第3章函数的概念与性质（典型例题与跟踪训练）（含解析）-高一数学上学期人教A版（2019）

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第3章函数的概念与性质（典型例题与跟踪训练）-高一数学上学期人教A版（2019）
一、单选题
1．如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的减区间
B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递增
D．函数的增区间是
3．已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则这四个数中（ ）
A．最大，最小 B．最大，最小
C．最大，最小 D．最大，最小
7．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值是（ ）．
A．3 B．5 C．9 D．12
8．已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，若，记，则（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．的最大值为5 D．的最小值为3
11．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
三、填空题
12．已知二次函数的最小值是2，最大值是6，则的取值范围 ．
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
14．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数.
①
②
③的最大值为1，最小值为0
④与的图象有2个交点
以上结论正确的是 .
四、解答题
15．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)求函数在上的值域 .
16．（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求的解析式.
17．已知函数，点，是图象上的两点.
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
18．（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知函数，求的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式；
19．已知函数，其中.
(1)当函数的图象关于点成中心对称时，求的值；
(2)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(3)若，求函数在区间上的值域.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A D D B D BC ABD
题号 11
答案 AC
1．A
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案.
【详解】开口向上，对称轴为，
要想函数在区间上单调递增，则需，解得，
故实数的取值范围是
故选：A
2．C
【分析】利用图象的变换知识作出的图象，可得单调区间，进而可得答案.
【详解】由，作出函数的图象，
利用图象的变换可得，如图所示：
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增.
故选：C.
3．A
【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可.
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，而为正实数，则此种情况无解，
所以正实数的取值范围为或.
故选：A
4．A
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
5．D
【分析】A选项，定义法得到不为奇函数；B选项，不满足在定义域上单调；C选项，为非奇非偶函数；D选项，满足在定义域上为单调函数，又是奇函数，D正确.
【详解】A选项，定义域为R，且，
故不是奇函数，A错误；
B选项，的定义域为，而在上单调递减，
故不在定义域上单调，B错误；
C选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C错误；
D选项，的定义域为R，且，
故为奇函数，且当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递增，
又，故在定义域上单调递增，为单调函数，D正确.
故选：D
6．D
【分析】结合幂函数图象即可判断.
【详解】当，结合幂函数图象，
可得，
所以最大，最小.
故选：.
7．B
【分析】根据函数的值域求出的关系，根据不等式的解集可得的两根为，由根与系数的关系列方程组，解方程组即可得的值.
【详解】由函数的值域为，
得方程有两个相等的实根，则，即，
由不等式的解集为，
得方程的两根为，
于是，即，
所以.
故选：B
8．D
【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且
又因，所以，
又因在为增函数，在上，
在上，
又因在为减函数，所以上，
综上，当时，，当时，
当时，则，所以，则，
当时，则，所以，则，
不等式可化简变形为，
综上所述可知当时，.
故选：D
9．BC
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A不是；
对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B是；
对于C，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，C是；
对于D，函数定义域为R，而，不是偶函数，D不是.
故选：BC
10．ABD
【分析】根据函数解析式作出函数图象，确定时m的范围，进而可得，将m作为自变量，表示，结合二次函数知识，即可判断答案.
【详解】依题意，函数在上递减，在上递减，其图象如图：

当，时，，
由，得 ，且，因此，，
对于AB，，当时，，
当时，，AB正确；
对于CD，，
函数在上单调递增，当时，，无最大值，C错误，D正确.
故选：ABD
11．AC
【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可.
【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，
定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确；
对于选项B：的定义域为，
的定义域为，
定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误；
对于选项C：的定义域，的定义域，
定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为，
定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误.
故选：AC.
12．
【分析】由解析式配方可得，由条件可得，且时，，由此可求的范围.
【详解】函数解析式可化为，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取最小值，最小值为，
因为当时，函数的最小值是2，最大值是6，
且时，，
所以，且时，，
即，且，
所以.
所以的取值范围为.
故答案为：.
13．
【分析】设，则利用奇函数的定义得出，可得出函数在上的解析式.即可求解
【详解】设，则，则，
函数是上的奇函数，则当时，.
又，
所以
故答案为： .
14．①②
【分析】根据高斯函数的定义对个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①，，所以①正确.
②，因为，所以②正确.
③,由②的分析可知，是周期为1的周期函数，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，的值域为，故③错误；
④当时，，
所以，公共点有无数个，所以④错误.
故答案为：①②
【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
15．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据定义奇函数特征，，求出的值，又，求出的值，得到的解析式，并检验.
（2）利用定义法证明函数单调性；
（3）根据函数的单调性求值域即可.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
则，即有，
且，则，解得，
则函数的解析式：，，
因为满足，所以是奇函数，
即.
（2）证明：设任意满足，
则，
由于，则，，即，
又，
则有，即，
则在上是增函数.
（3）由（2）知，函数在上是增函数，
所以，即，
所以函数在上的值域为.
16．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）利用方程组法求解即可.
【详解】（1）设，则，，即，
所以，所以．
（2）因为是二次函数，所以设.由，得．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（3）用替换中的x，得，
由，解得.
17．(1)
(2)，
【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求，的值；
（2）定义法求函数单调性，由单调性求最值.
【详解】（1）因为点，是图象上的两点，
所以，解得.
（2）设，
则，
因为，所以，，
则，即，
所以函数在上单调递减.
故，.
18．（1）或；（2）；（3）
【分析】（1）设，可用待定系数法求解析式；
（2）令，用换元法求解析式；
（3）将换成，得，用解方程组法求解析式.
【详解】（1）设，
则.
，解得，或，
或.
（2）令，则，
，
即.
（3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立，
得，解得.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的图象关于点成中心对称，是奇函数，求出的值；
（2）化简函数，根据在上的单调性，求出的取值范围；
（3）根据时的单调性，求出在区间上的值域.
【详解】（1） “函数的图象关于点成中心对称”的充要条件为：
“函数是奇函数”，
当的图象关于点成中心对称时，
是奇函数，
，解得；
（2）函数
，
当在上单调递减时，
，
解得，
的取值范围是；
（3）当时，，
函数在区间上是单调增函数，
，
即，
函数的值域是.
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