§2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
【课前预习】
知识点一
2.有限性 等可能性 (1)总数有限 有限 (2)相等
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√
知识点二
诊断分析
C
【课中探究】
探究点一
例1 ACD [解析] 由古典概型的等可能性、有限性进行分析.对于A,样本空间的样本点的个数无限,不属于古典概型;对于C,灯泡的使用寿命不能一一列举出来,样本空间中的样本点个数无限,不属于古典概型;对于D,对月饼质量的评价有主观性,不符合等可能性,不属于古典概型;对于B,每个人被选到的可能性相等且总共只有8个人,满足古典概型的特征.故选ACD.
变式 C [解析] A中,取到白球和取到黑球不是等可能的,故不是古典概型;B中,满足条件的实数的个数是无限的,故不是古典概型;D中,“中靶”与“不中靶”不是等可能的,故不是古典概型;C符合古典概型的两个特征,故是古典概型.故选C.
探究点二
例2 解:(1)这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
(6,6)}.
(2)这个试验包含36个样本点.
(3)A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),
(6,6)}.
变式 解:(1)试验的样本空间为Ω={(1,2,3),(1,2,5),(1,2,6),(1,2,7),(1,3,5),(1,3,6),(1,3,7),(1,5,6),(1,5,7),(1,6,7),(2,3,5),(2,3,6),
(2,3,7),(2,5,6),(2,5,7),(2,6,7),(3,5,6),(3,5,7),(3,6,7),(5,6,7)}.
(2)由题意知A={(1,2,3),(1,2,5),(1,2,7),(1,3,6),(1,5,6),(1,6,7),(2,3,5),(2,3,7),(2,5,7),(3,5,6),(3,6,7),(5,6,7)}.
探究点三
提问 解:样本空间为Ω={正正,正反,反正,反反}.
样本空间中的四个样本点出现的可能性相等,故该试验属于古典概型.∵n=4,m=1,∴所求概率P=.
例3 解:连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,样本空间中样本点的个数n=6×6=36.
(1)2次点数之和为偶数,则两个点数都是偶数或都是奇数,对应的样本点有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个,故2次点数之和为偶数的概率为=.
(2)第2次的点数比第1次大的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个,
故第2次的点数比第1次大的概率为=.
(3)2次点数正好是连续的2个整数的样本点有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,5),(5,4),(4,3),(3,2),(2,1),共10个,故2次点数正好是连续的2个整数的概率为=.
变式 (1)C (2) [解析] (1)样本空间为Ω={甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲},共6个样本点,甲站在中间包括乙甲丙,丙甲乙,共2个样本点,所以甲站在中间的概率P==.故选C.
(2)样本空间为Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},共6个样本点,其中至少有一名女生当选包含5个样本点,故所求概率P=.
拓展 解:这个游戏对小慧有利.
每次游戏时,样本空间中的样本点如下:
第一张卡片 第二张卡片
土 口 木
土 (土,土) (土,口) (土,木)
口 (口,土) (口,口) (口,木)
木 (木,土) (木,口) (木,木)
总共有9个样本点,其中能组成上下结构的汉字的样本点有4个:(土,土)“圭”,(口,口)“吕”,(木,口)“杏”或“呆”,(口,木)“呆”或“杏”.所以小敏获胜的概率为,小慧获胜的概率为.所以这个游戏规则对小慧有利.§2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
1.B [解析] 样本空间为Ω={123,132,213,231,312,321},其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点,∴所求概率P==.故选B.
2.A [解析] 样本空间包含的样本点为(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7),共4个,其中能构成一个三角形的样本点为(3,5,7),共1个,则所求概率为.
3.C [解析] 从五个人中随机选取三人,则试验的样本空间为Ω={(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊)},共10个样本点,而甲、乙都当选的样本点有3个,故所求的概率为.
4.B [解析] 记1个红球为A,2个白球分别为B1,B2,3个黑球分别为C1,C2,C3,事件M为“取出的2个球颜色为一白一黑”,则从袋中任取2个球的样本空间为Ω={(A,B1),(A,B2),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)},共15个样本点.事件M包含的样本点有(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),共6个,所以P(M)==.故选B.
5.A [解析] 从1,2,3,4这四个数字中,任取两个不同的数字,包含12个样本点,为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,其中大于30的样本点为31,32,34,41,42,43,共6个,所以所得两位数大于30的概率P==.
6.C [解析] 从八卦中任取一卦,样本点总数n=8,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的样本点个数m=3,则所求概率P=.故选C.
7.C [解析] 设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本,则购买后该戏曲学院图书馆所藏有的这四部戏曲名著共(40+x)本,从中任取1本包含(40+x)个样本点.《牡丹亭》戏曲书籍共(10+x)本,从中任取1本包含(10+x)个样本点.从该戏曲学院图书馆所藏有的这四部戏曲名著中任取一本,取到《牡丹亭》的概率P=,根据题意可得P=≥0.6,解得x≥35,即该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍35本.故选C.
8.AC [解析] 对于A,从装有大小、形状完全相同的红球、黑球、绿球各一个的袋子中任意取出一个球,取出的球为红球,这个试验满足有限性和等可能性,故A是古典概型;对于B,在公交车站候车不超过10分钟,这个试验中样本点有无限个,故B不是古典概型;对于C,同时抛掷两枚硬币,观察是否出现“两次反面朝上”,这个试验满足有限性和等可能性,故C是古典概型;对于D,从一桶水中取出100 mL,观察是否含有大肠杆菌,这个试验中出现“含有大肠杆菌”“不含有大肠杆菌”的可能性一般不相等,故D不是古典概型.故选AC.
9.AD [解析] 由题可知样本空间中样本点的总数为36.对于A,事件“a+b=7”包含的样本点为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,∴事件“a+b=7”发生的概率为=,故A正确;对于B,事件“a+b=6”包含的样本点为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个,∴事件“a+b=6”发生的概率为,故B错误;对于C,事件“a≥2b”包含的样本点为(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9个,∴事件“a≥2b”发生的概率为=,故C错误;对于D,事件“a+b是3的倍数”包含的样本点为(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12个,∴事件“a+b是3的倍数”发生的概率是=,故D正确.故选AD.
10. [解析] 从字母a,b,c,d中任取两个不同的字母,样本空间为Ω={ab,ac,ad,bc,bd,cd},共6个样本点,其中取到字母d包含3个样本点,所以取到字母d的概率为=.
11. [解析] 用(A,B,C)表示通过主席台的次序是先A后B再C,则试验的样本空间Ω={(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)},共6个样本点,其中B先于A,C通过包含的样本点为(B,C,A)和(B,A,C),共2个,故所求概率P==.
12. [解析] 由题意知,点(x,y),x∈A,y∈A,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(2,5),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,5)},共6×6=36(个)样本点,点(x,y)正好在直线y=2x上包含的样本点为(0,0),(1,2),(2,4),共3个,所以所求概率P==.
13.解:(1)记事件A表示“恰好摸出1个黑球和1个红球”,由题意知,该试验的样本空间为Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共10个,事件A所包含的样本点为(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共6个,由古典概型的概率公式可知恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为=.
(2)记事件B表示“至少摸出1个黑球”,则事件B所包含的样本点为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共7个,由古典概型的概率公式可知至少摸出1个黑球的概率为.
14.解:(1)设a,b分别表示“选择物理”“选择历史”,设c,d,e,f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”,则考生所有选科组合的样本空间为Ω={acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef}.
(2)由(1)知n(Ω)=12,设事件M表示“从所有选科组合中任选一个,该选科组合符合G建筑专业选科要求”,则M={acd,ace,acf,ade,adf},则n(M)=5,
所以P(M)==.
15.B [解析] 点P从点A出发,每次向右或向下跳一个单位长度,跳3次,则所有的样本点为(右,右,右),(右,右,下),(右,下,右),(右,下,下),(下,右,右),(下,右,下),(下,下,右),(下,下,下),共8个,事件“3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”包含的样本点为(下,下,右),共1个,故所求概率为,故选B.
16.解:(1)设选出的3名甲班同学为A,B,C,其中A为女同学,B,C为男同学,选出的3名乙班同学为D,E,F,其中D为男同学,E,F为女同学.从这6名同学中随机抽出2名进行活动发言,样本空间中的样本点为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个.
其中甲班女同学、乙班男同学至少有一人被选中包含的样本点为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(C,D),(D,E),(D,F),共9个,故甲班女同学、乙班男同学至少有一人被选中的概率P==.
(2)从甲班和乙班各任选1名同学现场作画,样本空间中的样本点为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9个,选出的2名同学性别相同包含的样本点为(A,E),(A,F),(B,D),(C,D),共4个,所以选出的2名同学性别相同的概率为.§2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
【学习目标】
理解古典概型,能计算古典概型中随机事件的概率.
◆ 知识点一 古典概型的概念
1.概率
对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小,这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的可能性的大小.
2.古典概型
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征—— 和 .
(1)有限性:试验E的样本空间Ω的样本点 ,即样本空间Ω为 样本空间;
(2)等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性 .
【诊断分析】 下列概率模型是古典概型的打“√”,不是的打“×”.
(1)从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小. ( )
(2)同时掷两枚质地均匀的骰子,掷出的点数之和为7的概率. ( )
(3)近三天中有一天降雨的概率. ( )
(4)10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率. ( )
◆ 知识点二 古典概型的概率公式
对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为P(A)= = .
注:(1)利用古典概型的概率公式求值时,关键是求出m,n,并且求n时应注意这n种结果必须是等可能的.
(2)在求古典概型的样本空间Ω时,可结合图形,采用列举法,列举出所有的样本点,列举时要注意做到不重不漏.
【诊断分析】 从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为 ( )
A. B.
C. D.1
◆ 探究点一 古典概型的判断
例1 (多选题)下列概率模型不属于古典概型的是 ( )
A.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲
C.观测一只使用中的灯泡的寿命
D.中秋节前夕,某市工商部门调查辖区内某品牌月饼的质量,给该品牌月饼评“优”或“差”
变式 下列概率模型属于古典概型的是 ( )
A.口袋中有2个较小的白球和3个较大的黑球,从中任取一球,观察取出球的颜色
B.在区间[-1,5]上任取一个实数x,使x2-3x+2>0
C.抛掷一枚质地均匀的硬币,观察其向上的面出现正面还是反面
D.某人射击中靶或不中靶
◆ 探究点二 样本点的计数问题
例2 掷质地相同的红、蓝两枚骰子,用(x,y)表示结果,其中x表示红色骰子向上的点数,y表示蓝色骰子向上的点数.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出这个试验包含的样本点的个数;
(3)用样本点表示事件A“两枚骰子出现的点数之和大于8”,事件B“两枚骰子出现的点数相同”.
变式 从1,2,3,5,6,7中任意取三个数.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)用样本点表示事件A“三个数的和为偶数”.
[素养小结]
确定样本空间的方法:
要确定样本空间必须明确试验的条件,根据题意,按一定的次序列出样本点.写样本点时,一定要注意样本点出现的机会是均等的,并且要按一定的规律去写,这样能做到既不重复也不遗漏.
◆ 探究点三 古典概型概率的计算
[提问] 先后抛掷两枚质地均匀的硬币,求出现两个正面的概率.
例3 抛掷一枚质地均匀的骰子2次.求:
(1)2次点数之和为偶数的概率;
(2)第2次的点数比第1次大的概率;
(3)2次点数正好是连续的2个整数的概率.
变式 (1)甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是 ( )
A. B. C. D.
(2)从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长,其中甲、乙为男生,丙、丁为女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是 .
[素养小结]
求解古典概型概率问题的一般步骤:(1)计算样本空间的样本点总数n;(2)计算事件A包含的样本点的个数m;(3)代入公式P(A)=即可求出事件A发生的概率.
拓展 小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成一个上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜.你认为这个游戏规则对谁有利 请用列表的方法进行分析,并对构成的汉字进行说明.§2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.某部三册的小说,任意竖立排放在书架的同一层上,则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为 ( )
A. B. C. D.
2.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中随机选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都当选的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取2个球,则2个球颜色为一白一黑的概率为 ( )
A. B. C. D.
5.[2023·浙江台州路桥中学高一月考] 从1,2,3,4这四个数字中,任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.《易经》是我国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图,图中的每一卦由三根线组成(——表示一根阳线,--表示一根阴线),从八卦中任取一卦,则这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 ( )
A. B. C. D.
7.[2023·山东枣庄二中高一月考] 某戏曲学院图书馆藏有四部戏曲名著各10本,由于该戏曲学院的部分学生对戏曲名著《牡丹亭》产生了浓厚的兴趣,该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍若干本(其他三部名著数量保持不变).若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四部戏曲名著中任取一本,使得取到《牡丹亭》的概率不小于0.6,则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍 ( )
A.25本 B.30本
C.35本 D.40本
8.(多选题)下列试验中属于古典概型的有 ( )
A.从装有大小、形状完全相同的红球、黑球、绿球各一个的袋子中任意取出一个球,取出的球为红球
B.在公交车站候车不超过10分钟
C.同时抛掷两枚硬币,观察是否出现“两次反面朝上”
D.从一桶水中取出100 mL,观察是否含有大肠杆菌
9.(多选题)先后抛掷两枚质地均匀的骰子,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,则下列说法正确的是 ( )
A.事件“a+b=7”发生的概率为
B.事件“a+b=6”发生的概率为
C.事件“a≥2b”发生的概率为
D.事件“a+b是3的倍数”发生的概率是
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2023·上海格致中学高一月考] 从字母a,b,c,d中任取两个不同的字母,则取到字母d的概率为 .
11.在国庆阅兵中,A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为 .
12.在平面直角坐标系中,已知点(x,y),集合A={0,1,2,3,4,5},且x∈A,y∈A,则点(x,y)正好在直线y=2x上的概率为 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号分别为a,b的2个黑球和编号分别为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.
(1)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;
(2)求至少摸出1个黑球的概率.
14.(10分)[2023·江西南昌安义中学高一月考] 某省高考将实行“3+1+2”模式,其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目,“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门,“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门.已知G建筑专业选科要求首选科目为物理,再选科目为化学或生物中至少1门.
(1)写出考生所有选科组合的样本空间;
(2)从所有选科组合中任选一个,求该选科组合符合G建筑专业选科要求的概率.
15.(5分)饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一,将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为一个单位长度,有一点P从点A出发,每次向右或向下跳一个单位长度,且向右跳和向下跳的可能性相等,那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为 ( )
A. B. C. D.
16.(15分)某校从高二年级甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛,其中从甲班选出了2名男同学、1名女同学,从乙班选出了1名男同学、2名女同学.
(1)若从这6名同学中随机抽出2名进行活动发言,写出样本空间中的样本点,并求甲班女同学、乙班男同学至少有一人被选中的概率;
(2)若从甲班和乙班各任选1名同学现场作画,写出样本空间中的样本点,并求选出的2名同学性别相同的概率.(共30张PPT)
§2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
理解古典概型，能计算古典概型中随机事件的概率．
知识点一 古典概型的概念
1.概率
对于一个随机事件，我们通常用一个数 来表示该事件发生
的可能性的大小，这个数就称为随机事件 的概率.概率度量了随机事件发生的
可能性的大小.
2.古典概型
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——
________和__________.
有限性
等可能性
（1）有限性：试验的样本空间 的样本点__________，即样本空间 为
______样本空间；
（2）等可能性：每次试验中，样本空间 的各个样本点出现的可能性______.
总数有限
有限
相等
【诊断分析】
下列概率模型是古典概型的打“√”，不是的打“×”.
（1）从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小.( )
√
（2）同时掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和为7的概率.( )
√
（3）近三天中有一天降雨的概率.( )
×
（4）10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.( )
√
知识点二 古典概型的概率公式
对古典概型来说，如果样本空间 包含的样本点总数为，随机事件 包含的样
本点个数为，那么事件发生的概率为_ __________________ ___.
注：（1）利用古典概型的概率公式求值时，关键是求出，，并且求 时应注
意这 种结果必须是等可能的.
（2）在求古典概型的样本空间 时，可结合图形，采用列举法，列举出所有的
样本点，列举时要注意做到不重不漏.
【诊断分析】
从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
C
A. B. C. D.1
探究点一 古典概型的判断
例1 （多选题）下列概率模型不属于古典概型的是( )
ACD
A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
C.观测一只使用中的灯泡的寿命
D.中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌月饼的质量，给该品牌月饼评
“优”或“差”
[解析] 由古典概型的等可能性、有限性进行分析.
对于A，样本空间的样本点的个数无限，不属于古典概型；
对于C，灯泡的使用寿命不能一一列举出来，样本空间中的样本点个数无限，
不属于古典概型；
对于D，对月饼质量的评价有主观性，不符合等可能性，不属于古典概型；
对于B，每个人被选到的可能性相等且总共只有8个人，满足古典概型的特征.
故选 .
变式 下列概率模型属于古典概型的是( )
C
A.口袋中有2个较小的白球和3个较大的黑球，从中任取一球，观察取出球的颜
色
B.在区间上任取一个实数，使
C.抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其向上的面出现正面还是反面
D.某人射击中靶或不中靶
[解析] A中，取到白球和取到黑球不是等可能的，故不是古典概型；
B中，满足条件的实数的个数是无限的，故不是古典概型；
D中，“中靶”与“不中靶”不是等可能的，故不是古典概型；
C符合古典概型的两个特征，故是古典概型.故选C.
探究点二 样本点的计数问题
例2 掷质地相同的红、蓝两枚骰子，用表示结果，其中 表示红色骰子向
上的点数， 表示蓝色骰子向上的点数．
（1）写出这个试验的样本空间；
解：这个试验的样本空间为，，，，， ，
，，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，，， ，
，，，，，，， ．
（2）写出这个试验包含的样本点的个数；
解：这个试验包含36个样本点.
（3）用样本点表示事件“两枚骰子出现的点数之和大于8”，事件 “两枚骰子出
现的点数相同”.
解：，，，，，，，， ，
，，，，， ．
变式 从1,2,3,5,6,7中任意取三个数.
（1）写出这个试验的样本空间；
解：试验的样本空间为,,,,,, ,
,,,,,,,,,, ,
, .
（2）用样本点表示事件 “三个数的和为偶数”.
解：由题意知,,,,,,, ,
,,, .
［素养小结］
确定样本空间的方法：
要确定样本空间必须明确试验的条件，根据题意，按一定的次序列出样本
点．写样本点时，一定要注意样本点出现的机会是均等的，并且要按一定的规
律去写，这样能做到既不重复也不遗漏．
探究点三 古典概型概率的计算
［提问］ 先后抛掷两枚质地均匀的硬币,求出现两个正面的概率.
解:样本空间为正正,正反,反正,反反 .
样本空间中的四个样本点出现的可能性相等,故该试验属于古典概型.
,, 所求概率 .
例3 抛掷一枚质地均匀的骰子2次．求：
（1）2次点数之和为偶数的概率；
解：连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，样本空间中样本点的个数 .
2次点数之和为偶数，则两个点数都是偶数或都是奇数，对应的样本点有
，，，，，，，，，， ，
，，，，，， ，共18个，故2次点数之和为偶
数的概率为 .
（2）第2次的点数比第1次大的概率；
解： 第2次的点数比第1次大的样本点有，，，， ，
，，，，，，，，， ，共15个，
故第2次的点数比第1次大的概率为 .
（3）2次点数正好是连续的2个整数的概率．
解： 2次点数正好是连续的2个整数的样本点有，，， ，
，，，，， ，共10个，故2次点数正好是连续的2
个整数的概率为 ．
变式（1） 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 样本空间为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲 ，
共6个样本点，甲站在中间包括乙甲丙，丙甲乙，共2个样本点，所以甲站在中
间的概率 .故选C.
（2）从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，其中甲、乙
为男生，丙、丁为女生，则选举结果中至少有一名女生当选的概率是__．
[解析] 样本空间为 （甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），
（乙，丁），（丙，丁） ，共6个样本点，其中至少有一名女生当选包含5个样
本点，故所求概率 .
［素养小结］
求解古典概型概率问题的一般步骤：（1）计算样本空间的样本点总数 ；（2）
计算事件包含的样本点的个数；（3）代入公式即可求出事件 发
生的概率.
拓展 小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则如下:将这三
个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀
后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成一个上下结构的汉字（如“土”“土”构成
“圭”）,则小敏获胜,否则小慧获胜.你认为这个游戏规则对谁有利 请用列表的方
法进行分析,并对构成的汉字进行说明.
解：这个游戏对小慧有利.
每次游戏时,样本空间中的样本点如下:
第一张卡 片 第二张卡片
土 口 木
土 （土,土） （土,口） （土,木）
口 （口,土） （口,口） （口,木）
木 （木,土） （木,口） （木,木）
总共有9个样本点,其中能组成上下结构的汉字的样本点有4个:（土,土）“圭”,
（口,口）“吕”,（木,口）“杏”或“呆”,（口,木）“呆”或“杏”.所以小敏获胜的概率
为,小慧获胜的概率为 .所以这个游戏规则对小慧有利.
怎样计算古典概型样本空间中的样本点总数？
剖析：计算古典概型样本空间中的样本点总数时，通常利用列举法.列举法就是
把所有的样本点一一列举出来，再逐个数出的方法.
例如：把从四个除编号外完全相同的球中任取两个看成一次试验，那么该试验
的样本空间中共有多少个样本点？为了表述方便，对这四个球编号为1,2,3,4.把
每次取出的两个球的号码写在一个括号内，则样本空间中的样本点为 ，
，，，， ，共有6个.本例是按含有1号球，含有2号球，
含有3号球的顺序来列举的，这样做可以避免出现重复或遗漏，因此在列举样本
点时要按一定的顺序标准来写.用数对来表示样本点是非常重要的方法，利用这
种表示方法时要注意数对中的两个数是否有顺序限制，本例中没有限制.有时还
可以在直角坐标系中用点来表示，也可以根据归纳的结论来计算.一个常见结论
是：把从 个量中任取出2个量看成一次试验，如果这2个量没有顺序，那么试验
的样本空间中共有 个样本点；如果这2个量有顺序，那么试验的样本空间
中共有 个样本点.以上结论不要求证明，在求解选择题或填空题时可以
直接应用.
例1 [2024·陕西汉中高一期末] 现有甲、乙、丙3名志愿者被随机分到， 两
个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
（1）求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率；
解：设表示去岗位服务，去岗位服务，表示和 组成一队，去同
一个岗位服务.则由题可知样本空间为 （甲乙，丙），（甲丙，乙），
（丙乙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙） ，共有6个样本
点，
其中甲、乙两人同时参加 岗位服务的样本点为（甲乙，丙），有1个，
故甲、乙两人同时参加岗位服务的概率为 .
（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.
解：甲、乙两人不在同一岗位服务包含的样本点为（甲丙，乙），
（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙），共4个，
故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为 .
例2 某高中高一年级有学生600人，高二年级有学生500人，高三年级有学生
人，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二年级学生的概率为 .
（1）求 的值；
解：依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二年级学生的概率为
，解得 .
（2）若按照高一和高三年级学生人数的比例情况采用分层随机抽样的方法，从
高一和高三年级学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人
是高三年级学生的概率.
解：由（1）知，高一、高三年级学生的人数比为 ，则抽取的6人中，有高一
年级学生4人，有高三年级学生2人，
记抽取的4名高一年级学生分别为,,,，抽取的2名高三年级学生分别为, ，
则从6人中任取2人的样本空间为,,,,, ,
, ，,,,,,, ，共有15个样本点，
其中满足条件的为,,,,,,,, ，共9
个样本点，
所以至少有1人是高三年级学生的概率为 .
