4.2 分层随机抽样的均值与方差
【课前预习】
知识点一
1. + w1,w2 2.wi
诊断分析
解:若两个班人数相同,则两个班的平均成绩是104分;若两个班人数不同,则两个班的平均成绩不是104分.
知识点二
wi[+(-)2]
【课中探究】
探究点一
例1 解:因为演讲内容、演讲能力、演讲效果的权重分别是50%,40%,10%,所以选手A的综合成绩是85×50%+95×40%+95×10%=42.5+38+9.5=90(分),选手B的综合成绩是95×50%+85×40%+95×10%=47.5+34+9.5=91(分).
变式 解:选手A的85分是演讲内容,选手B的85分是演讲能力,根据题意可知,演讲内容的权重比演讲能力的权重大,所以两名选手的综合成绩不同.如果按演讲内容占40%、演讲能力占50%、演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩,那么选手A的综合成绩是85×40%+95×50%+95×10%=34+47.5+9.5=91(分),选手B的综合成绩是95×40%+85×50%+95×10%=38+42.5+9.5=90(分).
探究点二
例2 解:(1)由题意知,评委和热心观众的权重分别为,,
则选手甲得分的平均数=×8.7+×9.0=8.86.
(2)选手甲得分的方差s2=×[0.01+(8.7-8.86)2]+×[1.40+(9.0-8.86)2]≈0.77.
变式 118.52 [解析] 设二线城市的房价的方差为s2,由题意可知20=[s2+(2.4-1.2)2]+×[10+(1.8-1.2)2]+×[8+(0.8-1.2)2],解得s2=118.52,即二线城市的房价的方差为118.52.4.2 分层随机抽样的均值与方差
1.B [解析] 由题知甲班有45人,平均成绩为110分,乙班有55人,平均成绩为90分,所以这两个班全体学生的平均成绩为=99(分),故选B.
2.C [解析] 数据x1,x2,…,x5,y1,y2,…,y15的平均数是×10+×10=10,则所求方差为×[2+(10-10)2]+×[5+(10-10)2]=4.25,故选C.
3.B [解析] 由题意,估计高一、高二两个年级学生日阅读时间的平均数=50×+40×=44(分钟),方差s2=[4+(50-44)2]×+[6+(40-44)2]×=29.2.故选B.
4.C [解析] 由题意,不妨设男生人数为2x,女生人数为3x,估计该校全体学生每天运动时间的平均数为=88(min).故选C.
5.B [解析] 由=wA+wB,可得2.4=wA×2.3+(1-wA)×2.8,解得wA=.
6.C [解析] 设该志愿服务队中男性有x人,女性有y人,则根据题意得=32,化简得5x=4y,则x∶y=4∶5.故选C.
7.C [解析] 由题意可知两个班的数学成绩的平均数==,则两个班数学成绩的方差s2=w甲[+(-)2]+w乙[+(-)2]=×[2+(-)2]+×[3+(-)2]=×2+×3=2.6(w甲,w乙分别为甲、乙班学生的权重,,分别为甲、乙班数学成绩的方差).故选C.
8.CD [解析] 由题可知w甲==,w乙==.故选CD.
9.AC [解析] 由题意可知甲队队员在所有队员中所占权重为=,乙队队员在所有队员中所占权重为=,则=×60+×70=68,s2=×[200+(60-68)2]+×[300+(70-68)2]=296.故选AC.
10.29 [解析] 由题可知,1千克的混合糖果里三种糖果的质量分别为千克,千克,千克,则混合后的最合理价格为18×+24×+36×=29(元/千克).
11.(1) (2)33 [解析] (1)34的权重是,32的权重是.
(2)日最高气温的平均数是×35+×34+×33+×32+×28=33(℃).
12. [解析] 依题意,抽取的12件零件直径的平均数==100(cm),所以估计该车间这批零件的直径的方差s2=[+(-)2]+[+(-)2]=×=.
13.解:(1)设在男生、女生中分别抽取m人和n人,则==,解得m=60,n=40.
(2)记抽取的总样本的平均数为,可得=×13.2+×15.2=14(cm),
所以抽取的总样本的平均数为14 cm.
记总样本的方差为s2,则s2=×{60×[13.36+(13.2-14)2]+40×[17.56+(15.2-14)2]}=16,所以估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.
14.解:(1)由表中的数据可得,=×(60+80+70+90+70)=74(分),=×(80+60+70+80+75)=73(分),=×[(60-74)2+(80-74)2+(70-74)2+(90-74)2+(70-74)2]=104,=×[(80-73)2+(60-73)2+(70-73)2+(80-73)2+(75-73)2]=56,
因为>,>,所以甲的平均成绩较好,乙的各门功课较平衡.
(2)因为甲同学的权重w甲=,乙同学的权重w乙=,所以甲、乙两名同学这5门功课的成绩的总平均分=×74+×73=73.5(分),总方差s2=w甲[+(-)2]+w乙[+(-)2]=×[104+(74-73.5)2]+×[56+(73-73.5)2]=80.25.
15.(1)甲 (2)乙 [解析] (1)=85×50%+92×50%=88.5,=91×50%+85×50%=88,=80×50%+90×50%=85,所以候选人甲将被录取.
(2)甲=85×60%+92×40%=87.8,乙=91×60%+85×40%=88.6,丙=80×60%+90×40%=84,所以候选人乙将被录取.
16.解:(1)由表可知,第4组的频数为50×0.32=16,所以a=50-4-20-16-4=6,b==0.4,第2组的频率为=0.12,c==0.012.估计前50天内每日接待的顾客人数的平均数为25×0.08+35×0.12+45×0.4+55×0.32+65×0.08=47.
(2)由题可知,前50天每日接待的顾客人数的平均数=47,方差=104,后50天每日接待的顾客人数的平均数=51,方差=100,故这100天每日接待的顾客人数的平均数为=49,方差s2=×[104+(47-49)2]+×[100+(51-49)2]=106.4.2 分层随机抽样的均值与方差
【学习目标】
1.了解分层随机抽样的均值公式与方差公式的推导过程.
2.会求分层随机抽样的均值与方差.
◆ 知识点一 分层随机抽样的平均数
1.由两层构成的样本平均数
一般地,将样本a1,a2,…,am和样本b1,b2,…,bn合并成一个新样本,则这个新样本的平均数为= ·+ ·.
于是,当已知两层构成的新样本中每层的平均数分别为和时,可得这个新样本的平均数为 .
记w1=,w2=,则这个新样本的平均数为w1+w2,其中 称为权重.
2.含n层的样本平均数
设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,,…,和w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为w1+w2+…+wn.为了简化表示,引进求和符号,记作w1+w2+…+wn= .
【诊断分析】 某次数学考试中,若高一(1)班的平均成绩为106分,高一(2)班的平均成绩为102分,则两个班的平均成绩是104分吗
◆ 知识点二 分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为,,…,,方差分别为,,…,,相应的权重分别为w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为s2= ,其中为这个样本的平均数.
◆ 探究点一 分层随机抽样的均值
例1 在一次演讲比赛中,评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分,各项成绩均按百分制打分,然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩(百分制).已知进入决赛的前两名选手的单项成绩(单位:分)如下表所示:
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
A 85 95 95
B 95 85 95
请计算这两名选手的综合成绩.
变式 在例1的条件下,两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分,为什么他们的综合成绩不同 如果按演讲内容占40%、演讲能力占50%、演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩,那么这两名选手的综合成绩分别是多少分
[素养小结]
求分层随机抽样的均值一般有以下几步:(1)确定样本由几层构成;(2)分别计算各层的平均数及对应的权重;(3)根据分层随机抽样的均值公式求解.
◆ 探究点二 分层随机抽样的方差
例2 在某项活动中,设计了由7名评委打分和8名热心观众打分的环节,经统计计算得选手甲的得分情况如下:
平均数 方差
评委打分情况 8.7 0.01
热心观众打分情况 9.0 1.40
(1)求选手甲得分的平均数;
(2)求选手甲得分的方差(结果保留两位小数).
变式 已知某省二、三、四线城市的数量之比为1∶3∶6,且调查得知该省所有城市的房产均价为1.2万元/平方米,房价方差为20,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米,1.8万元/平方米,0.8万元/平方米,三、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线城市的房价的方差为 .
[素养小结]
分层随机抽样的方差的计算通常有三步:(1)确定总平均数;(2)确定各层数据的平均数和方差;(3)根据公式求出样本数据的方差.4.2 分层随机抽样的均值与方差
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2023·江西铜鼓中学高一月考] 已知甲、乙两个班的学生人数分别为45和55,在某次考试中,甲、乙两个班的数学平均成绩分别为110分和90分,则这两个班全体学生的平均成绩为 ( )
A.98分 B.99分
C.100分 D.101分
2.若数据x1,x2,…,x5的平均数是10,方差是2,数据y1,y2,…,y15的平均数是10,方差是5,则数据x1,x2,…,x5,y1,y2,…,y15的方差是 ( )
A.2 B.5 C.4.25 D.3.5
3.[2023·安徽宿松中学高一月考] 2023年7月18日,第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动.某校为了迎接此次活动,对本校高一、高二年级学生进行了前期阅读时间抽查,得到日阅读时间(单位:分钟)的统计表如下:
年级 抽查人数 平均日阅读时间 方差
高一 40 50 4
高二 60 40 6
则估计两个年级学生日阅读时间的方差为 ( )
A.52 B.29.2 C.10 D.6.4
4.某校的男生、女生人数之比为2∶3,按照男、女生人数比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本,样本中男生和女生每天运动时间的平均数分别为100 min和80 min,估计该校全体学生每天运动时间的平均数为 ( )
A.98 min B.90 min
C.88 min D.85 min
5.利用分层随机抽样得到A,B两组数据,其平均数分别是=2.3,=2.8,这两组数据的平均数=2.4,则A组数据在两组数据中的权重wA为 ( )
A. B. C. D.
6.某志愿服务队中人员的平均年龄为32岁,其中男性平均年龄为37岁,女性平均年龄为28岁,则该志愿服务队中男、女性的人数之比为 ( )
A.3∶4 B.4∶3
C.4∶5 D.5∶4
7.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如下表:
班级 人数 平均数 方差
甲 20 2
乙 30 3
其中=,则两个班数学成绩的方差为( )
A.3 B.2
C.2.6 D.2.5
8.(多选题)某校有两个兴趣小组,甲小组有30人,平均年龄为16.5岁,乙小组有25人,平均年龄为17.2岁,现要计算两个小组人员的平均年龄,甲、乙小组的权重分别是w甲,w乙,则下列结论正确的是 ( )
A.w甲=0.3 B.w乙=0.7 C.w甲= D.w乙=
9.(多选题)甲、乙两支田径队队员的体重数据为:甲队队员体重的平均数为60 kg,方差为200,乙队队员体重的平均数为70 kg,方差为300.已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,甲、乙两队全部队员的平均体重为 kg,方差为s2,则下列结论正确的是 ( )
A.=68 B.=65 C.s2=296 D.s2=306
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2023·山东菏泽鄄城一中高一月考] 某商场将价格分别为18元/千克,24元/千克,36元/千克的3种糖果按比例1∶2∶3混合销售,混合销售的最合理价格是 元/千克.
11.某市某年7月中旬的日最高气温统计如下:
气温(℃) 35 34 33 32 28
天数 2 3 2 2 1
(1)在这十个数据中,34的权重是 ,32的权重是 .
(2)该市这一年7月中旬日最高气温的平均数是 ℃.
12.[2023·江西奉新四中高一月考] 某车间有甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,从中各抽取6件,测得甲、乙两组数据的均值为==100,两组数据的方差分别为=,=1,则估计该车间这批零件的直径的方差s2= .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)[2023·四川成都五中高一月考] 坐位体前屈是中小学体质健康测试项目,主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性.在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中,采用分层随机抽样的方法抽取100人,已知这2000名高二年级学生中男生有1200人,且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2 cm和13.36,女生成绩的平均数和方差分别为15.2 cm和17.56.
(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人;
(2)求抽取的总样本的平均数,并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
14.(10分)对某班甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析,随机选取5门功课,得到甲、乙这5门功课的成绩(单位:分)如表:
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
(1)甲、乙谁的平均成绩较好 谁的各门功课较平衡
(2)该班甲、乙两名同学这5门功课的成绩的总平均分和总方差分别是多少
15.(5分)某校为了招聘一名优秀教师,对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核,现将甲、乙、丙三人的考核分数统计如下表:
候选人 教学技能考核分数 专业知识考核分数
甲 85 92
乙 91 85
丙 80 90
(1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要,那么候选人 将被录取;
(2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要,并分别赋予这两项60%和40%的权重,那么候选人 将被录取.
16.(15分)某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数,将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图(如图).
组别 分组 频数 频率
第1组 [20,30) 4 0.08
第2组 [30,40) a
第3组 [40,50) 20 b
第4组 [50,60) 0.32
第5组 [60,70] 4 0.08
(1)求a,b,c的值,并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数;
(2)已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104,在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51,方差为100,估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.(共19张PPT)
§4 用样本估计总体的数字特征
4.2 分层随机抽样的均值与方差
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.了解分层随机抽样的均值公式与方差公式的推导过程.
2.会求分层随机抽样的均值与方差.
知识点一 分层随机抽样的平均数
1.由两层构成的样本平均数
一般地，将样本,, ,和样本,, , 合并成一个新样本，则这个新
样本的平均数为_____ _____ .
于是，当已知两层构成的新样本中每层的平均数分别为和 时，可得这个新
样本的平均数为_______________.
记,,则这个新样本的平均数为 ,其中________称为
权重.
，
2.含 层的样本平均数
设样本中不同层的平均数和相应权重分别为，， ，和,, , ,
则这个样本的平均数为 .为了简化表示，引进求和符号，
记作 _ _______.
【诊断分析】
某次数学考试中，若高一（1）班的平均成绩为106分，高一（2）班的平均成绩
为102分，则两个班的平均成绩是104分吗？
解：若两个班人数相同，则两个班的平均成绩是104分；若两个班人数不同，则
两个班的平均成绩不是104分.
知识点二 分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为,, ,,方差分别为，， ， ,相应
的权重分别为,, ,,则这个样本的方差为 _ ___________________，
其中 为这个样本的平均数.
探究点一 分层随机抽样的均值
例1 在一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为
选手打分，各项成绩均按百分制打分，然后再按演讲内容占 、演讲能力占
、演讲效果占 的比例计算选手的综合成绩（百分制）.已知进入决赛的
前两名选手的单项成绩（单位：分）如下表所示：
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
85 95 95
95 85 95
请计算这两名选手的综合成绩.
解：因为演讲内容、演讲能力、演讲效果的权重分别是，， ，
所以选手 的综合成绩是
（分），
选手 的综合成绩是
（分）.
变式 在例1的条件下，两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分，为什
么他们的综合成绩不同？如果按演讲内容占、演讲能力占 、演讲效果
占 的比例计算选手的综合成绩，那么这两名选手的综合成绩分别是多少分？
解：选手的85分是演讲内容，选手 的85分是演讲能力，根据题意可知，演讲
内容的权重比演讲能力的权重大，所以两名选手的综合成绩不同.
如果按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占 的比例计算选手的
综合成绩，那么选手 的综合成绩是
（分），
选手 的综合成绩是
（分）.
［素养小结］
求分层随机抽样的均值一般有以下几步：（1）确定样本由几层构成；（2）分
别计算各层的平均数及对应的权重；（3）根据分层随机抽样的均值公式求解.
探究点二 分层随机抽样的方差
例2 在某项活动中，设计了由7名评委打分和8名热心观众打分的环节，经统计
计算得选手甲的得分情况如下：
平均数 方差
评委打分情况 8.7 0.01
热心观众打分情况 9.0 1.40
（1）求选手甲得分的平均数；
解:由题意知，评委和热心观众的权重分别为, ，
则选手甲得分的平均数 .
（2）求选手甲得分的方差（结果保留两位小数）.
解:选手甲得分的方差
.
变式 已知某省二、三、四线城市的数量之比为 ，且调查得知该省所有
城市的房产均价为1.2万元/平方米，房价方差为20，二、三、四线城市的房产均
价分别为2.4万元/平方米，万元/平方米， 万元/平方米，三、四线城市房
价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为_______.
118.52
[解析] 设二线城市的房价的方差为 ，由题意可知
，解得 ，即二线城市的房价的方差为118.52.
［素养小结］
分层随机抽样的方差的计算通常有三步：（1）确定总平均数；（2）确定各层
数据的平均数和方差；（3）根据公式求出样本数据的方差.
1.均值是反映数据集中趋势最常用的统计量，任何一个数据的改变都会引起均
值的改变，均值容易受到一些极端值的影响而偏离一般情况.
2.方差反映了各个数据聚集于均值周围的程度.方差越小，表明各个数据在均值
周围越集中；反之，各个数据在均值周围越分散.
3.方差的取值范围是 .
分层随机抽样的平均数与方差的应用
例 学校准备从甲、乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字
听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个
方面做了测试，他们各自的成绩（百分制，单位：分）如下表：
选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25分，请计算乙的平均成绩，从他
们的这一成绩看，应选派谁？
解：由题可知，四个方面的权重均为，
乙的平均成绩为 （分），， 应选派甲.
（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们，，，
的权重，请分别计算两位选手的平均成绩，从他们的这一平均成绩看，应选派
谁？
解：甲的平均成绩为 （分），
乙的平均成绩为（分），
， 应选派乙.
