§4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征
【课前预习】
知识点
(x1+x2+…+xn) 从小到大 “中间” 最多 最大值与最小值 离散 [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)平均数与方差没有必然关系.
(2)根据平均数的定义与方差的定义可知正确.
(3)众数可以不止一个,其余是唯一的.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)ACD (2)AB (3) [解析] (1)甲数据的最大值为20,最小值为15,则极差为5,乙数据的最大值为20,最小值为13,则极差为7,所以A正确;甲数据的中位数为=18,乙数据的中位数为=18.5,所以B不正确;甲数据的平均数=×(20+19+17+18+18+16+17+15+20+20)=18,乙数据的平均数=×(18+19+13+18+19+20+20+20+17+16)=18,所以C正确;甲数据的方差为×[(20-18)2+(19-18)2+(17-18)2+(18-18)2+(18-18)2+(16-18)2+(17-18)2+(15-18)2+(20-18)2+(20-18)2]=×28=2.8,所以D正确.故选ACD.
(2)对于A,由频率分布直方图可知10(2a+3a+7a+6a+2a)=1,解得a=0.005,所以A正确;对于B,由频率分布直方图可知,10×5×0.005=0.25<0.5,10×12×0.005=0.6>0.5,设这100名学生测试成绩的中位数为x,则0.25+7×0.005(x-70)=0.5,解得x≈77,所以B正确;对于C,由频率分布直方图可知,测试成绩在[70,80)内的人数最多,所以众数的估计值为=75,所以C错误;对于D,由频率分布直方图可知,测试成绩在[60,70)内的频率为3×0.005×10=0.15,所以估计该校全部学生测试成绩落在[60,70)内的人数为0.15×1000=150,所以D错误.故选AB.
(3)由=3,得a=5.由方差s2=×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,得标准差s=.
探究点二
例2 解:(1)所有工作人员该月的平均工资是×(30 000+4500+3500+4000+3200+3200+4100)=7500(元).
(2)由(1)计算出的平均工资不能反映该餐饮店打工人员当月收入的一般水平,可以看出,除了老板张某外,其余人员的工资都低于平均工资,因为老板张某的工资特别高,所以他的工资对平均工资的影响较大,同时他也不是打工人员.
(3)去掉老板张某工资后的平均工资为×(4500+3500+4000+3200+3200+4100)=3750(元),该平均工资能代表该餐饮店打工人员当月收入的一般水平.
(4)从本题的计算可以看出,个别特殊值对平均数有很大的影响,因此在选择样本时,样本中尽量不含特殊数据.
变式 解:(1)=×(99+100+98+100+100+103)=100(cm),=×(99+100+102+99+100+100)
=100(cm).
=×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,所以s甲= cm.
=×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1,所以s乙=1 cm.
(2)由(1)知,两台机床加工的零件直径的平均数相同,
又s甲>s乙,所以乙机床加工的零件质量更稳定.
拓展 解:(1)∵5×(0.02+0.024+0.024)=0.34<0.5,
5×(0.02+0.024+0.024+0.036)=0.52>0.5,
∴估计中位数位于区间[25,30)内.
设样本的中位数为x km,则0.34+(x-25)×0.036=0.5,
解得x≈29.4,∴估计样本的中位数约为29.4 km.
(2)根据题意,样本中休闲跑者共有5×(0.02+0.024)×2000=440(人),核心跑者共有5×(0.024+0.036+0.044+0.032)×2000=1360(人),精英跑者共有5×(0.012+0.004+0.004)×2000=200(人),
故估计该市每名跑步爱好者购买装备的平均花费为×(440×2500+1360×4000+200×4500)=3720(元).§4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征
1.B [解析] 将数据按由小到大的顺序排列,得68,69,70,70,70,71,72,72,数据70出现次数最多,所以该组数据的众数是70.故选B.
2.C [解析] 因为甲组数据的中位数为15,所以x=15,又乙组数据的平均数为16.8,所以=16.8,得y=18,故选C.
3.D [解析] ∵数据x1,x2,…,xn的方差为2,∴数据2x1-3,2x2-3,…,2xn-3的方差为22×2=8.故选D.
4.C [解析] 判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前8位,所以只要知道其他15位同学中是不是有8位的成绩高于他,也就是把其他15位同学的成绩由高到低排列后看排在第8位的成绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个排在第8位的成绩就是其他15位同学成绩的中位数.故选C.
5.B [解析] 由题图可以看出,P产品的月销售额的波动较大,Q产品的月销售额的波动较小,且Q产品的月销售额中只有两个月的月销售额不多于25万元,其余都在25万元至30万元之间,所以P产品的月销售额的极差较大,中位数较小,Q产品的月销售额的平均值较大,月销售额的波动较小.故选B.
6.A [解析] 由折线统计图可知,甲、丙成绩的平均数水平线高于乙、丁成绩的平均数水平线,即甲、丙的成绩相对较好.显然,比较乙、丁的折线图可知,乙的成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丁的成绩相对于平均成绩的波动幅度,即<,又=,=,所以<,即甲的成绩比丙稳定,所以这四人中甲的成绩好且发挥稳定.故选A.
7.D [解析] 分数在[60,70)内的频率为1-10×(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)=0.15,所以分数在[60,70)内的频数为100×0.15=15,故A中说法正确.因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标,所以众数的估计值为75,故B中说法正确.因为(0.005+0.015+0.015)×10=0.35<0.5,(0.005+0.015+0.015+0.03)×10=0.65>0.5,所以中位数位于[70,80)内,设为x,由0.35+(x-70)×0.03=0.5,解得x=75,所以中位数的估计值为75,故C中说法正确.样本平均数的估计值为45×10×0.005+55×10×0.015+65×10×0.015+75×10×0.03+85×10×0.025+95×10×0.01=73.5,故D中说法错误.故选D.
8.BD [解析] 由题意,甲运动员得分的极差为34-9=25,中位数是21,平均数为22,方差为75,乙运动员得分的极差为35-10=25,中位数是22,平均数为22,方差为≈89.3.故A,C错误,B,D正确,故选BD.
9.BCD [解析] 若平均数为3,则第五轮投中的个数为2,所以极差为4-2=2,方差为×[(2-3)2×2+(3-3)2+(4-3)2×2]=0.8,故A不可能正确,C可能正确.若中位数为3,则第五轮投中的个数为0或1或2或3,当投中的个数为0时,极差为4,平均数为2.6,方差为×[(0-2.6)2+(2-2.6)2+(3-2.6)2+(4-2.6)2×2]=2.24;当投中的个数为1时,极差为3,平均数为2.8,方差为×[(1-2.8)2+(2-2.8)2+(3-2.8)2+(4-2.8)2×2]=1.36;当投中的个数为2时,极差为2,平均数为3,方差为×[(2-3)2×2+(3-3)2+(4-3)2×2]=0.8;当投中的个数为3时,极差为2,平均数为3.2,方差为×[(2-3.2)2+(3-3.2)2×2+(4-3.2)2×2]=0.56.故B,D均可能正确.故选BCD.
10. [解析] 依题意得(1+2+a+6)=3,解得a=3,所以方差为×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=,则标准差为=.
11.2 [解析] 由题意知(x1-)2+(x2-)2+…+(x6-)2=12①,(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2=18②,①-②得6-6-2(x1+x2+…+x6)+2(x1+x2+…+x6)=-6③,将x1+x2+…+x6=6代入③式整理可得-6+12=0,又≠0,所以=2.
12.10.5,10.5 [解析] 由题意知,a+b=10.5×2=21,a≤10.5,b≥10.5,样本数据的平均数为×(2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20)=10.要使方差最小,则(a-10)2+(b-10)2最小,即(21-b-10)2+(b-10)2=2(b-10.5)2+0.5最小,此时b=a=10.5,故当a=10.5,b=10.5时,该组数据的方差最小.
13.解:(1)甲群市民年龄的平均数为=15(岁),中位数为15岁,众数为15岁.平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为=15(岁),中位数为5.5岁,众数为6岁.由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.
14.解:(1)估计样本数据的众数为=70.0.样本数据在[25,65)内的频率为0.05+0.05+0.15+0.20=0.45<0.50,在[25,75)内的频率为0.05+0.05+0.15+0.20+0.30=0.75>0.50,∴中位数在[65,75)内,∴估计中位数为65+10×=65+≈66.7.
(2)估计平均文化水平为30×0.05+40×0.05+50×0.15+60×0.20+70×0.30+80×0.20+90×0.05=64.5.
15.A [解析] A选项,若5次结果中有6,因为平均数为2,所以方差S2>×(6-2)2=3.2,因为3.2>2.4,所以当平均数为2,方差为2.4时一定不会出现点数6,故A符合题意;B选项,取5个点数为3,3,3,5,6,此时满足中位数为3,平均数为4,方差S2=×[(3-4)2×3+(5-4)2+(6-4)2]=1.6,故B不符合题意;C选项,取5个点数为2,2,3,5,6,此时满足中位数为3,众数为2,故C不符合题意;D选项,取5个点数为1,1,2,5,6,此时满足中位数为2,平均数为3,故D不符合题意.故选A.
16.解:由折线图知,甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,将它们由小到大重排为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9;乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,将它们由小到大重排为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
(1)=×(5+6×2+7×4+8×2+9)==7,=×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)==7,=×[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2]=×(4+2+0+2+4)=1.2,=×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2]=×(25+9+1+0+2+8+9)=5.4.
根据以上的分析与计算填表如下:
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①∵平均数相同,<,∴甲的成绩比乙稳定.
②∵平均数相同,甲的中位数小于乙的中位数,∴乙的成绩比甲好些.
③∵平均数相同,命中9环及9环以上的次数甲比乙少,∴乙的成绩比甲好些.
④甲的成绩在平均数上下波动,而乙处于上升趋势,从第4次开始命中环数没有比甲少的情况发生,∴乙较有潜力.§4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征
【学习目标】
1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差.
2.理解样本的数字特征的意义和作用,会用样本的数字特征估计总体的数字特征,作出合理解释和决策.
◆ 知识点 平均数、中位数、众数及极差、方差、标准差
数字特征 定义
平均数 指这组数据的平均值.一般地,n个数据x1,x2,…,xn的平均数记为,其计算公式为= .
中位数 把一组数据按 的顺序排列后, 的那个数据为这组数据的中位数,它使数据被分成的两部分的数据量是一样的
众数 一组数据中出现次数 的数据
极差 一组数据中 的差称为这组数据的极差
方差 方差刻画的是数据偏离平均数的 程度.如果一组数据是x1,x2,…,xn,这组数据的平均数记为,方差记为s2,则s2=
标准差 方差的算术平方根为标准差. s==
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在两组数据中,平均数较大的一组方差较大. ( )
(2)平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据偏离平均数的离散程度. ( )
(3)一组数据的众数、中位数、平均数均是唯一的. ( )
◆ 探究点一 数字特征的计算
例1 (1)(多选题)甲、乙两名球员练习罚球,每人练习10组,每组罚球20个,命中个数如下所示:
甲:20,19,17,18,18,16,17,15,20,20
乙:18,19,13,18,19,20,20,20,17,16
则下列结论正确的是 ( )
A.甲数据的极差比乙数据的极差小
B.甲数据的中位数与乙数据的中位数相等
C.甲数据的平均数与乙数据的平均数相等
D.甲数据的方差是2.8
(2)(多选题)某学校有1000名学生,为更好地了解学生的身体健康情况,随机抽取了100名学生进行测试,将测试成绩分成[50,60),[60,70),…,[90,100]五组,测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的有 ( )
A.频率分布直方图中a的值为0.005
B.估计这100名学生测试成绩的中位数约为77
C.估计这100名学生测试成绩的众数为80
D.估计该校全部学生测试成绩落在[60,70)内的人数为160
(3)五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则这五个数的标准差是 .
[素养小结]
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算,且不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数据中的少量信息.平均数表达了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平均数的影响越大,当一组数据中个别数据较大时,可用中位数描述其集中趋势.
◆ 探究点二 数字特征的应用
例2 个体户张某经营一家餐饮店,下面是该餐饮店所有工作人员某月的工资表.
工作人员 工资
老板张某 30 000元
大厨老张 4500元
二厨小马 3500元
采购员小王 4000元
杂工李阿姨 3200元
服务生小明 3200元
会计小何 4100元
(1)计算所有工作人员该月的平均工资.
(2)由(1)计算出的平均工资能否反映该餐饮店打工人员这个月收入的一般水平 为什么
(3)去掉老板张某的工资后,再计算平均工资,这能代表该餐饮店打工人员当月收入的一般水平吗
(4)根据以上计算,结合统计的观点,你对(3)的结果有什么看法
变式 甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件,为了检验质量,各从中抽取6件测量其直径(单位:cm),所得数据分别记录如下:
甲:99 100 98 100 100 103
乙:99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及标准差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工的零件质量更稳定.
[素养小结]
(1)平均数、中位数与众数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.但当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映这组数据的集中趋势.
(2)方差、标准差描述了数据相对平均数的离散程度.标准差越大,数据越分散,稳定性就越差;标准差越小,数据越集中,稳定性就越好.
拓展 某科研课题组通过一款手机APP软件,调查了某市2000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”),得到频率分布直方图如图.
(1)估计样本的中位数(保留一位小数);
(2)根据跑步爱好者的周跑量,将跑步爱好者分成三类,不同类别的跑步爱好者的周跑量及购买的装备的价格如下表:
周跑量 小于20 km 不小于20 km 且小于40 km 不小于40 km
类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者
装备价格(单位:元) 2500 4000 4500
根据以上数据,估计该市每名跑步爱好者购买装备平均需要花费多少元 §4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2024·安徽六安一中高一月考] 已知一组数据70,71,69,70,72,70,68,72,则该组数据的众数为 ( )
A.69 B.70 C.71 D.72
2.以下为甲、乙两组数据:
甲:9 12 x 24 27
乙:9 15 y 18 24
已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为 ( )
A.12, 15 B.15, 15
C.15, 18 D.18, 18
3.若数据x1,x2,…,xn的方差为2,则数据2x1-3,2x2-3,…,2xn-3的方差为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.8
4.[2023·甘肃武威古浪一中高一月考] 16位参加百米半决赛的同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.若小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,则其他15位同学成绩的下列数字特征中,能使他得出结论的是 ( )
A.平均数 B.极差
C.中位数 D.方差
5.某商家统计了去年P,Q两种产品的月销售额(单位:万元),绘制了月销售额的雷达图如图所示,图中A点表示P产品2月份的销售额约为20万元,B点表示Q产品9月份的销售额约为25万元.根据图中信息,下面结论错误的是 ( )
A.P产品的月销售额的极差较大
B.P产品的月销售额的中位数较大
C.Q产品的月销售额的平均值较大
D.Q产品的月销售额波动较小
6.[2023·江西新余一中高一开学考] 如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中,各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线.经过计算,四人成绩的方差关系为=,=,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,则应该选择 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对活动的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个容量为100的样本,发现数据均在[40,100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,下列说法中错误的是 ( )
A.分数在[60,70)内的频数为15
B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75
C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75
D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75
8.(多选题)某赛季甲、乙两名篮球运动员6场比赛的得分情况如下表:
场次 1 2 3 4 5 6
甲得分 31 16 24 34 18 9
乙得分 23 21 32 11 35 10
下列说法中正确的是 ( )
A.甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差
B.甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C.甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数
D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
9.(多选题)某篮球爱好者在一次篮球训练中,需进行五轮投篮,每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数,获知其前四轮投中的个数分别为2,3,4,4,则第五轮结束后下列关于五轮投篮投中个数的数字特征有可能正确的是 ( )
A.平均数为3,极差是3
B.中位数是3,极差是3
C.平均数为3,方差是0.8
D.中位数是3,方差是0.56
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2023·上海杨浦控江中学高一月考] 已知a为实数,若数据1,2,a,6的平均数为3,则这组数据的标准差为 .
11.已知一组数据x1,x2,…,x6的平均数是,方差是2,并且(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2=18,≠0,则= .
12.已知一组样本数据由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且样本数据的中位数为10.5.若要使该组数据的方差最小,则a,b的取值分别是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁).
甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群:54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征
14.(10分)自中国进入工业化进程以来,个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低,文化水平较高的人往往收入较高.将个人的文化水平用数字表示,记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分25,“顶级尖端人才”为最高分95.为了分析A市居民的受教育程度,从A市居民中随机抽取1000人的文化水平数据X,将样本分成小学[25,35),初中[35,45),高中[45,55),专科[55,65),本科[65,75),硕士[75,85),博士[85,95]七组,整理后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计样本数据的众数和中位数(结果保留一位小数);
(2)同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该市居民的平均文化水平.
15.(5分)[2023·四川成都七中高一月考] 四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是 ( )
A.平均数为2,方差为2.4
B.中位数为3,方差为1.6
C.中位数为3,众数为2
D.平均数为3,中位数为2
16.(15分)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩(射中环数)情况如图所示.
(1)请填写下表.
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以 上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析:
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定);
②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些);
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).(共26张PPT)
§4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差.
2.理解样本的数字特征的意义和作用，会用样本的数字特征估计总体的数
字特征，作出合理解释和决策．
知识点 平均数、中位数、众数及极差、方差、标准差
数字特征 定义
平均数 指这组数据的平均值.一般地,个数据,, ,的平均数记为 ,
其计算公式为 ___________________.
中位数 把一组数据按__________的顺序排列后,_______的那个数据为这组
数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是一样的
从小到大
“中间”
数字特征 定义
众数 一组数据中出现次数______的数据
极差 一组数据中________________的差称为这组数据的极差
方差 方差刻画的是数据偏离平均数的______程度.如果一组数据是, ,
,,这组数据的平均数记为,方差记为,则 _____________
_________________________
标准差 方差的算术平方根为标准差.
_ _______________________
最多
最大值与最小值
离散
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在两组数据中,平均数较大的一组方差较大.( )
×
[解析] 平均数与方差没有必然关系.
（2）平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据偏离平均数的离散程度.( )
√
[解析] 根据平均数的定义与方差的定义可知正确.
（3）一组数据的众数、中位数、平均数均是唯一的.( )
×
[解析] 众数可以不止一个，其余是唯一的.
探究点一 数字特征的计算
例1（1） （多选题）甲、乙两名球员练习罚球，每人练习10组，每组罚球20
个，命中个数如下所示：
甲：20，19，17，18，18，16，17，15，20，20
乙：18，19，13，18，19，20，20，20，17，16
则下列结论正确的是( )
ACD
A.甲数据的极差比乙数据的极差小
B.甲数据的中位数与乙数据的中位数相等
C.甲数据的平均数与乙数据的平均数相等
D.甲数据的方差是2.8
[解析] 甲数据的最大值为20，最小值为15，则极差为5，乙数据的最大值为20，
最小值为13，则极差为7，所以A正确；
甲数据的中位数为 ，乙数据的中位数为 ，所以B不正确；
甲数据的平均数 ，乙数据的平均数 ，所以C正确；
甲数据的方差为 ，所以D正确．故选 .
（2）（多选题）某学校有1000名学生，为更好地了解学生的身体健康情况，随
机抽取了100名学生进行测试，将测试成绩分成， ，
五组，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的
有( )
AB
A.频率分布直方图中 的值为0.005
B.估计这100名学生测试成绩的中位数约为77
C.估计这100名学生测试成绩的众数为80
D.估计该校全部学生测试成绩落在 内的人数为
160
[解析] 对于A，由频率分布直方图可知 ，
解得 ，所以A正确；
对于B，由频率分布直方图可知，，
，设这100名学生测试成绩的中位数为，
则，解得 ，所以B正确；
对于C，由频率分布直方图可知，测试成绩在 内的人数最多，
所以众数的估计值为 ，所以C错误；
对于D，由频率分布直方图可知，测试成绩在内的频率为
，所以估计该校全部学生测试成绩落在内的人数
为，所以D错误.故选 .
（3）五个数1，2，3，4， 的平均数是3，则这五个数的标准差是____.
[解析] 由，得 .
由方差 ，
得标准差 .
［素养小结］
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中众数和中位数
容易计算，且不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平
均数表达了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数
的影响越大，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
探究点二 数字特征的应用
例2 个体户张某经营一家餐饮店，下面是该餐饮店所有工作人员某月的工资表．
工作人员 工资
老板张某 30 000元
大厨老张 4500元
二厨小马 3500元
采购员小王 4000元
杂工李阿姨 3200元
服务生小明 3200元
会计小何 4100元
（1）计算所有工作人员该月的平均工资.
解：所有工作人员该月的平均工资是
（元）.
（2）由（1）计算出的平均工资能否反映该餐饮店打工人员这个月收入的一般
水平？为什么？
解：由（1）计算出的平均工资不能反映该餐饮店打工人员当月收入的一般水平，
可以看出，除了老板张某外，其余人员的工资都低于平均工资，因为老板张某的
工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员．
（3）去掉老板张某的工资后，再计算平均工资，这能代表该餐饮店打工人员当
月收入的一般水平吗？
解：去掉老板张某工资后的平均工资为
（元），该平均工资
能代表该餐饮店打工人员当月收入的一般水平．
（4）根据以上计算，结合统计的观点，你对（3）的结果有什么看法？
解：从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择
样本时，样本中尽量不含特殊数据．
变式 甲、乙两台机床同时加工直径为 的零件，为了检验质量，各从中
抽取6件测量其直径（单位： ），所得数据分别记录如下：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
（1）分别计算两组数据的平均数及标准差；
解： ，
.
，所以 .
，所以 .
（2）根据计算结果判断哪台机床加工的零件质量更稳定.
解：由（1）知，两台机床加工的零件直径的平均数相同，
又 ，所以乙机床加工的零件质量更稳定.
［素养小结］
（1）平均数、中位数与众数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要
的量.但当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映这组数
据的集中趋势.
（2）方差、标准差描述了数据相对平均数的离散程度.标准差越大，数据越分
散，稳定性就越差；标准差越小，数据越集中，稳定性就越好.
拓展 某科研课题组通过一款手机 软件，调查
了某市2000名跑步爱好者平均每周的跑步量
（简称“周跑量”），得到频率分布直方图如图.
（1）估计样本的中位数（保留一位小数）；
解： ，
，
估计中位数位于区间 内.
设样本的中位数为，则 ，
解得, 估计样本的中位数约为 .
（2）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑步爱好
者的周跑量及购买的装备的价格如下表：
周跑量 小于 不小于且小于 不小于
类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者
装备价格（单位：元） 2500 4000 4500
根据以上数据，估计该市每名跑步爱好者购买装备平均需要花费多少元？
解：根据题意，样本中休闲跑者共有 （人），
核心跑者共有 （人），
精英跑者共有 （人），
故估计该市每名跑步爱好者购买装备的平均花费为
（元）.
1.方差的简化计算公式
.
2.“三数”与“三差”解析
平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差和标准差刻画
了一组数据的离散程度.它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，
从不同的角度出发，可以选取不同的统计量来表达同一组数据的信息.
1.关于标准差的灵活计算
例 已知一组样本数据为,1,,5,其中,是方程组 的解，则这个
样本数据的标准差是( )
D
A.2 B. C.5 D.
[解析] ,, 这组数据的平均数为
,
方差, 标准差为 .
2.平均数与标准差（方差）这两个数字特征在实际问题中如何应用？
平均数反映的是数据的平均水平，在实际应用中，平均数常被理解为平均水平，
标准差反映的是数据的离散程度的大小，反映了各个样本数据在样本平均数周
围的集中程度.标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反
之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.在实际应用中，
标准差常被理解为稳定性，常常与平均数结合起来解决问题.
例如：要从甲、乙两名射击运动员中选一名参加运动会，如果你是教练，你会
制订怎样的选拔标准？制订怎样的选拔方案？
选拔标准：要先考虑射击运动员射击的平均水平，即平均射击环数，再考虑射
击运动员发挥的稳定性.当射击环数的平均数不相同时，选择平均数较大的运动
员；当射击环数的平均数相同时，选择发挥更稳定（标准差较小）的运动员.
选拔方案：让这两名射击运动员在相同的环境下进行相同次数的射击，并记录
每次射击的环数，然后计算两名运动员射击环数的平均数和方差，再根据选拔
标准做出选择.
