本章总结提升
【知识辨析】
1.√ [解析] 简单随机抽样是从总体中逐个抽取的,是一种不放回抽样.
2.√ [解析] 由样本容量为400,总体容量为3200可知,抽样比是=,所以每个人被抽到的可能性相同,均为.
3.× [解析] 若一组数据中每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数.一组数据中的众数可以有一个,也可以有多个.
4.× [解析] 该组数据的中位数为9.5.
5.× [解析] 在频率分布直方图中,纵轴表示,数据落在各分组内的频率用相应小长方形的面积来表示.
6.× [解析] 能反映一组数据离散程度的数字特征有极差、方差、标准差.
7.× [解析] 若两类技工的人数相同,则两类技工的月平均工资是5500元;若两类技工的人数不同,则两类技工的月平均工资不是5500元.
8.√ [解析] 根据p分位数的定义可知正确.
【素养提升】
题型一
例1 (1)B (2)04 [解析] (1)根据分层随机抽样的知识可知,应从具有初级职称的工人中抽取的人数为×30=22.故选B.
(2)从随机数表第1行第3列开始,横向依次向右选取两个数字,并剔除编号范围外及重复的编号后,选出的编号依次为08,14,02,12,04,则第5个个体的编号为04.
变式 (1)C (2)C [解析] (1)该校高一、高二、高三年级的总人数为550+500+450=1500,则高一年级被抽取的人数为×60=22.故选C.
(2)由题意可得,选出的前6个编号依次为08,02,14,19,01,16,故选出来的第6个个体的编号为16,故选C.
题型二
例2 解:(1)B地区用户满意度评分的频率分布直方图如图所示.
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
(2)A地区用户对产品的满意度等级为不满意的人数多.
样本中,A地区用户的满意度等级为不满意的频率为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,B地区用户的满意度等级为不满意的频率为(0.005+0.02)×10=0.25,所以可估计A地区用户对产品的满意度等级为不满意的人数多.
变式 (1)A (2)C [解析] (1)由题意可知,服务时长不少于32小时的频率为1-4×(0.005+0.040+0.090)=0.46,所以估计上半年该市志愿者中服务时长不少于32小时的有0.46×1.5=0.69(万人).故选A.
(2)由频率分布直方图得,11时至12时的销售额为3÷0.1×0.4=12(万元).
题型三
例3 (1)C (2)C [解析] (1)对于A,将数据从小到大排序,依次为17,25,30,30,31,32,34,38,42,126,其中30出现了2次,其他数据均出现了1次,所以这组数据的众数为30,所以A中说法正确;对于B,根据中位数的概念,可得这组数据的中位数为=31.5,所以B中说法正确;对于C,这组数据的平均数==40.5,因为40.5>31.5,所以平均数大于中位数,所以C中说法不正确;对于D,从图象可以看出后4天的数据更加集中,前4天的数据更加分散,所以后4天的方差小于前4天的方差,所以D中说法正确.故选C.
(2)因为8×75%=6,第6项、第7项的数据分别为13.5,x,该组数据的75%分位数为14,所以14=,所以x=14.5.故选C.
(3)解:①依题意,20×(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)=1,解得x=0.007 5.
②由图可估计,平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.
最高矩形对应的数据组为[220,240),所以估计众数为=230.
因为数据在[160,220)内的频率为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,数据在[160,240)内的频率为(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,
所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数的估计值为y,则0.45+(y-220)×0.012 5=0.5,
解得y=224,即中位数的估计值为224.
例4 (1)乙 (2)BC [解析] (1)乙机床每天生产出的次品数的平均数为1.2,方差为=0.76;甲机床每天生产出的次品数的平均数为1.5,方差为=1.65.由此看出乙机床每天生产出的次品数的平均数较小且方差也较小,故乙机床的性能较好.
(2)三个年级的学生文学经典名著年阅读量的平均数为=7.2,A错误,B正确;三个年级的学生文学经典名著年阅读量的方差为×[9+(4-7.2)2]+×[15+(7-7.2)2]+×[21+(9-7.2)2]=19.56,C正确,D错误.故选BC.
例5 解:(1)由题可得==,所以n=15.
(2)由频率分布直方图知,各区间的频率依次为0.17,0.20,0.30,0.25,0.08,
所以估计这组数据的平均数=0.17×200+0.20×300+0.30×400+0.25×500+0.08×600=387.
(3)按照方案①:由题意可知20 000个香瓜中,200克的有0.17×20 000=3400(个),300克的有0.20×20 000=4000(个),400克的有0.30×20 000=6000(个),500克的有0.25×20 000=5000(个),600克的有0.08×20 000=1600(个),则以0.01元/克的价格收购的收益为(3400×200+4000×300+6000×400+5000×500+1600×600)×0.01=77 400(元).
按照方案②:质量低于350克的香瓜有(0.17+0.20)×20 000=7400(个),质量高于或等于350克的香瓜有20 000-7400=12 600(个),则对质量低于350克的香瓜以3元/个收购,对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购的收益为7400×3+12 600×5=85 200(元).
因为85 200>77 400,
故该种植园选择方案②的收益更多.
变式1 解:(1)由每周的口罩使用个数在6以上(含6)的有14 000人得n+0.3+0.1==0.7,解得n=0.3,
∴m=-0.2=0.1.
则频率分布直方图如图所示:
(2)∵0.2+0.1+0.3=0.6<0.75,0.6+0.3=0.9>0.75,
∴75%分位数位于[8,10)内,设其估计值为x,则0.6+(x-8)×0.15=0.75,解得x=9,即估计75%分位数为9.
∵0.2+0.1=0.3<0.5,0.2+0.1+0.3=0.6>0.5,
∴中位数位于[6,8)内,设其估计值为y,则0.3+(y-6)×0.15=0.5,解得y≈7.3,即估计中位数约为7.3.
(3)由频率分布直方图估计,一周口罩使用个数的平均数为3×0.2+5×0.1+7×0.3+9×0.3+11×0.1=7,
方差s2=0.2×(3-7)2+0.1×(5-7)2+0.3×(7-7)2+0.3×(9-7)2+0.1×(11-7)2=6.4.
变式2 解:(1)∵zi=xi-yi(i=1,2,…,10),∴当i=1,2,…,10时,zi的值依次为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,∴=×[9+6+8+(-8)+15+11+19+18+20+12]=11,
s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=×(22+52+32+192+42+02+82+72+92+12)=×610=61.
(2)∵-4×=112-4×=121-24.4=96.6>0,
∴>4×,即>2,∴≥2成立.
∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.简单随机抽样是不放回抽样. ( )
2.某企业共有3200名职工,其中青年职工、中年职工、老年职工人数之比为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本,则每个人被抽到的可能性都为. ( )
3.一组数据一定存在众数,且不可能有两个众数. ( )
4.若一组数据为10,15,8,13,7,9,20,5,则这组数据的中位数为10. ( )
5.在频率分布直方图中,数据落在每个分组的频率等于相应小长方形的高度. ( )
6.能反映一组数据离散程度的数字特征有众数、方差、标准差. ( )
7.某企业一级技工的月平均工资为6200元,二级技工的月平均工资为4800元,则该企业这两类技工的月平均工资为5500元. ( )
8.20%分位数的含义是总体数据中任意一个数小于或等于它的可能性是20%. ( )
◆ 题型一 抽样方法的学习与应用
[类型总述] (1)用简单随机抽样抽取样本;(2)用分层随机抽样抽取样本.
例1 (1)某工厂具有初级、中级、高级职称的工人分别有550人、150人、50人.为了解工人的职称与年龄之间的关系,用分层随机抽样的方法从这个工厂具有职称的工人中抽取30人进行调查,则应从具有初级职称的工人中抽取的人数为 ( )
A.20 B.22
C.24 D.28
(2)[2023·江西吉安期末] 总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行第3列开始,横向依次向右选取两个数字,并剔除编号范围外及重复的编号,则选出来的第5个个体的编号为 .
8823 6833 0877 6314 6621 4302 9714 1298
3204 0234 4936 8200 1323 4869 6938 7181
变式 (1)[2023·广东中山一中高一期中] 为了营造浓厚的校园体育氛围,学校采用分层随机抽样的方法从高一550人、高二500人、高三450人中抽取60人观看排球决赛,那么高一年级被抽取的人数为 ( )
A.18 B.20
C.22 D.30
(2)[2024·河南南阳高一期末] 总体由编号为01,02,…,20的20个个体组成.用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从给出的随机数表的第1行第9列的数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个个体的编号为 ( )
7816 6572 0802 6314 0219 4308 9714 0198
3208 9216 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A.08 B.14
C.16 D.19
◆ 题型二 用样本的频率分布估计总体的分布
[类型总述] (1)频率分布直方图;(2)频率折线图.
例2 某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分(分值均为整数),得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图(如图)和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评 分分组 [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
频数 2 8 14 10 6
(1)在图中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分 低于70分 70分 到89分 不低于 90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户对产品的满意度等级为不满意的人数多,并说明理由.
变式 (1)[2024·江西铜鼓中学高一期末] 某市志愿者协会为了解该市1.5万名志愿者上半年参加志愿服务时长(单位:小时;服务时长均在[20,40]内)情况,做了一次随机抽样调查,将收集到的志愿者的服务时长进行统计整理,得到如图所示的频率分布直方图(分组区间为[20,24),[24,28),[28,32),[32,36),[36,40]).据此估计上半年该市志愿者中服务时长不少于32小时的有( )
A.0.69万人 B.0.68万人
C.0.72万人 D.0.81万人
(2)某商场在端午节的促销活动中对活动期间某日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元,则11时至12时的销售额为 ( )
A.8万元 B.10万元
C.12万元 D.15万元
◆ 题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
[类型总述] (1)求样本的平均数、中位数、方差;(2)分层随机抽样的均值与方差;(3)百分位数;(4)用样本估计总体.
例3 (1)[2023·广西桂林十七中高一月考] PM2.5是衡量空气质量的重要指标,如图是某地9月1日至10日的PM2.5日均值(单位:μg/m3)的折线图,则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法不正确的是( )
A.众数为30 μg/m3
B.中位数为31.5 μg/m3
C.平均数小于中位数
D.后4天的方差小于前4天的方差
(2)某社区8位工作人员某天的工作时间(单位:小时)从小到大排列为9,11,11.5,12,13,13.5,x,17,若其75%分位数为14小时,则x等于( )
A.13.5 B.14 C.14.5 D.15
(3)某城市100户居民的月平均用电量(单位:kW·h)按[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.
①求直方图中x的值;
②估计月平均用电量的平均数、众数和中位数.
例4 (1)甲、乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天生产出的次品数分别如下表所示.
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
从数据上看, 机床的性能较好.(填“甲”或“乙”)
(2)(多选题)[2023·湖北罗田一中高一月考] 某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量,采用分层随机抽样方法抽取了一个容量为100的样本.其中,从高三年级抽取容量为20的样本,样本平均数为4,方差为9;从高二年级抽取容量为40的样本,样本平均数为7,方差为15;从高一年级抽取容量为40的样本,样本平均数为9,方差为21.据此估计,三个年级的学生文学经典名著年阅读量的 ( )
A.平均数为6.2
B.平均数为7.2
C.方差为19.56
D.方差为20.56
例5 [2023·江西南昌二中高一月考] 南昌的西瓜脆甜爽口,汁多肉厚,其实在南昌还有一种香瓜也非常好吃,由于个小产量也少,往往供不应求,所以不被大家熟悉.南昌某种植园在香瓜成熟时,随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜,称得其质量(单位:克)分别在[150,250),[250,350),[350,450),[450,550),[550,650)内,经统计绘制频率分布直方图如图所示.
(1)在样本中,按分层随机抽样方法从质量在[250,450)内的香瓜中随机抽取了n个香瓜,其中质量在[250,350)内的香瓜有6个,求n的值.
(2)估计这组数据的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表).
(3)某个体经销商来收购香瓜,同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表,用样本估计总体,该种植园中大概共有香瓜2万个.经销商提出以下两种收购方案:方案①:所有香瓜以0.01元/克的价格收购;方案②:对质量低于350克的香瓜以3元/个收购,对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购.请分别计算两种方案的收益,并说明该种植园选择哪种方案的收益更多
变式1 [2023·河南南阳高一期末] 入冬以来,为进一步做好流行性感冒防控工作,A地区建议居民出行或者出席公共场合佩戴口罩,现对A地区20 000个居民一周的口罩使用个数进行统计,结果如下表所示,其中每周的口罩使用个数在6以上(含6)的有
14 000人.
口罩使用个数 [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12]
频率 0.2 m 0.3 n 0.1
(1)求m,n的值,根据表中数据,完善频率分布直方图;(只画图,不要过程)
(2)根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的75%分位数和中位数(精确到0.1);
(3)根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差.(每组数据用该组区间中点值代替)
变式2 [2023·全国乙卷] 某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10).试验结果如下:
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.(共38张PPT)
本章总结提升
◆ 知识网络
◆ 知识辨析
◆ 素养提升
判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
1.简单随机抽样是不放回抽样.( )
√
[解析] 简单随机抽样是从总体中逐个抽取的，是一种不放回抽样.
2.某企业共有3200名职工，其中青年职工、中年职工、老年职工人数之比为
. 若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则每个人被抽到的可能性
都为. ( )
√
[解析] 由样本容量为400，总体容量为3200可知，抽样比是 ，所以每个
人被抽到的可能性相同，均为 .
3.一组数据一定存在众数，且不可能有两个众数.( )
[解析] 若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数.一
组数据中的众数可以有一个，也可以有多个.
4.若一组数据为10，15，8，13，7，9，20，5，则这组数据的中位数为10.( )
[解析] 该组数据的中位数为9.5.
5.在频率分布直方图中，数据落在每个分组的频率等于相应小长方形的高度. ( )
[解析] 在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各分组内的频率用相应
小长方形的面积来表示.
6.能反映一组数据离散程度的数字特征有众数、方差、标准差.( )
[解析] 能反映一组数据离散程度的数字特征有极差、方差、标准差.
7.某企业一级技工的月平均工资为6200元，二级技工的月平均工资为4800元，
则该企业这两类技工的月平均工资为5500元.( )
[解析] 若两类技工的人数相同，则两类技工的月平均工资是5500元；若两类技
工的人数不同，则两类技工的月平均工资不是5500元.
8.分位数的含义是总体数据中任意一个数小于或等于它的可能性是 . ( )
√
[解析] 根据 分位数的定义可知正确.
题型一 抽样方法的学习与应用
［类型总述］（1）用简单随机抽样抽取样本；（2）用分层随机抽样抽取样本.
例1（1） 某工厂具有初级、中级、高级职称的工人分别有550人、150人、50
人.为了解工人的职称与年龄之间的关系，用分层随机抽样的方法从这个工厂具
有职称的工人中抽取30人进行调查，则应从具有初级职称的工人中抽取的人数
为( )
B
A.20 B.22 C.24 D.28
[解析] 根据分层随机抽样的知识可知，应从具有初级职称的工人中抽取的人数
为 .故选B.
（2）[2023·江西吉安期末] 总体由编号为01，02， ，19，20的20个个体组
成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第3列开始，
横向依次向右选取两个数字，并剔除编号范围外及重复的编号，则选出来的第5
个个体的编号为____.
8823 6833 0877 6314 6621 4302 9714 1298
3204 0234 4936 8200 1323 4869 6938 7181
04
[解析] 从随机数表第1行第3列开始,横向依次向右选取两个数字,并剔除编号范围
外及重复的编号后，选出的编号依次为08，14，02，12，04，则第5个个体的编
号为04.
变式（1） [2023·广东中山一中高一期中]为了营造浓厚的校园体育氛围，学校
采用分层随机抽样的方法从高一550人、高二500人、高三450人中抽取60人观看
排球决赛，那么高一年级被抽取的人数为( )
C
A.18 B.20 C.22 D.30
[解析] 该校高一、高二、高三年级的总人数为 ，则高
一年级被抽取的人数为 .故选C.
（2）[2024·河南南阳高一期末]总体由编号为01，02， ，20的20个个体组成.
用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从给出的随机数表的第1行第9列的
数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0219 4308 9714 0198
3208 9216 4936 8200 3623 4869 6938 7181
C
A.08 B.14 C.16 D.19
[解析] 由题意可得，选出的前6个编号依次为08,02,14,19,01,16，故选出来的第6
个个体的编号为16，故选C.
题型二 用样本的频率分布估计总体的分布
［类型总述］（1）频率分布直方图；（2）频率折线图.
例2 某公司为了了解用户对其产品的满意度，从， 两地区分别随机调查了
40个用户，根据用户对产品的满意度评分（分值均为整数），得到 地区用户满
意度评分的频率分布直方图（如图）和 地区用户满意度评分的频数分布表.
地区用户满意度评分的频率分布直方图
地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
频数 2 8 14 10 6
（1）在图中作出 地区用户满意度评分的
频率分布直方图，并通过直方图比较两地
区满意度评分的平均值及分散程度
（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
解： 地区用户满意度评分的频率分布直方图如图所示.
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出， 地区用户满意度评分
的平均值高于地区用户满意度评分的平均值； 地区用户满意度评分比较集中，
而 地区用户满意度评分比较分散.
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户对产品的满意度等级为不满意的人数多，并说明理由.
解： 地区用户对产品的满意度等级为不满意的人数多.
样本中， 地区用户的满意度等级为不满意的频率为
，
地区用户的满意度等级为不满意的频率为，
所以可估计 地区用户对产品的满意度等级为不满意的人数多.
变式（1） [2024·江西铜鼓中学高一期末]某市志
愿者协会为了解该市1.5万名志愿者上半年参加志
愿服务时长（单位：小时；服务时长均在
内）情况，做了一次随机抽样调查，将
A
A.0.69万人 B.0.68万人 C.0.72万人 D.0.81万人
[解析] 由题意可知，服务时长不少于32小时的频率为
，所以估计上半年该市志愿者中服务时
长不少于32小时的有 （万人）.故选A.
收集到的志愿者的服务时长进行统计整理，得到如图所示的频率分布直方图
分组区间为，, .据此估计上半
年该市志愿者中服务时长不少于32小时的有( )
（2）某商场在端午节的促销活动中对活动期间某
日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方
图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元，则
11时至12时的销售额为( )
C
A.8万元
B.10万元
C.12万元
D.15万元
[解析] 由频率分布直方图得，11时至12时的销售额为 （万元）.
题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
［类型总述］（1）求样本的平均数、中位数、方差；（2）分层随机抽样的均
值与方差；（3）百分位数；（4）用样本估计总体.
例3（1） [2023·广西桂林十七中高一月考] 是衡
量空气质量的重要指标，如图是某地9月1日至10日的
日均值（单位： ）的折线图，则下列关
于这10天中 日均值的说法不正确的是( )
C
A.众数为 B.中位数为
C.平均数小于中位数 D.后4天的方差小于前4天的方差
[解析] 对于A，将数据从小到大排序，依次为17,25,30,30,31,32,34,38,42,126，其
中30出现了2次，其他数据均出现了1次，所以这组数据的众数为30，所以A中
说法正确；
对于B，根据中位数的概念，可得这组数据的中位数为 ，
所以B中说法正确；
对于C，这组数据的平均数，
因为 ，所以平均数大于中位数，所以C中说法不正确；
对于D，从图象可以看出后4天的数据更加集中，前4天的数据更加分散，
所以后4天的方差小于前4天的方差，所以D中说法正确. 故选C.
（2）某社区8位工作人员某天的工作时间（单位:小时）从小到大排列为9,11,
,12,13,,,17,若其分位数为14小时,则 等于( )
C
A.13.5 B.14 C.14.5 D.15
[解析] 因为,第6项、第7项的数据分别为,,该组数据的 分
位数为14,所以,所以 .故选C.
（3）某城市100户居民的月平均用电量（单位： ）按
，，，
分组的频率分布直方图如图所示.
①求直方图中 的值；
解：依题意，
，解得 .
②估计月平均用电量的平均数、众数和中位数.
解：由图可估计，平均数为
.
最高矩形对应的数据组为，所以估计众数为 .
因为数据在内的频率为 ，
数据在 内的频率为 ，所以月平均用电量的中位数在内，
设中位数的估计值为 ，则 ，
解得 ，即中位数的估计值为224.
例4（1） 甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天生产
出的次品数分别如下表所示.
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
从数据上看，____机床的性能较好.（填“甲”或“乙”）
乙
[解析] 乙机床每天生产出的次品数的平均数为 ，方差为
；
甲机床每天生产出的次品数的平均数为 ，方差为 .
由此看出乙机床每天生产出的次品数的平均数较小且方差也较小，
故乙机床的性能较好.
（2）（多选题）[2023·湖北罗田一中高一月考] 某市教育局为了解该市高中各
年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用分层随机抽样方法抽取了一个容量
为100的样本.其中，从高三年级抽取容量为20的样本，样本平均数为4，方差为
9；从高二年级抽取容量为40的样本，样本平均数为7，方差为15；从高一年级
抽取容量为40的样本，样本平均数为9，方差为21.据此估计，三个年级的学生
文学经典名著年阅读量的( )
BC
A.平均数为6.2 B.平均数为7.2 C.方差为19.56 D.方差为20.56
[解析] 三个年级的学生文学经典名著年阅读量的平均数为 ，
A错误，B正确；
三个年级的学生文学经典名著年阅读量的方差为 ，C正确，D错误.故选 .
例5 [2023·江西南昌二中高一月考] 南昌的西瓜脆甜爽口，汁多肉厚，其实在
南昌还有一种香瓜也非常好吃，由于个小产量也少，往往供不应求，所以不被
大家熟悉.南昌某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，
称得其质量（单位：克）分别在 ，，
内，经统计绘制频率分布直方图如图所示.
（1）在样本中，按分层随机抽样方法从质量在 内的香瓜中随机抽取
了个香瓜，其中质量在内的香瓜有6个，求 的值.
解：由题可得，所以 .
（2）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作
代表）.
解：由频率分布直方图知，各区间的频率依次为，，，， ，
所以估计这组数据的平均数
.
（3）某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数
据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样
本估计总体，该种植园中大概共有香瓜2万个.经
销商提出以下两种收购方案：方案①：所有香
瓜以0.01元/克的价格收购；方案②：对质量低
于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购.请分别
计算两种方案的收益，并说明该种植园选择哪种方案的收益更多？
解：按照方案①：由题意可知20 000个香瓜中,
200克的有 （个），
300克的有 （个），
400克的有（个），
500克的有 （个），
600克的有 （个），
则以0.01元/克的价格收购的收益为
（元）.
按照方案②：质量低于350克的香瓜有 （个），
质量高于或等于350克的香瓜有 （个），
则对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购的收益为 （元）.
因为 ，
故该种植园选择方案②的收益更多.
变式1 [2023· 河南南阳高一期末] 入冬以来，为进一步做好流行性感冒防控
工作，地区建议居民出行或者出席公共场合佩戴口罩，现对 地区20 000个居
民一周的口罩使用个数进行统计，结果如下表所示，其中每周的口罩使用个数
在6以上（含6）的有14 000人.
口罩使用个数
频率 0.2 0.3 0.1
（1）求, 的值，根据表中数据，完善频率分布直方图；（只画图，不要过程）
解：由每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14 000人得
，解得 ，
.
则频率分布直方图如图所示：
（2）根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的 分位数和中
位数（精确到 ）；
解：， ，
分位数位于内，
设其估计值为，则 ，解得，
即估计 分位数为9.
， ，
中位数位于内，设其估计值为，则 ，解得
，即估计中位数约为7.3.
（3）根据频率分布直方图估计 地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差.
（每组数据用该组区间中点值代替）
解：由频率分布直方图估计，一周口罩使用个数的平均数为
，
方差 .
变式2 [2023·全国乙卷] 某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处
理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随
机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品
的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 ，
.试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记，记,, ,的样本平均数为，样本方差为 .
（1）求， ；
解:，
当,2， ，10时， 的值依次为9,6,8, ,15,11,19,18,20,12，
，
.
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩
率是否有显著提高（如果 ,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较
乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高）.
解: ，
,即, 成立.
甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显
著提高.
