限，分别为左右焦点，则，
所以，即.
故选：B.
8．B
【分析】求出左焦点到渐近线的距离并得出直线的方程，联立直线和双曲线方程解得点横坐标，可知轴，即可求出的大小为.
【详解】如下图所示：
不妨取渐近线，则左焦点到渐近线距离；
又，于是，可得,故离心率，
因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得，
又，则，所以直线的方程为，
联立双曲线方程整理可得；
易知是该方程的一个实数根，另一根即为；
所以，可得，
于是轴，又因为
所以．
故选：B
9．AD
【分析】结合选项条件，分别根据椭圆、圆以及双曲线的标准方程，化简曲线C：为相应的标准方程，即可判断A，B，C；当时，方程即为，即可判断D.
【详解】A选项，若，则,
故曲线C:,即，表示椭圆，其焦点在y轴上，A正确；
B选项，若，， 则曲线C:，即，表示半径为的圆，B错误；
C选项，若，不妨设,则曲线C:，即，表示焦点在x轴上的双曲线，则，故渐近线方程为,
即，C错误；
D 选项，若，曲线C：，即，
即，则C 是两条直线，D正确.
故选：AD.
10．ACD
【分析】设直线平行于双曲线的渐近线，得到直线的方程为，联立方程组求得坐标，代入方程化简得，利用双曲线的离心率公式判断A，利用双曲线渐近线方程判断B，结合纵坐标求得面积判断C，利用点到直线的距离公式判断D.
【详解】不妨设直线平行于双曲线的渐近线，
从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为，
设直线与直线相交于点，
联立方程组，解得，即，
又，结合中点坐标公式，可得，
代入双曲线，可得，整理得，，
对于A，双曲线的离心率，故A正确；
对于B，双曲线的渐近线，故B错误；
对于C，的面积，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
故直线与圆相切，故D正确.
故选：ACD
11．AB
【分析】根据双曲线的离心率表示，利用基本不等式即可得出范围，比较各个选项即可
【详解】因为
，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：AB
12．
【分析】设过的直线与相切于点，过点作于，由相似可得，再结合双曲线定义和余弦定理可得，运算得解.
【详解】设过的直线与相切于点，过点作于，
易知，由相似比得，
所以，又，所以，
又点在上，所以，则，
在中，由余弦定理得，，
结合，代入化简得，
所以，即，
故渐近线方程为．
故答案为：．
13．
【分析】由渐近线方程设出双曲线方程，再直曲联立得到韦达定理，最后由弦长公式求出，解出即可；
【详解】由于的一条渐近线为，可设双曲线的方程为，
将代入双曲线得，
若直线与双曲线交点为，
则，
则，解得，
经检验，满足题意；
故该双曲线的方程为，即.
故答案为：.
14．
【分析】设，根据，列出方程，求得，代入双曲线的方程，即可求解.
【详解】由双曲线的方程，可得，则，
设，则，解得，
因为点在双曲线上，代入可得，解得，故.
故答案为：.
15．(1)且
(2)
【分析】（1）由渐近线方程解出双曲线的标准方程，再直曲联立，消去，令判别式大于零解出即可；
（2）由共线向量的关系得到恰好为线段的两个三等分点，设，通过联立方程求出和，利用，结合弦长公式即可得到关于的方程，解出即可；
【详解】（1）由题意可得，则，所以双曲线方程为．
当直线斜率不存在时显然不符合题意，
设直线的斜率为，设，联立
得，且
由得，
所以的取值范围为且，
（2）由题知点恰好为线段的两个三等分点，
设，
由得，同理可得，
易知，即，则，
其中，
由（1）可得，
则，
故，
解得．
【点睛】关键点点睛：本题第一问关键在于直线不能和渐近线平行；第二问关键在于通过向量关系得到弦长关系，再利用韦达定理求解.
16．(1)方程为，左、右焦点坐标分别为
(2)
【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得.
【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以，
又，
联立解得，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．
（2）由（1）知，
根据题意易得过的直线斜率存在，
设的直线方程为，如下图所示：
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为3，所以，
解得，所以，
则，
则．
17．(1)
(2)
【分析】（1）借助双曲线定义计算即可得；
（2）设，则有，即可得，结合得到，即可得解.
【详解】（1）由题意知，，由双曲线定义得，
所以，所以C的方程为．
（2）设点，则，即，
由，则①，
又②，
因为N，A，B三点共线，所以，由①②得，即．
18．(1)
(2).证明见解析
(3)定值，证明见解析
【分析】（1）求出渐近线方程，得到交点坐标，从而得到围成的三角形的面积；
（2）设直线，根据直线与圆相切，得到，联立与得到两根之和，两根之积，计算出，得到；
（3）考虑直线⊥轴时，得到到直线的距离为，再考虑当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆和双曲线，得到，，计算出到直线的距离为.
【详解】（1）由题意得，的左顶点坐标为，渐近线方程为，
过点作的平行线，方程为，
设该平行线与交于点，与轴交于点，
联立，解得，故，
中，令得，故，
则围成的三角形为，其面积为；
（2）设直线，
∵直线与圆相切，
∴，故，
联立与得，
，
设，则，
，
所以，
故OPOQ.
（3）当直线⊥轴时，，，
则，故到直线的距离为，
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
则直线的方程为，
由，得，所以，
同理可得，
设O到直线的距离为，因为ON，
所以，
由于，
故
，
所以，
综上，O到直线的距离是定值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中探究性问题解题策略，
（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；
（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用焦距，结合题干条件与渐近线构成的几何关系，列方程组求出，得到双曲线方程；
（2）设，利用点斜式方程分别写出直线的方程，和双曲线联立后，得到的坐标，然后得到直线的方程，即可求解.
【详解】（1）渐近线，渐近线．
设为坐标原点，由题意，不妨设在上，在上，是线段的中垂线，
所以．由对称性，，
所以，从而．
，在Rt中，，
解得．
所以，故C的方程为．
（2）设，设直线．
可得直线．
联立
得，
则，又，
所以，
所以，
所以，同理．
则
直线，
令，得，所以直线过定点．
【点睛】方法点睛：直线过定点问题，需将待考察的直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理的表达式，将直线方程进行化简整理后进行求解.
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3.2双曲线同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019
一、单选题
1．已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线的上支 B．双曲线的下支
C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线
2．若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为是上一点，若，则（ ）
A．2 B．3或6 C．3 D．2或10
5．如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若椭圆与双曲线（，，，均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，则是两条直线
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．的面积为
D．直线与圆相切
11．双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值可能是（ ）
A．3 B． C． D．
三、填空题
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作的切线与的两支分别交于两点，若，则的渐近线方程为 ．
13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为，直线截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 .
14．已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 .
四、解答题
15．已知双曲线的一条渐近线方程为，若过点的直线交于两点，设的斜率为.
(1)求的取值范围；
(2)若交的两条渐近线于两点，且，求.
16．已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．
(1)求的方程和焦点坐标；
(2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求．
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点.
(1)求C的方程；
(2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系．
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线，
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；
(2)斜率为1的直线与交于P、Q两点，若与圆相切，求证OPOQ
(3)椭圆：，若M，N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离为定值.
19．已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且．
(1)求的方程；
(2)如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D A A B B AD ACD
题号 11
答案 AB
1．A
【分析】根据题意，得到，结合双曲线的定义，即可得到答案.
【详解】由定点且在y轴上，可得，
因为，即，
根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支.
故选：A.
2．A
【分析】由双曲线方程的结构特点列出不等式求解即可.
【详解】方程表示双曲线，
，解得，
故的取值范围为，
故选：A.
3．D
【分析】先判断斜率为0不符合题意，再设直线方程为，联立双曲线方程，由结合韦达定理列出方程，求解即可.
【详解】易知，当直线的斜率为零时，得，不合题意；
当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，
联立得，
设，由得，
而，即，解得，即．
故选：D
4．D
【分析】根据双曲线的几何性质，求得，分在的左支和在的右支，两种情况讨论，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】因为双曲线虚轴长为，且离心率为，
可得，所以，
又因为，即，解得，
当在的左支时，，因为，所以；
当在的右支时，，因为，所以．
综上，或10．
故选：D.
5．A
【分析】由切线性质可得，再结合双曲线定义即可得解.
【详解】因为直线是圆的切线，所以，
由双曲线定义可得，
所以双曲线的离心率.
故选：A
6．A
【分析】设和过点的双曲线切线方程为，再将其与双曲线方程联立，利用判别式等于0和和韦达定理即可得到答案.
【详解】不妨设，则过点的双曲线切线方程为存在且不为零，
联立，消去得，
所以，整理得
可知为关于的方程的两个根，且，
即，整理得，即点的轨迹方程为，
即双曲线的蒙日圆方程为，
半径为面积为.
故选：A.
7．B
【分析】根据椭圆的定义和双曲线的定义可求.
【详解】由曲线方程及其对称性，不妨设在第一象限，分别为左右焦点，则，
所以，即.
故选：B.
8．B
【分析】求出左焦点到渐近线的距离并得出直线的方程，联立直线和双曲线方程解得点横坐标，可知轴，即可求出的大小为.
【详解】如下图所示：
不妨取渐近线，则左焦点到渐近线距离；
又，于是，可得,故离心率，
因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得，
又，则，所以直线的方程为，
联立双曲线方程整理可得；
易知是该方程的一个实数根，另一根即为；
所以，可得，
于是轴，又因为
所以．
故选：B
9．AD
【分析】结合选项条件，分别根据椭圆、圆以及双曲线的标准方程，化简曲线C：为相应的标准方程，即可判断A，B，C；当时，方程即为，即可判断D.
【详解】A选项，若，则,
故曲线C:,即，表示椭圆，其焦点在y轴上，A正确；
B选项，若，， 则曲线C:，即，表示半径为的圆，B错误；
C选项，若，不妨设,则曲线C:，即，表示焦点在x轴上的双曲线，则，故渐近线方程为,
即，C错误；
D 选项，若，曲线C：，即，
即，则C 是两条直线，D正确.
故选：AD.
10．ACD
【分析】设直线平行于双曲线的渐近线，得到直线的方程为，联立方程组求得坐标，代入方程化简得，利用双曲线的离心率公式判断A，利用双曲线渐近线方程判断B，结合纵坐标求得面积判断C，利用点到直线的距离公式判断D.
【详解】不妨设直线平行于双曲线的渐近线，
从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为，
设直线与直线相交于点，
联立方程组，解得，即，
又，结合中点坐标公式，可得，
代入双曲线，可得，整理得，，
对于A，双曲线的离心率，故A正确；
对于B，双曲线的渐近线，故B错误；
对于C，的面积，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
故直线与圆相切，故D正确.
故选：ACD
11．AB
【分析】根据双曲线的离心率表示，利用基本不等式即可得出范围，比较各个选项即可
【详解】因为
，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：AB
12．
【分析】设过的直线与相切于点，过点作于，由相似可得，再结合双曲线定义和余弦定理可得，运算得解.
【详解】设过的直线与相切于点，过点作于，
易知，由相似比得，
所以，又，所以，
又点在上，所以，则，
在中，由余弦定理得，，
结合，代入化简得，
所以，即，
故渐近线方程为．
故答案为：．
13．
【分析】由渐近线方程设出双曲线方程，再直曲联立得到韦达定理，最后由弦长公式求出，解出即可；
【详解】由于的一条渐近线为，可设双曲线的方程为，
将代入双曲线得，
若直线与双曲线交点为，
则，
则，解得，
经检验，满足题意；
故该双曲线的方程为，即.
故答案为：.
14．
【分析】设，根据，列出方程，求得，代入双曲线的方程，即可求解.
【详解】由双曲线的方程，可得，则，
设，则，解得，
因为点在双曲线上，代入可得，解得，故.
故答案为：.
15．(1)且
(2)
【分析】（1）由渐近线方程解出双曲线的标准方程，再直曲联立，消去，令判别式大于零解出即可；
（2）由共线向量的关系得到恰好为线段的两个三等分点，设，通过联立方程求出和，利用，结合弦长公式即可得到关于的方程，解出即可；
【详解】（1）由题意可得，则，所以双曲线方程为．
当直线斜率不存在时显然不符合题意，
设直线的斜率为，设，联立
得，且
由得，
所以的取值范围为且，
（2）由题知点恰好为线段的两个三等分点，
设，
由得，同理可得，
易知，即，则，
其中，
由（1）可得，
则，
故，
解得．
【点睛】关键点点睛：本题第一问关键在于直线不能和渐近线平行；第二问关键在于通过向量关系得到弦长关系，再利用韦达定理求解.
16．(1)方程为，左、右焦点坐标分别为
(2)
【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得.
【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以，
又，
联立解得，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．
（2）由（1）知，
根据题意易得过的直线斜率存在，
设的直线方程为，如下图所示：
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为3，所以，
解得，所以，
则，
则．
17．(1)
(2)
【分析】（1）借助双曲线定义计算即可得；
（2）设，则有，即可得，结合得到，即可得解.
【详解】（1）由题意知，，由双曲线定义得，
所以，所以C的方程为．
（2）设点，则，即，
由，则①，
又②，
因为N，A，B三点共线，所以，由①②得，即．
18．(1)
(2).证明见解析
(3)定值，证明见解析
【分析】（1）求出渐近线方程，得到交点坐标，从而得到围成的三角形的面积；
（2）设直线，根据直线与圆相切，得到，联立与得到两根之和，两根之积，计算出，得到；
（3）考虑直线⊥轴时，得到到直线的距离为，再考虑当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆和双曲线，得到，，计算出到直线的距离为.
【详解】（1）由题意得，的左顶点坐标为，渐近线方程为，
过点作的平行线，方程为，
设该平行线与交于点，与轴交于点，
联立，解得，故，
中，令得，故，
则围成的三角形为，其面积为；
（2）设直线，
∵直线与圆相切，
∴，故，
联立与得，
，
设，则，
，
所以，
故OPOQ.
（3）当直线⊥轴时，，，
则，故到直线的距离为，
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
则直线的方程为，
由，得，所以，
同理可得，
设O到直线的距离为，因为ON，
所以，
由于，
故
，
所以，
综上，O到直线的距离是定值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中探究性问题解题策略，
（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；
（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用焦距，结合题干条件与渐近线构成的几何关系，列方程组求出，得到双曲线方程；
（2）设，利用点斜式方程分别写出直线的方程，和双曲线联立后，得到的坐标，然后得到直线的方程，即可求解.
【详解】（1）渐近线，渐近线．
设为坐标原点，由题意，不妨设在上，在上，是线段的中垂线，
所以．由对称性，，
所以，从而．
，在Rt中，，
解得．
所以，故C的方程为．
（2）设，设直线．
可得直线．
联立
得，
则，又，
所以，
所以，
所以，同理．
则
直线，
令，得，所以直线过定点．
【点睛】方法点睛：直线过定点问题，需将待考察的直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理的表达式，将直线方程进行化简整理后进行求解.
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