16.8极差、方差、标准差
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16.8极差、方差、标准差
一、教学背景分析：
1.教材内容的功能与地位：
本节课的内容属于北京市义务教育课程改革实验教材第16册第十八章《方差与频数分布》第一节《极差、方差与标准差》的第一课时。“方差”属于数学中的概率统计范畴，它的特点是与生产及日常生活中的实际问题紧密联系，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用。本节课的内容涉及极差、方差概念的形成、计算方法及它们在社会生产、日常生活的应用，有着“承上起下”的作用。它是在学生原有知识的基础上又进一步学习新知识，是学生原有知识的补充和发展。同时也为后续学习标准差和其它知识做准备。
学生的数学学习要让学生经历数学知识的形成过程。要创设了一个很好的问题情境和统计知识的背景．当学生通过讨论发现用已有的数学知识无法很好解决这个问题时，就会思考该如何从其他角度入手解决问题，这有利于培养学生的创新意识。本节课的教学设计主要针对学生基础较为薄弱和探究能力不足的情况及方差与生产及日常生活中的实际问题紧密联系的特点，以“家电下乡”为背景，创设问题情境，让学生经历方差概念的形成过程，在探究方差概念的形成过程中，学生不仅自主获取数学知识与技能，而且还能达到对知识的深层次理解，同时学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。
2.学生情况分析：
一组数据，主要描述它的集中趋势和离散程度。学生已经学习了描述一组数据的集中趋势的特征数（平均数、众数、中位数），已会求一组数据的平均数、众数、中位数，对它们可以表示数据的集中趋势有所体会。对统计含义有了一定了解。而学生对数据的离散程度还不理解。而极差和方差是描述一组数据离散程度的特征数。极差描述一组数据变化范围的大小，它粗略地反映了这组数据的离散状况；方差是描述一组数据的波动大小，它全面地平均地表示一组数据的离散程度.在这个背景下，复习原有知识，学习新知识，使学生对分析数据的知识和方法形成整体认识。
二、教学目标分析：
1.知识与技能：
◆了解极差、方差的定义和计算公式；
◆理解极差、方差概念的产生和形成的过程；
◆会用极差、方差计算公式来比较两组数据的波动大小 。
2.过程与方法：
◆经历探索极差、方差概念的 产生和形成的过程；
◆体会数据波动中的极差、方差的求法以及区别，积累统计经验；
◆发展学生初步的统计意识和处理数据的能力，解决生活中的实际问题，培养学生解决问题的能力．
3.情感态度与价值观：
◆关注与极差、方差有关的社会问题，保持和增强对数学问题的好奇心和探索欲；
◆培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认 识数据处理的实际意义。
三、教学重点、难点：
教学重点：方差的概念和方差的计算方法
教学难点：方差的形成和离散程度的含 义
四、教学方法选择：
教学方法：教师引导下的问题情景探究
教学手段：多媒体投影，计算机辅助教学
五、教学过程设计：
教学过程教学过程教学过程教学过程 教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景，引入新课 ：2009年，国家为了扩大内需、保持经济平稳较快增长，也为了促进农民增收和促进行业健康发展。在全国范围内推广“家电下乡”政策。其中“汽车下乡”政策，深受老百姓的爱戴。下表是甲、乙两个汽车销售店在通州区10天销售同一品牌同一型号汽车的销售情况：（单位：辆）天数12345678910甲店74681078686乙店576810571075我们可以从哪些方面分析它们的销售成绩？最高成绩：都是10辆中位数：都是7平均成绩: 都是7辆得出结论：两个汽车销售店的最高成绩、平均成绩都相同。二、合作探究，得出新知： （一）、 问题1： 最高成绩、中位数、平均成绩都相同的情况下，我们还可以从哪些方面分析，来说明这两个店销售成绩的差异呢？首先，从两个店的销售成绩的变化范围的大小看：甲店销售成绩的变化范围是：最高成绩—最低成绩=10—4=6（辆）乙店销售成绩的变化范围是：最高成绩—最低成绩=10—5=5（辆） 结论：乙店销售成绩的变化范围小。如果只从销售成绩的变化范围看， 乙店的销售成绩好。极差：通常，一组数据中的最大值减去最小值所得的差，叫做这组数据的极差。极差= 数据中的最大值 — 数据中的最小值极差表示了一组数据变化范围的大小。（二）、 问题2：用两个极端数据的变化来表示一组数据的波动还比较粗略。为了更合理地确定哪家店的销售成绩好，我们还要更全面的分析他们的销售成绩。 1.分别画出两个汽车销售店销售成绩的折线图，再做出一条表示平均销售量水平直线。观察折线图，你能发现两个销售店销售成绩的差异吗？谁的成绩中偏离平均成绩较大的成绩较少？结论：在10天的汽车销售中，甲店的销售成绩中偏离平均成绩的较大的成绩较少，更多的成绩接近于平均成绩。 2. 我们分别计算两个店的销售成绩偏离平均成绩的平均距离，来比较它们销售成绩波动的大小。因此，要计算每个数据与平均数的差的绝对值的平均值。甲店 ：乙店：由于1.2<1.4,说明甲店的销售成绩中偏离平均数的平均距离较小，波动较小，成绩更稳定。3. 偏离平均数的平均距离比极差更全面的反应一组数据波动的大小，但是在计算时要取绝对值，不便于进行公式变形。统计中很少用。我们通常先取每个数据的与平均数的差的平方数，再求平均值。甲店: 乙店：由于2.4<3.2,也说明了甲店的成绩偏离平均数的平均距离较小，波动较小，成绩更稳定。由问题1和问题2可以得出：虽然乙店10天的销售成绩变化范围小，但是从成绩波动情况看，甲店的销售成绩波动较小，甲店的销售成绩较好。(三)、问题3：如果用来表示一组数据，用表示一组数据的平均数，用s2表示每个数据与平均数的差的平方数的平均值。你能说出s2的计算公式吗？s2出的计算公式： 我们把s2叫做这组数据的方差。用它描述一组数据波动的大小，也用它描述数据的离散程度。小结与反思：如何比较平均数相同的两组数据的差异：1.极差：表示了一组数据变化范围的大小；2.方差: 表示了一组数据波动的大小，用它描述数据的离散程度。三、学以致用 联系实际 ： 例1某地区某年某年12月中旬前、后五天的最高气温记录如下（单位：）:前5天55000后5天-12225 比较哪5天中最高气温的变化范围较小，哪5天中最高气温的波动较小。总结：求一组数据的方差的方法：先平均，再求差，然后平方，最后再平均。 例2在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.图1是其中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出 合理的整修建议.解：（1） ∴相同点：两段台阶路的高度的平均数相同． 不同点：两段台阶路的高度的中位数、方差和极差均不相同．（2）甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小．（3）整修建议：使每个台阶高度均为15cm（原平均数），使得方差为0．四、巩固练习 拓展提高：五、小结： 1.学生自己总结本节课的收获与体会； 2.本节课主要从解决实际问题的过程中，探究如何表示一组数据的离散程度。（1）直观比较（2）计算平均值比较（3）从特殊到一般引出方差概念七、作业：书上149页：1，150页 ：2， 学生独立思考后回答问题计算中位数，平均成绩并比较教师引导学生思考并回答问题总结归纳观察折线图，思考并回答问题教师和学生一起解决问题，使学生在一次次的解决问题中体会方差概念的发生发展形成过程总结出方差的概念比较极差、方差的区别和联系巩固练习总结思考并回答问题运用所学统计知识，解决实际问题学生总结归纳进行交流 创设情境，引出问题，激发学生的学习兴趣复习中位数，平均数的求法。引出新的概念培养学生的总结归纳能力培养学生的观察能力、分析能力通过实例让学生体会方差的产生过程，体验数学与生活的密切联系增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。 培养学生总结概括能力使学生进一步掌握极差和方差的计算方法培养学生总结概括能力培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义 培养学生的数学应用意识回顾本节课的学习内容
六、课后反思：
1.本节课在问题设置上采取层层设疑，步步推进的方法。教师和学生一起解决问题，确定知识点，使学生在一次次的解决问题中体会方差概念的发生发展形成过程。引导学生探索知识的形成过程比较成功，给学生搭建了比较广阔的思维平台。在推导方差公式时，将问题细化 ，使学生的思维活动得到了充分的展示。另外利用多媒体解决大量的计算问题，为推导公式，解决重点赢得了时间，感觉效果也不错。
2.在“引例”上采用的是与社会生产、学生生活密切相关的“家电下乡”问题，调动了学生学习数学的积极性，激发了学生的学习兴趣。体现数学知识在实际生活中的广泛应用。
3.本节课在推导方差公式时，班内一名叫小强的学生提出：“他觉得利用绝对值计算方差比较简单，为什么还要引入方差的计算公式？方差的计算公式怎么不便于公式变形？”当时， 它的问题一下子把我问住了。而且，班内其他学生也很赞同他的想法。课下，我查阅了大量关于方差的资料，我才了解到真正的原因。再一次上课，我给学生解释到：利用绝对值计算方差对于数据个数很少的情况下看似简便，但统计中经常要统计大量的数据，对于大量数据的统计利用绝对值计算方差并不简便，利用绝对值计算方差不利于公式变形，而且 电脑中很少用绝对值计算方差。另外，更主要的原因是方差还有它的两个简化公式:
公式（1），公式（2）：用表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，、、…表示各数据．若将每个数据同时减去一个与样本平均数接近的常数，并设： ，…，记则 利用简化公式计算方差更加简便。通过这一节课的教学，我更加深刻的体会到：在教学过程中，只要我们充分相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样，学生既能自主获取数学知识与技能，而且还能达到对知识的深层次理解。更主要的是还能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。
同时，在这个过程中，也迫使教师更加深入的挖掘教材。我想，这才体现了“教学相长”这四个字的真正含义。
17
甲路段
15
15
16
14
14
16
19
10
18
15
11
乙路段
图1
图1中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm).并且数据15,16, 16,14,14,15的方差,数据11,15,18, 17,10,19的方差
一、教学背景分析：
1.教材内容的功能与地位：
本节课的内容属于北京市义务教育课程改革实验教材第16册第十八章《方差与频数分布》第一节《极差、方差与标准差》的第一课时。“方差”属于数学中的概率统计范畴，它的特点是与生产及日常生活中的实际问题紧密联系，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用。本节课的内容涉及极差、方差概念的形成、计算方法及它们在社会生产、日常生活的应用，有着“承上起下”的作用。它是在学生原有知识的基础上又进一步学习新知识，是学生原有知识的补充和发展。同时也为后续学习标准差和其它知识做准备。
学生的数学学习要让学生经历数学知识的形成过程。要创设了一个很好的问题情境和统计知识的背景．当学生通过讨论发现用已有的数学知识无法很好解决这个问题时，就会思考该如何从其他角度入手解决问题，这有利于培养学生的创新意识。本节课的教学设计主要针对学生基础较为薄弱和探究能力不足的情况及方差与生产及日常生活中的实际问题紧密联系的特点，以“家电下乡”为背景，创设问题情境，让学生经历方差概念的形成过程，在探究方差概念的形成过程中，学生不仅自主获取数学知识与技能，而且还能达到对知识的深层次理解，同时学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。
2.学生情况分析：
一组数据，主要描述它的集中趋势和离散程度。学生已经学习了描述一组数据的集中趋势的特征数（平均数、众数、中位数），已会求一组数据的平均数、众数、中位数，对它们可以表示数据的集中趋势有所体会。对统计含义有了一定了解。而学生对数据的离散程度还不理解。而极差和方差是描述一组数据离散程度的特征数。极差描述一组数据变化范围的大小，它粗略地反映了这组数据的离散状况；方差是描述一组数据的波动大小，它全面地平均地表示一组数据的离散程度.在这个背景下，复习原有知识，学习新知识，使学生对分析数据的知识和方法形成整体认识。
二、教学目标分析：
1.知识与技能：
◆了解极差、方差的定义和计算公式；
◆理解极差、方差概念的产生和形成的过程；
◆会用极差、方差计算公式来比较两组数据的波动大小 。
2.过程与方法：
◆经历探索极差、方差概念的 产生和形成的过程；
◆体会数据波动中的极差、方差的求法以及区别，积累统计经验；
◆发展学生初步的统计意识和处理数据的能力，解决生活中的实际问题，培养学生解决问题的能力．
3.情感态度与价值观：
◆关注与极差、方差有关的社会问题，保持和增强对数学问题的好奇心和探索欲；
◆培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认 识数据处理的实际意义。
三、教学重点、难点：
教学重点：方差的概念和方差的计算方法
教学难点：方差的形成和离散程度的含 义
四、教学方法选择：
教学方法：教师引导下的问题情景探究
教学手段：多媒体投影，计算机辅助教学
五、教学过程设计：
教学过程教学过程教学过程教学过程 教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景，引入新课 ：2009年，国家为了扩大内需、保持经济平稳较快增长，也为了促进农民增收和促进行业健康发展。在全国范围内推广“家电下乡”政策。其中“汽车下乡”政策，深受老百姓的爱戴。下表是甲、乙两个汽车销售店在通州区10天销售同一品牌同一型号汽车的销售情况：（单位：辆）天数12345678910甲店74681078686乙店576810571075我们可以从哪些方面分析它们的销售成绩？最高成绩：都是10辆中位数：都是7平均成绩: 都是7辆得出结论：两个汽车销售店的最高成绩、平均成绩都相同。二、合作探究，得出新知： （一）、 问题1： 最高成绩、中位数、平均成绩都相同的情况下，我们还可以从哪些方面分析，来说明这两个店销售成绩的差异呢？首先，从两个店的销售成绩的变化范围的大小看：甲店销售成绩的变化范围是：最高成绩—最低成绩=10—4=6（辆）乙店销售成绩的变化范围是：最高成绩—最低成绩=10—5=5（辆） 结论：乙店销售成绩的变化范围小。如果只从销售成绩的变化范围看， 乙店的销售成绩好。极差：通常，一组数据中的最大值减去最小值所得的差，叫做这组数据的极差。极差= 数据中的最大值 — 数据中的最小值极差表示了一组数据变化范围的大小。（二）、 问题2：用两个极端数据的变化来表示一组数据的波动还比较粗略。为了更合理地确定哪家店的销售成绩好，我们还要更全面的分析他们的销售成绩。 1.分别画出两个汽车销售店销售成绩的折线图，再做出一条表示平均销售量水平直线。观察折线图，你能发现两个销售店销售成绩的差异吗？谁的成绩中偏离平均成绩较大的成绩较少？结论：在10天的汽车销售中，甲店的销售成绩中偏离平均成绩的较大的成绩较少，更多的成绩接近于平均成绩。 2. 我们分别计算两个店的销售成绩偏离平均成绩的平均距离，来比较它们销售成绩波动的大小。因此，要计算每个数据与平均数的差的绝对值的平均值。甲店 ：乙店：由于1.2<1.4,说明甲店的销售成绩中偏离平均数的平均距离较小，波动较小，成绩更稳定。3. 偏离平均数的平均距离比极差更全面的反应一组数据波动的大小，但是在计算时要取绝对值，不便于进行公式变形。统计中很少用。我们通常先取每个数据的与平均数的差的平方数，再求平均值。甲店: 乙店：由于2.4<3.2,也说明了甲店的成绩偏离平均数的平均距离较小，波动较小，成绩更稳定。由问题1和问题2可以得出：虽然乙店10天的销售成绩变化范围小，但是从成绩波动情况看，甲店的销售成绩波动较小，甲店的销售成绩较好。(三)、问题3：如果用来表示一组数据，用表示一组数据的平均数，用s2表示每个数据与平均数的差的平方数的平均值。你能说出s2的计算公式吗？s2出的计算公式： 我们把s2叫做这组数据的方差。用它描述一组数据波动的大小，也用它描述数据的离散程度。小结与反思：如何比较平均数相同的两组数据的差异：1.极差：表示了一组数据变化范围的大小；2.方差: 表示了一组数据波动的大小，用它描述数据的离散程度。三、学以致用 联系实际 ： 例1某地区某年某年12月中旬前、后五天的最高气温记录如下（单位：）:前5天55000后5天-12225 比较哪5天中最高气温的变化范围较小，哪5天中最高气温的波动较小。总结：求一组数据的方差的方法：先平均，再求差，然后平方，最后再平均。 例2在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.图1是其中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出 合理的整修建议.解：（1） ∴相同点：两段台阶路的高度的平均数相同． 不同点：两段台阶路的高度的中位数、方差和极差均不相同．（2）甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小．（3）整修建议：使每个台阶高度均为15cm（原平均数），使得方差为0．四、巩固练习 拓展提高：五、小结： 1.学生自己总结本节课的收获与体会； 2.本节课主要从解决实际问题的过程中，探究如何表示一组数据的离散程度。（1）直观比较（2）计算平均值比较（3）从特殊到一般引出方差概念七、作业：书上149页：1，150页 ：2， 学生独立思考后回答问题计算中位数，平均成绩并比较教师引导学生思考并回答问题总结归纳观察折线图，思考并回答问题教师和学生一起解决问题，使学生在一次次的解决问题中体会方差概念的发生发展形成过程总结出方差的概念比较极差、方差的区别和联系巩固练习总结思考并回答问题运用所学统计知识，解决实际问题学生总结归纳进行交流 创设情境，引出问题，激发学生的学习兴趣复习中位数，平均数的求法。引出新的概念培养学生的总结归纳能力培养学生的观察能力、分析能力通过实例让学生体会方差的产生过程，体验数学与生活的密切联系增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。 培养学生总结概括能力使学生进一步掌握极差和方差的计算方法培养学生总结概括能力培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义 培养学生的数学应用意识回顾本节课的学习内容
六、课后反思：
1.本节课在问题设置上采取层层设疑，步步推进的方法。教师和学生一起解决问题，确定知识点，使学生在一次次的解决问题中体会方差概念的发生发展形成过程。引导学生探索知识的形成过程比较成功，给学生搭建了比较广阔的思维平台。在推导方差公式时，将问题细化 ，使学生的思维活动得到了充分的展示。另外利用多媒体解决大量的计算问题，为推导公式，解决重点赢得了时间，感觉效果也不错。
2.在“引例”上采用的是与社会生产、学生生活密切相关的“家电下乡”问题，调动了学生学习数学的积极性，激发了学生的学习兴趣。体现数学知识在实际生活中的广泛应用。
3.本节课在推导方差公式时，班内一名叫小强的学生提出：“他觉得利用绝对值计算方差比较简单，为什么还要引入方差的计算公式？方差的计算公式怎么不便于公式变形？”当时， 它的问题一下子把我问住了。而且，班内其他学生也很赞同他的想法。课下，我查阅了大量关于方差的资料，我才了解到真正的原因。再一次上课，我给学生解释到：利用绝对值计算方差对于数据个数很少的情况下看似简便，但统计中经常要统计大量的数据，对于大量数据的统计利用绝对值计算方差并不简便，利用绝对值计算方差不利于公式变形，而且 电脑中很少用绝对值计算方差。另外，更主要的原因是方差还有它的两个简化公式:
公式（1），公式（2）：用表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，、、…表示各数据．若将每个数据同时减去一个与样本平均数接近的常数，并设： ，…，记则 利用简化公式计算方差更加简便。通过这一节课的教学，我更加深刻的体会到：在教学过程中，只要我们充分相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样，学生既能自主获取数学知识与技能，而且还能达到对知识的深层次理解。更主要的是还能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。
同时，在这个过程中，也迫使教师更加深入的挖掘教材。我想，这才体现了“教学相长”这四个字的真正含义。
17
甲路段
15
15
16
14
14
16
19
10
18
15
11
乙路段
图1
图1中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm).并且数据15,16, 16,14,14,15的方差,数据11,15,18, 17,10,19的方差
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