第1章一元二次方程典型例题与跟踪训练（含解析）-数学九年级上册苏科版

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第1章一元二次方程典型例题与跟踪训练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是（ ）
A．5 B． C．3 D．
4．将一元二次方程配方后，可化为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．方程的根是 ．
10．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是 ．
11．已知关于的方程的各项系数之和是，则实数的值是 ．
12．已知一次函数的图象与反比例函数（且）的图象共有两个交点，且满足两交点横坐标的乘积， 则的取值范围是 ．
13．如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？
14．随着不动产登记政策的出台以及国家对楼房的价格进行调控，某省一个地市的房屋价格原价为 元/平方米，通过连续两次降价后，售价变为元/平方米，依题意，可列方程： ．
15．2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出件，十一、十二这两个月的月平均增长率是 ．
16．如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________．
三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
18．建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经过市场调查发现：搭建一个面积为（公顷）的大棚，所需建设费用（万元）与成正比例，比例系数为0.6；内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数为2．某农户新建了一个大棚，投入的总费用为4.8万元．请计算该农户新建的这个大棚的面积．（总费用建设费用内部设备费用）
19．如图，一长方形地，长为，宽为120m，建筑商将它分为甲、乙、丙三个区域，甲、乙为正方形，现计划甲区域建筑住宅区，乙区域建筑商场，丙区域开辟为公园．
(1)已知丙区域的面积为，求的值；
(2)若设丙区域的面积为，求关于的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，当时，求的值．
20．已知关于x的一元二次方程．其中a，b，c分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
(3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)设是原方程的两个实数根，是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由；
(3)设是原方程的两个实数根，当为何值时有最小值，求出最小值．
22．如图，正方形边长为4，点E在边上（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．
(1)求证：；
(2)若的面积为，求的长；
(3)在（2）的条件下，取，的中点M，N，连接，求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B B B A C C
1．B
【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：①，是一元二次方程；
②，是分式方程，不是一元二次方程；
③，含有两个未知数，不是一元二次方程；
④，是一元二次方程．
所以是一元二次方程的有2个．
故选：B
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵
∴或
∴
故选C．
3．B
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将所给方程化为的形式，即可得出一次项系数．
【详解】解：移项，得：，
可知一次项系数为，
故选B．
4．B
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
把常数项移到方程右侧，二次项的系数化为1，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】
．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，先对代数式进行化简；再根据一元二次方程两根据之和为：，即可求出结果．
【详解】
．
∵，是一元二次方程的两根，
，
．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺，
∴折断部分的竹子长尺．
根据题意得：．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由m，n是方程的两个实数根 ，得，，将所求式子变形后整体代入即可．
【详解】解∶∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故选∶C．
8．C
【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共发多少条拜年短信，首先确定一个人发多少条拜年短信是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要发出条短信，共有x名学生，那么总共发送的条数数应该是条，即可列出方程．
【详解】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学，
∴每位同学需发送条拜年短信．
根据题意得：．
故选：C．
9．0或
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：0或．
10．/
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意分两种情况：当，即时，当，即时，分别求解即可得出答案．
【详解】解：当，即时，方程为，解得，有实数根，
当，即时，方程为一元二次方程，则，
解得：，
∴综上所述，实数k的取值范围是，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
根据该方程各项系数之和是，列出方程求出m的值即可．
【详解】解：∵方程的各项系数之和是，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】令，根据函数与方程的关系、由根与x系数的关系得到，由，得到，即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根与系数关系定理，解不等式，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．
【详解】解：令，
整理得，
∵反比例函数（且）的图象与一次函数的图象两个交点横坐标为、，
∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴．
故答案为：．
13．9或12
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论
【详解】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米；
故答案为：9或12．
14．
【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率，根据题意，由数量关系列式求解即可．
【详解】解：根据题意，，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，十月售出件，十二月售出件，据此列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
，
解得：（不合题意舍去）．
故答案为：
16．/
【分析】本题考查一元二次方程的应用，如果设通道的宽度为,那么草坪的总长度和总宽度应该为；那么根据每一块草坪的面积都为，可得出方程
【详解】解：设通道的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为；
根据题意即可得出方程为：，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可；
（2）先移项，再利用提公因式法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴或
解得．
18．该农户新建的这个大棚的面积为1.2公顷
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决问题是解题的关键．根据投入的总费用为4.8万元，列出方程，再求解即可．
【详解】解：根据题意，得．
整理，得．
解方程，得，（不合题意，舍去）
答：该农户新建的这个大棚的面积为1.2公顷．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，列函数关系式，求函数值：
（1）根据题意可得丙区域是一个长为，宽为的长方形，据此根据长方形面积计算公式列方程求解即可；
（2）根据丙区域是一个长为，宽为的长方形结合长方形面积计算公式列出对应的关系式即可；
（3）把代入（2）所求关系式中进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
；
（2）解：由题意得：；
（3）解：当时，．
20．(1)为等腰三角形，理由见解析
(2)为直角三角形，理由见解析
(3)，
【分析】（1）把代入原方程，得出，即可得出为等腰三角形；
（2）根据方程有两个相等的实数根，得出，从而得出，即可判定出为直角三角形；
（3）根据是等边三角形，得出，代入原方程得出，整理得出，求出结果即可．
【详解】（1）解：将代入原方程得：，
即，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
∴原方程为：，
∵，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，准确计算．
21．(1)
(2)或
(3)当时，取值最小值，最小值为
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用：
（1）利用判别式得到，解之即可；
（2）由根与系数的关系得到，，再根据已知条件推出，则，解方程即可；
（3）根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形推出，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是原方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或；
（3）解：是原方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
∵，
∴，当且仅当时等号成立，
∴当时，取值最小值，最小值为．
22．(1)见详解
(2)或
(3)或
【分析】（1）先利正方形的性质和垂直的性质证得，结合即可证明与全等；
（2）根据三角形的面积求得，再根据勾股定理求得，根据（1）中即刻得出结论；
（3）连接并延长交于点P，连接，可证明，所以，或1，又是的中位线，求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
则，
设，
∴，
∵正方形边长为4，
∴的面积
，
∴，
解得，，，
∴或，
∴或；
（3）解：如图，连接并延长交于点P，连接，
∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，或1，
当时，，
∴，
∴，
∵的中点N，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∵的中点N ，
∴；
综上，的长度为或．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中线判定和性质以及勾股定理的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系和三角形中位线的利用．
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