1.4 随机事件的运算
【课前预习】
知识点一
1.都发生 A∩B 2.至少有一个 A∪B
诊断分析
解:表示事件A1,A2,…,An中至少有一个发生.
知识点二
1.不能同时 2.A∪B=Ω
诊断分析
解:不对.比如抛掷一枚骰子试验,记事件A表示“向上的点数不大于3”,事件B表示“向上的点数不小于5”,事件C表示“向上的点数不大于4”,显然事件A与B互斥,事件B与C互斥,而事件A与C并不互斥.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)D [解析] (1)因为A={1,2},B={2,3},所以A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A∩B表示向上的点数是2,A∪B表示向上的点数是1或2或3,故选C.
(2)事件D包括两次都击中和恰有一次击中两种情况,所以A∩D=A,所以选项A中关系正确;事件B是两次都没击中,事件C是恰有一次击中,所以B∩C= ,所以选项B中关系正确;事件D包括恰有一次击中(事件C)和两次都击中(事件A),所以选项C中关系正确;事件A∪B包括两次都击中和两次都没击中,事件B∪D包括两次都击中、恰有一次击中和两次都没击中,所以选项D中关系不正确.故选D.
变式 解:(1)事件D包括1个红球2个白球和2个红球1个白球这两种情况,故D=A∪B.
(2)事件C包括1个红球2个白球,2个红球1个白球和3个均为红球这三种情况,故C∩A=A.
(3)事件C包括1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红球这三种情况.事件E包括1个白球2个红球,2个白球1个红球,3个均为白球这三种情况.所以C∩E表示“3个球中有1个红球2个白球,或3个球中有2个红球1个白球,”即C∩E=D.
探究点二
例2 解:(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件,但是,不能保证其中必有一个发生,这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件,又是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”这两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
(3)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然也不是对立事件.
变式 解:从3名男生和2名女生中任选2名同学有2名男生,2名女生,1男1女三种结果.
(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由:“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不能同时发生,所以是互斥事件,但是当选取的结果是2名女生时,这两个事件都不发生,所以二者不是对立事件.
(2)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以二者不是互斥事件,当然也不是对立事件.
(3)既是互斥事件,也是对立事件.
理由:“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以是互斥事件,又因为二者必有一个发生,所以二者是对立事件.
(4)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生,所以不是互斥事件,当然也不是对立事件.
拓展 解:(1)A1A2.(2)A1.
(3)A1A2+A1+A2.
探究点三
例3 解:(1)这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
A={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)},C={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),
(3,4),(4,3),(4,4)},D={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},E={(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},F={(4,4)},G={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.
(2)因为A∩D= ,所以事件A与事件D互斥;因为D∩E= ,D∪E=Ω,所以事件D与事件E互为对立事件.
(3)因为A∩B={(4,4)},所以事件A与事件B的交事件和事件F是同一个事件,即事件F是事件A与事件B的交事件.因为B∪G=C,所以事件C是事件B与事件G的并事件.
变式 解:(1)A∩B∩C.
(2)A∪B∪C.
(3)A∩∩.
(4)A∩B∩.
(5)(A∪B)∩.
(6)ABC∪AB∪AC∪BC.1.4 随机事件的运算
1.A [解析] 若事件A与事件B互为对立事件,则事件A与事件B一定是互斥事件;若事件A与事件B是互斥事件,不一定得到事件A与事件B互为对立事件.故“事件A与事件B互为对立事件”是“事件A与事件B是互斥事件”的充分不必要条件.故选A.
2.C [解析] “至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件,同时,也是对立事件.
3.A [解析] 若M,N为互斥事件,则与可能是互斥事件,也可能不是互斥事件,排除C,D;当M,N不是对立事件时,M∪N不是必然事件,排除B.故选A.
4.B [解析] 事件A0,A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3,故A表示至少有一次击中.
5.C [解析] ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”.从1~7中任取两个数,根据取到数的奇偶性可认为共有3种情况,为“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件,故选C.
6.B [解析] 由题意知,事件A={1,3,5},B={2,4,6},C={3,6},所以A∪C={1,3,5,6},B∩C={6}.
7.D [解析] 用(x1,x2)表示试验的射击情况,其中x1表示第一次射击的情况,x2表示第二次射击的情况,以1表示击中目标,0表示没击中目标,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由题意得,事件A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)},则A∩D=A,A∪C=D,且B∩D= ,所以A,B,C中关系都正确;又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,所以A∪B≠B∪D,故D中关系不正确.故选D.
8.AB [解析] 对于A,事件“2个小球都为蓝球”与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立的事件,故A符合题意.对于B,事件“2个小球恰有1个红球”与事件“2个小球都为红球”是互斥而不对立的事件,故B符合题意.对于C,事件“2个小球至少有1个红球”与事件“2个小球都为红球”能同时发生,不是互斥事件,故C不符合题意.对于D,事件“2个小球不全为红球”与事件“2个小球都为红球”是对立事件,故D不符合题意.故选AB.
9.BD [解析] ∵A,B是任意两个事件,∴A∪B=A不恒成立,故选项A错误;易知A∪(A∩B)=A恒成立,故选项B正确;当事件A,B都是随机事件,且A,B都不发生时,∩发生,但A不发生,此时(∩)∩A≠A,故选项C错误;易知A∩(A∪B)=A恒成立,故选项D正确.故选BD.
10.{8,10} [解析] ∩(B∪C)={8,10}∩{2,6,8,10}={8,10}.
11.B∪D∪E [解析] 由题意可知事件“取出的是数学或物理或化学书”可记为B∪D∪E.
12.③ [解析] 结合题意知,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件是“至少有一个是5点或6点”.
13.解:(1)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:当一次射击命中10环时,二者能够同时发生.故二者既不是互斥事件,也不是对立事件.
(2)是互斥事件,但不是对立事件.
理由:事件A与事件C不可能同时发生,且A∪C={1,2,3,4,5,8,9,10}≠Ω.故二者是互斥事件,但不是对立事件.
(3)是互斥事件,也是对立事件.
理由:事件C与事件D不可能同时发生,且C∪D={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}=Ω.故二者是互斥事件,也是对立事件.
14.解:(1)由题意知,样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},且A={1},B={2,4,6},C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6}.
(2)由(1)知C∪D=Ω且C∩D= ,
所以C,D是对立事件.
(3)由(1)可知,={2,3,4,5,6},={1,3,5},={1,2},={1,2,4,5},
所以C={2},∪C={1,2,3,5},∪={1,2,4,5}.
15.1 [解析] 对于(1),(2),因为抛掷两次硬币,除事件A,B外,还有“第一次出现正面,第二次出现反面”和“第一次出现反面,第二次出现正面”两个事件,所以事件A和事件B不是对立事件,但它们不会同时发生,所以是互斥事件,故命题(1)是假命题,命题(2)是真命题;对于(3),若所取的3件产品中恰有2件次品,则事件M和事件N同时发生,所以事件M和事件N不是互斥事件,故命题(3)是假命题.
16.解:(1)事件C为“至多订一种报”,故可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故事件B与事件E是互斥事件.由于事件B发生会导致事件E必不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故事件B与事件E是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报”有三种可能:“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件D“不订甲报”有两种可能:“只订乙报”“一种报也不订”.所以事件B和D可能同时发生,故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少订一种报”有三种可能:“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”,事件C“至多订一种报”有三种可能:“甲、乙两种报都不订”“只订甲报”“只订乙报”.所以事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析可知,事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能,故事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.1.4 随机事件的运算
【学习目标】
1.理解并掌握随机事件的运算及事件的关系.
2.能够将随机事件的运算知识灵活运用到实际事件中.
◆ 知识点一 交事件与并事件
1.交事件
一般地,由事件A与事件B 所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作 (或AB).事件A∩B是由事件A和事件B所共有的样本点构成的集合.用Venn图表示,如图中阴影部分所示.
2.并事件
一般地,由事件A和事件B 发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作 (或A+B).事件A与事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的样本点构成的集合.用Venn图表示,如图中阴影部分所示.
【诊断分析】 两个事件的并也可推广到n个事件的并,即A1∪A2∪…∪An,那么事件A1∪A2∪…∪An发生是什么意思呢
◆ 知识点二 互斥事件与对立事件
1.互斥事件
一般地, 发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件.用Venn图表示,如图所示.
2.对立事件
若A∩B= ,且 ,则称事件A与事件B互为对立事件.事件A的对立事件记作 .用Venn图表示,如图所示.
【诊断分析】 如果事件A与事件B互斥,事件B与事件C互斥,那么事件A与事件C互斥,对吗
◆ 探究点一 交事件与并事件的理解
例1 (1)抛掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 ( )
A.A∪B表示向上的点数是1或2
B.A∩B表示向上的点数是1或2
C.A∪B表示向上的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的点数是1或2或3
(2)对同一目标连续射击两次,设事件A表示“两次都击中”,事件B表示“两次都没击中”,事件C表示“恰有一次击中”,事件D表示“至少有一次击中”,下列关系不正确的是 ( )
A.A∩D=A B.B∩C=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
变式 盒子里有除颜色外完全相同的6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A表示“3个球中有1个红球2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球1个白球”,事件C表示“3个球中至少有1个红球”,事件D表示“3个球中既有红球又有白球”.
问:(1)事件D与A,B是什么运算关系
(2)事件C与A的交事件是什么
(3)设事件E表示“3个球中至少有1个白球”,那么事件C与E的交事件是什么
[素养小结]
进行事件的运算时,一要紧扣运算的定义,二要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果.必要时可列出全部的试验结果进行分析,也可类比集合的关系和运算用Venn图分析.
◆ 探究点二 互斥事件与对立事件的判断
例2 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数都从1到10各10张)中任意抽取1张,判断下列给出的每对事件是否是互斥事件和对立事件,并说明理由.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
变式 从3名男生和2名女生中任选2名同学参加志愿者活动,判断下列给出的每对事件是否是互斥事件和对立事件,并说明理由.
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
[素养小结]
(1)判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们在一次试验中能否同时发生,若不能同时发生,则这两个事件是互斥事件,否则不是互斥事件.
(2)判断两个事件是否为对立事件,主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件:一是不能同时发生;二是必有一个发生.
拓展 袋中有红、白两种颜色的球各10个,某人做无放回地抽样试验,连续抽取2次,每次抽取一个球.设Ai表示“第i次抽到红球”(i=1,2).试用Ai及表示下列事件:
(1)2次都抽到红球;
(2)第1次抽到红球,第2次抽到白球;
(3)至少有1次抽到红球.
◆ 探究点三 事件运算的综合应用
例3 有一红一绿两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验,观察正四面体玩具朝下的点数,用(x,y)表示一次试验的结果,其中x表示红色正四面体玩具朝下的点数,y表示绿色正四面体玩具朝下的点数.设事件A表示“红色正四面体玩具朝下的点数为4”,B表示“两个正四面体玩具朝下的点数相等”,C表示“两个正四面体玩具朝下的点数之差的绝对值小于2”,D表示“两个正四面体玩具朝下的点数之和不大于4”,E表示“两个正四面体玩具朝下的点数之和不小于5”,F表示“两个正四面体玩具朝下的点数之和等于8”,G表示“两个正四面体玩具朝下的点数为相邻的整数”.
(1)写出试验的样本空间以及用样本点表示上述各事件.
(2)事件A与D,D与E之间各有什么关系
(3)事件A与事件B的交事件与事件F有什么关系 事件B与事件G的并事件与事件C有什么关系
变式 设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.
(1)三个事件都发生;
(2)三个事件至少有一个发生;
(3)A发生,B,C不发生;
(4)A,B都发生,C不发生;
(5)A,B至少有一个发生,C不发生;
(6)三个事件至少有两个发生.1.4 随机事件的运算
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.“事件A与事件B互为对立事件”是“事件A与事件B是互斥事件”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.某人打靶时,连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.两次都不中靶
D.只有一次中靶
3.设M,N为两个随机事件,如果M,N为互斥事件,那么 ( )
A.∪是必然事件
B.M∪N是必然事件
C.与是互斥事件
D.与不是互斥事件
4.打靶三次,事件Ai表示“击中i次”,i=0,1,2,3,则事件A=A1∪A2∪A3表示 ( )
A.全部未击中
B.至少有一次击中
C.全部击中
D.至多有一次击中
5.[2023·四川达州万源中学高一月考] 从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中是对立事件的是 ( )
A.① B.②④
C.③ D.①③
6.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”.用样本点表示A∪C,B∩C分别是 ( )
A.{3},{6}
B.{1,3,5,6},{6}
C.{1,3,5,6},{2,4,6}
D.{1,3,5},{6}
7.[2023·江西新余分宜中学高一月考] 对某目标连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A表示“两次都击中目标”,B表示“两次都没击中目标”,C表示“恰有一次击中目标”,D表示“至少有一次击中目标”,则下列关系不正确的是 ( )
A.A∩D=A B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
8.(多选题)[2023·四川嘉陵一中高一月考] 一个口袋内装有大小、形状完全相同的红球、绿球和蓝球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有 ( )
A.2个小球都为蓝球
B.2个小球恰有1个红球
C.2个小球至少有1个红球
D.2个小球不全为红球
9.(多选题)设A,B是任意两个事件,则下面关系式恒成立的是 ( )
A.A∪B=A
B.A∪(A∩B)=A
C.(∩)∩A=A
D.A∩(A∪B)=A
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.某随机试验的样本空间为Ω={0,2,4,6,8,10},事件A={0,2,4,6},B={2,6,8},C={8,10},则∩(B∪C)= .
11.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则事件“取出的是数学或物理或化学书”可记为 .
12.同时抛掷两枚均匀的骰子,观察向上的点数,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 .(填序号)
①一个是5点,另一个是6点;
②一个是5点,另一个是4点;
③至少有一个是5点或6点;
④至多有一个是5点或6点.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)一个射击手进行一次射击,设事件A表示“命中的环数大于7”;事件B表示“命中的环数为10”;事件C表示“命中的环数小于6”;事件D表示“命中的环数为6,7,8,9,10”.判断下列各组事件是否是互斥事件,如果是,再判断它们是否是对立事件,并说明理由.
(1)事件A与B;
(2)事件A与C;
(3)事件C与D.
14.(10分)抛一枚质地均匀的骰子,观察它朝上的点数.设事件A表示“点数为1”,B表示“点数为偶数”,C表示“点数小于3”,D表示“点数大于2”,E表示“点数是3的倍数”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件.
(2)判断C与D是否为对立事件.并说明理由.
(3)用集合形式表示事件,C,∪C,∪.
15.(5分)给出以下三个命题:(1)将一枚硬币抛掷两次,记事件A表示“两次都出现正面”,事件B表示“两次都出现反面”,则事件A与事件B是对立事件;(2)命题(1)中的事件A与事件B是互斥事件;(3)在10件产品中有3件是次品,从中任取3件,记事件M表示“所取3件中最多有2件是次品”,事件N表示“所取3件中至少有2件是次品”,则事件M与事件N是互斥事件.其中真命题的个数是 .
16.(15分)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报”,事件C为“至多订一种报”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;
(4)B与C;(5)C与E.(共30张PPT)
§1 随机现象与随机事件
1.4 随机事件的运算
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解并掌握随机事件的运算及事件的关系.
2.能够将随机事件的运算知识灵活运用到实际事件中．
知识点一 交事件与并事件
1.交事件
一般地，由事件与事件________所构成的事件，称为事件与事件 的交事件
（或积事件），记作______（或）.事件是由事件和事件 所共有的样
本点构成的集合.用 图表示，如图中阴影部分所示.
都发生
2.并事件
一般地，由事件和事件____________发生（即发生，或发生，或, 都发
生）所构成的事件，称为事件与事件 的并事件（或和事件），记作______
（或）.事件与事件的并事件是由事件或事件 所包含的样本点构成的
集合.用 图表示，如图中阴影部分所示.
至少有一个
【诊断分析】
两个事件的并也可推广到个事件的并，即 ，那么事件
发生是什么意思呢？
解:表示事件,, , 中至少有一个发生.
知识点二 互斥事件与对立事件
1.互斥事件
一般地，__________发生的两个事件与 称为互
斥事件.用 图表示，如图所示.
不能同时
2.对立事件
若 ，且__________，则称事件与事件 互为对立
事件.事件的对立事件记作___.用 图表示，如图所示.
【诊断分析】
如果事件与事件互斥，事件与事件互斥，那么事件与事件 互斥，对吗？
解：不对.比如抛掷一枚骰子试验，记事件表示“向上的点数不大于3”，事件
表示“向上的点数不小于5”，事件表示“向上的点数不大于4”，显然事件与
互斥，事件与互斥，而事件与 并不互斥.
探究点一 交事件与并事件的理解
例1（1） 抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件 ，“向上的
点数是2或3”为事件 ，则( )
C
A.表示向上的点数是1或2 B. 表示向上的点数是1或2
C.表示向上的点数是1或2或3 D. 表示向上的点数是1或2或3
[解析] 因为,,所以,，所以 表
示向上的点数是2， 表示向上的点数是1或2或3,故选C.
（2）对同一目标连续射击两次，设事件表示“两次都击中”，事件 表示“两次
都没击中”，事件表示“恰有一次击中”，事件 表示“至少有一次击中”，下列关
系不正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 事件D包括两次都击中和恰有一次击中两种情况，所以 ，
所以选项A中关系正确；
事件B是两次都没击中，事件C是恰有一次击中，所以 ，
所以选项B中关系正确；
事件D包括恰有一次击中（事件C）和两次都击中（事件A），
所以选项C中关系正确；
事件 包括两次都击中和两次都没击中，事件 包括两次都击中、
恰有一次击中和两次都没击中，所以选项D中关系不正确.故选D.
变式 盒子里有除颜色外完全相同的6个红球，4个白球，现从中任取3个球，
设事件表示“3个球中有1个红球2个白球”，事件 表示“3个球中有2个红球1个白
球”，事件表示“3个球中至少有1个红球”，事件 表示“3个球中既有红球又有白
球”．
问：
（1）事件与， 是什么运算关系？
解：事件包括1个红球2个白球和2个红球1个白球这两种情况，故 .
（2）事件与 的交事件是什么？
解：事件 包括1个红球2个白球，2个红球1个白球和3个均为红球这三种情况，
故 .
（3）设事件表示“3个球中至少有1个白球”，那么事件与 的交事件是什么？
解：事件 包括1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个均为红球这三种情况.
事件包括1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个均为白球这三种情况.
所以 表示“3个球中有1个红球2个白球，或3个球中有2个红球1个白球”，
即 .
［素养小结］
进行事件的运算时，一要紧扣运算的定义，二要全面考虑同一条件下的试验可
能出现的全部结果.必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关
系和运算用 图分析.
探究点二 互斥事件与对立事件的判断
例2 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数都从1到10各10张）中任意
抽取1张，判断下列给出的每对事件是否是互斥事件和对立事件，并说明理由.
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
解:是互斥事件，不是对立事件.
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发
生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可
能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
解:既是互斥事件，又是对立事件.
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”这两个事件不
可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
解:既不是互斥事件，也不是对立事件.
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点
数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互
斥事件，当然也不是对立事件.
变式 从3名男生和2名女生中任选2名同学参加志愿者活动，判断下列给出的
每对事件是否是互斥事件和对立事件，并说明理由.
（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
解： 从3名男生和2名女生中任选2名同学有2名男生，2名女生，1男1女三种结果.
是互斥事件，不是对立事件.
理由：“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不能同时发生，所以是互斥事件，但是
当选取的结果是2名女生时，这两个事件都不发生，所以二者不是对立事件．
（2）“至少有1名男生”与“全是男生”；
解： 既不是互斥事件，也不是对立事件.
理由：“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可
能同时发生，所以二者不是互斥事件，当然也不是对立事件．
（3）“至少有1名男生”与“全是女生”；
解： 既是互斥事件，也是对立事件.
理由：“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件，又因
为二者必有一个发生，所以二者是对立事件．
（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解： 既不是互斥事件，也不是对立事件.
理由：“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，
“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以不是互斥事件，当然也
不是对立事件．
［素养小结］
（1）判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，
若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，否则不是互斥事件.
（2）判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时
满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.
拓展 袋中有红、白两种颜色的球各10个，某人做无放回地抽样试验，连续抽
取2次，每次抽取一个球.设表示“第次抽到红球”.试用及 表示下
列事件：
（1）2次都抽到红球；
解: .
（2）第1次抽到红球，第2次抽到白球；
解: .
（3）至少有1次抽到红球.
解: .
探究点三 事件运算的综合应用
例3 有一红一绿两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面
做投掷这两个正四面体玩具的试验，观察正四面体玩具朝下的点数，用 表
示一次试验的结果，其中表示红色正四面体玩具朝下的点数， 表示绿色正四
面体玩具朝下的点数．设事件表示“红色正四面体玩具朝下的点数为4”， 表
示“两个正四面体玩具朝下的点数相等”， 表示“两个正四面体玩具朝下的点数
之差的绝对值小于2”，表示“两个正四面体玩具朝下的点数之和不大于4”，
表示“两个正四面体玩具朝下的点数之和不小于5”， 表示“两个正四面体玩具
朝下的点数之和等于8”， 表示“两个正四面体玩具朝下的点数为相邻的整数”．
（1）写出试验的样本空间以及用样本点表示上述各事件.
解：这个试验的样本空间为，，，，， ，
，，，，，，，，， ．
，，，，
，，， ，
，，，，，，，，， ，
，，，，，，
，， ，，，，，，，，
，
，，，，， ．
（2）事件与，与 之间各有什么关系？
解：因为 ，所以事件与事件互斥；因为 ， ，
所以事件与事件 互为对立事件．
（3）事件与事件的交事件与事件有什么关系？事件与事件 的并事件与
事件 有什么关系？
解：因为,所以事件与事件的交事件和事件 是同一个事件，
即事件是事件与事件的交事件．因为，所以事件是事件 与事
件 的并事件.
变式 设，，表示三个随机事件，试将下列事件用，， 表示出来．
（1）三个事件都发生；
解： .
（2）三个事件至少有一个发生；
解： .
（3）发生，， 不发生；
解： .
（4），都发生， 不发生；
解： .
（5），至少有一个发生， 不发生；
解： .
（6）三个事件至少有两个发生.
解： .
1.对并（和）事件的理解
（1）事件与事件的并事件等于事件与事件的并事件，即 .
（2）并事件包含三种情形：事件发生，事件不发生；事件发生，事件 不
发生；事件，同时发生，即事件，中至少有一个发生，称作 发生.
（3）事件，中只要有一个发生，就称作事件发生，即事件 是由
事件或 所包含的样本点组成的集合.
（4）两个事件的并也可推广到个事件的并，即表示, ,
, 中至少有一个发生.
2.互斥事件与对立事件的区别与联系
区别：（1）在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发
生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.
（2）互斥事件有可能是两个事件，也有可能是多个事件，而对立事件只能是两
个事件.
（3）从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指分别由各个事件所含的样本点
组成的集合的交集是空集，而事件 的对立事件所包含的样本点组成的集合，是
由事件 所包含的样本点组成的集合的补集.
联系：两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件；两个事件是互斥事件，
它们未必是对立事件.
“至多”“至少”的对立事件问题，可以采用集合的补集思想进行转化.如“至少有
个”对应，其补集应为 .
例1 一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是( )
D
A.恰有一次击中 B.三次都没击中 C.三次都击中 D.至多击中一次
[解析] 由题意知，“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”，故选D.
[解析] 从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张卡片都为红色”“2张卡片
都为绿色”“2张卡片都为蓝色”“1张卡片为红色1张卡片为绿色”“1张卡片为红色1
张卡片为蓝色”“1张卡片为绿色1张卡片为蓝色”.
选项给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件是
“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张蓝色”“2张卡片都为绿色”，
其中“2张卡片至少一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”，
二者并非互斥事件.故选 .
例2 （多选题）[2024·河南开封杞县期末] 不透明的口袋内装有红色、绿色和
蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不
对立的事件有( )
ABD
A.2张卡片都不是红色 B.2张卡片恰有一张蓝色
C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色
