第1章一元二次方程（典型例题与跟踪训练）（含解析）-数学九年级上册苏科版

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第1章一元二次方程（典型例题与跟踪训练）-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．若，，为实数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．的大小关系与的取值有关
2．已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值（ ）
A． B．3 C．1 D．
3．将一元二次方程化为一般形式为（ ）．
A． B．
C． D．
4．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2022 D．2024
6．某工厂一月份的产值是万元，之后每个月产值的平均增长率为，已知第一季度的总产值是万元．为了求出，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积为（ ）
A．12 B．10 C． D．6
8．对于关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程无解
B．当时，方程有一个实数解
C．当时，方程有两个相等的实数解
D．当时，方程总有两个不相等的实数解
二、填空题
9．若关于的方程一个根是1，则另一根为 ．
10．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值为 ．
11．已知某小区的房价在两年内从每平方米万元上涨到每平方米万元，设该小区房价平均每年增长的百分率为，根据题意可列方程为 ．
12．据权威部门发布的消息，2019年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是 ．
13．的三边a，b，c的长度是的解，则的周长是 ．
14．如图，一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的，则可列方程为 ．
15．如图，一个菱形两条对角线长的和是，面积是．设，则 ，根据题意可列方程为 ．
16．下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍．
三、解答题
17．解一元二次方程：
(1)
(2)
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此一元二次方程总有实数根；
(2)设此方程的两个实数根分别为，，若为整数，求整数的值．
19．甲和乙工程队同时施工合修一段长度为米的公路，原计划甲工程队与乙工程队的人数比为，且甲工程队每人每天可修20米，乙工程队每人每天可修10米．修筑了天后，施工进行调整，从甲队抽调了a名工人到乙队，抽调后甲、乙两队人数比为且甲工程队每人每天比原来多修，乙工程队每人每天比原来多修，结果比原计划提前10天完成任务，求a的值．
20．为美化市容，改善居民生活环境，区政府投入总资金9400万元修建一个游园．为使游园早日造福于市民，承建单位经预算拿出总资金用于购买某种名贵成树进行绿化．施工中，第一次用16万元从某林场购回若干棵；后经了解该林场出售此种名贵成树有优惠条件：即购买20万元以上者每棵树优惠40元，于是承建单位第二次将预算购买名贵成树的余下资金一次投入，因此比第一次多购买回200棵该种成树，问承建单位两次共购回这种名贵成树多少棵？
21．某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．己知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B C A D D C
1．A
【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用．直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入整理后的代数式，即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：A．
3．B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值．
【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
∵，小正方形的面积为，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，
∴，
∴，
∵小正方形的边长为，即，
∵，
即，
故，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵、是方程的两个实数根，
，
．
∵、是方程的两个实数根，
，
．
故选：．
6．D
【分析】此题考查了一元二次方程的应用.每个月产值的平均增长率为，根据一月份的产值是万元，表示之后两个月的产值，根据已知第一季度的总产值是万元列方程即可.
【详解】解：每个月产值的平均增长率为，则二月份产值为，三月份产值为，则
故选：D
7．D
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，先利用因式分解法解方程得到三角形的两条边长分别3、5，再计算出第三边长为4，然后根据三角形面积公式计算该三角形的面积．
【详解】解：，
，
或，
所以，，
即三角形的两条边长分别3、5，
所以第三边长为，
所以该三角形的面积．
故选：D．
8．C
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：A、当时，方程为，解得，方程有解，原说法错误；
B、当时，方程为，，方程有两个相等的实数根，原说法错误；
C、当时，方程有两个相等的实数根，说法正确；
D、当时，，方程总有两个实数根，原说法错误；
故选C．
9．
【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
关于的方程一个根是1，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．由根与学生的关系可得，再进一步解答可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，即，解得．
故答案为．
11．
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题，一般的，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为：．
根据相等关系：平均每年增长的百分率即可列出方程．即可列出方程．
【详解】解：根据题意，得：．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为万元，第二季度安徽省城镇居民人均可支配收入是元，第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：
y与x之间的函数关系为：
故答案为：
13．3或18或13
【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
【详解】解：，
解得：，
①当三角形的三边为1，1，1，此时符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是；
②当三角形的三边为6，6，6，此时符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是；
③当三角形的三边为1，1，6，此时不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形；
④当三角形的三边为1，6，6，此时符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是；
所以三角形的周长是3或18或13，
故答案为3或18或13．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．根据图知，绿地面积等于原来绿地面积减道路面积列出方程即可．
【详解】解：由题意，得，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由菱形两条对角线长的和是可得，再根据菱形的面积为可得，即可列出方程，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵菱形两条对角线长的和是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，面积是，
∴，
∴
故答案为：，．
16．
【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，解一元二次方程，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律及掌握解一元二次方程．
【详解】解：由第个图形中有个“●”和个“★”，
第个图形中有个“●”和个“★”，
第个图形中有个“●”和个“★”，
，
∴第个图形中有个“●”和个“★”，
∵图形中“★”的个数是“●”的个数的倍，
∴，解得：，（舍去），
故答案为：．
17．(1)，；
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键．
（1）用公式法求解；
（2）因式分解法求解．
【详解】（1）解：由题意可知:
，
∴，
∴原方程的解为：，；
（2）解：
，
∴或，
解得或，
∴原方程的解为：．
18．(1)见解析
(2)或4或6
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，解决本题的关键是熟练掌握公式：①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根；④．
（1）根据根的判别式，即可证明出方程总有实数根；
（2）利用根与系数关系求出，从而列出关于的式子，根据为整数即得出结果．
【详解】（1）证明：．
无论为何实数，总有；即：，
一元二次方程总有实数根．
（2）解：据一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
为整数，且为整数．
，，
或2或6或0．
又，
或4或6．
19．a的值为20
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程（分式方程）是解题的关键．
设原计划甲工程队有人，则乙工程队有人，由抽调后甲、乙两队人数比为可求出，利用工作时间工作总量工作效率可求出原计划的工作时间，由抽调后比原计划提前10天完成任务，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设原计划甲工程队有人，则乙工程队有人，
依题意得：，
解得：，
原计划的工作时间为（天．
抽调后比原计划提前10天完成任务，
，
，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为20．
20．承建单位两次共购回这种名贵成树1000棵
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设第一次购买回这种名贵成树x棵，则第二次购买回这种名贵成树棵，根据第二次购买的单价比第一次购买的单价低40元列出方程求解即可．
【详解】解：设第一次购买回这种名贵成树x棵，则第二次购买回这种名贵成树棵，
由题意得，，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：承建单位两次共购回这种名贵成树1000棵．
21．(1)平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元；
(2)每个模型应降价10元．
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元二次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用平均每天的销售量=20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量和获利的钱数；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用“总利润=每个的销售利润×日销售量”列出关于x的一元二次方程，求解并取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：（个）；即：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型．
可获利：元．
答：平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元．
（2）解：设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，
根据题意得：，整理得：，
解得：，
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴．
答：每个模型应降价10元．
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