第2章对称图形-圆（典型例题与跟踪训练）（含答案）-数学九年级上册苏科版

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第2章对称图形-圆（典型例题与跟踪训练）-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
C．平分弦的直径垂直于弦
D．凸多边形的外角和都等于
2．如图，是的直径，是弦，连接，若，的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点A、B、C、D在上，，则的长（ ）
A． B．4 C． D．2
4．如图，点A，，，都在上，，，， （ ）度
A． B．42 C． D．44
5．如图，是锐角三角形的外接圆，．垂足分别为D，E，F，连接．若，的周长为20，则的长为（　　）
A．8 B．4 C． D．3
6．如图1，在正方形内，以点A为圆心，长为半径画弧，点P从圆弧的端点B出发，沿向点D运动，过点P作于点O．设点P运动的时间为，，图2是点P以每秒的速度运动时，y随x变化的关系图象，则图1中阴影部分面积为（　　）
A．3 B．9 C． D．
7．如图，扇形中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点C，若，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，正方形的边长为2，则阴影部分的周长与面积的比值为：

10．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．

11．如图，，，分别切于点，，，如果，那么的周长为 ．
12．如图，在扇形中，，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为 ．
13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为 ．
14．如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
15．如图，正八边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）．
16．如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ．
三、解答题
17．如图，的半径为，圆周角，求的长．
18．如图，A、B、C、D四点在上，为的直径，于点E，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
19．如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明：
(1)所在的直线经过点I；
(2)点D是的中点．
20．如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为．
(1)求的度数．
(2)若，，求点A，B到直线的距离的和．
21．如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结．设交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
22．如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接．
(1)若，求的度数；
(2)的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A C B C B D
1．D
【分析】本题考查判定命题的真假，分别根据平行公理、特殊平行四边形的性质、垂径定理、多边形的外角和分别判断即可．
【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项的命题是假命题，不合题意；
B、矩形和正方形的对角线相等，但菱形的对角线不一定相等，故本选项的命题是假命题，不合题意；
C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本选项的命题是假命题，不合题意；
D、凸多边形的外角和都等于，故本选项的命题是真命题，符合题意．
故选：D
2．C
【分析】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据邻补角的性质求得的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得的度数，
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查圆周角定理，含30度的直角三角形，勾股定理，连接，易得 ，利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选A．
4．C
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
连接，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出、，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
，，
，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
故先：C．
5．B
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、垂径定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
由垂径定理可得，根据三角形的中位线定理得到，进而完成解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6．C
【分析】先由图象可得：当时，，可得，再进一步利用弧长与扇形面积公式可得答案．
【详解】解：由图象可得：当时，，
∴，
∴重合，重合，
∴的长为，
∴，
∴，
∴阴影部分面积为；
故选C
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，正方形的性质，弧长的计算，扇形的面积，理解题意是解本题的关键．
7．B
【分析】由题意得到是等边三角形，因此，，由，得到，由弧长公式求出的长，的长，即可求出阴影的周长．本题考查弧长的计算，等边三角形的判定和性质，关键是由题意得到是等边三角形；掌握弧长公式．
【详解】解：由题意得到：，
，
∴是等边三角形，
，，
，
，
的长，的长，
阴影的周长的长的长．
故选：B
8．D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E，
连接，则，，
又∵，
∴此时．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴，
∴，
∴直线要和圆相交，则．
故选D．
9．
【分析】本题考查了扇形的面积，正方形的性质，弧长公式等知识，根据周长的定义，利用弧长公式计算出周长，利用公割法，扇形的面积公式计算出面积，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解： 如图，由题意可得，图中小正方形的边长为1，

，
，
，
，
，
，
，
∴阴影部分的周长与面积的比值为： ，
故答案为：．
10．
【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接、，
∵，是的半径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，即可得到，，，从而可求得的周长．
【详解】解：，，分别切⊙于点，，，
，，，
的周长
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了弧长的计算，翻折变换 (折叠问题)，由折叠的性质推知是等边三角形是解答此题的关键.
如图，连接.根据折叠的性质、圆的性质推知是等边三角形，则易求，然后由弧长公式弧长的公式来求弧的长.
【详解】解：如图, 连接.根据折叠的性质知，.
又∵,
∴, 即是等边三角形，
∴.
∵,
∴,
∴弧的长为，
故答案为: ．
13．
【分析】本题考查了圆锥的计算，利用圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，列出方程计算即可，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，是解此题的关键．
【详解】解：由题意得；，
解得：，
该圆锥的底面圆的半径长为，
故答案为：．
14．/
【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的上，
，
点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法是解题的关键．根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得：，
，
，
故答案为：．
16．/
【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，
∵是直径，
∴，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∵为的中点，
∴，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：，
又∵，且点为的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键．
17．2
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定，作所对的圆周角，连接、，利用圆内接四边形的性质得，再根据圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可得，掌握圆周角定理，添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：作所对的圆周角，连接、，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
在中，，，
根据勾股定理得，．
18．(1)见解析
(2)的长是
【分析】（1）连接，则，而，所以，则，因为于点E，所以，即可证明是的切线；
（2）由为的直径，得，因为，所以，则，求得，则，所以．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点E，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、直角所对的圆周角是直角、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，可证明，得，则平分，再由点I是的内心，证明平分，所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点I；
（2）连接，推导出，则，再证明，则，再推导出，则，由，，证明，则，所以，即可证明点D是的中点．
【详解】（1）证明：连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴平分，
∵点I是的内心，
∴平分，
∴与在同一条直线上，
∴所在的直线经过点I．
（2）证明：连接，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点D是的中点．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．(1)；
(2)．
【分析】（1）由弧与圆心角的关系可得，，再结合等腰三角形的性质可得答案；
（2）过A作于Q，过B作于F，可得，再利用直角三角形的性质可得答案；
【详解】（1）解：∵在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为，
∴，，，，
∴，，
∴；
（2）解：过A作于Q，过B作于F，则，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，，
解得：，
，
所以点A，B到直线的距离的和是．
【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，弧与圆心角的关系，作出合适的辅助线是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据求出，求出，求出，根据圆周角定理得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）求出，求出，根据三角形内角和定理求出，求出的度数，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：，
，
（两边都减去），
，
由圆周角定理得：，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，
，
，
，
，
的度数是，
，
，
的度数是
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．
22．(1)
(2)见详解
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据垂径定理得到，于是得到结论；
（2）连接，，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
是的直径，，
，
，
故的度数为；
（2）证明：连接，，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
．
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