§4 事件的独立性
【课前预习】
知识点
1.概率
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为.若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.
变式 (1)A (2)B [解析] (1)把一枚均匀的硬币抛掷两次,对于每次而言都是相互独立的,其结果不受先后影响,故A中所给事件是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然事件A与事件B不相互独立;对于C,A,B应为互斥事件,不相互独立;D中事件A发生的概率会影响到事件B发生的概率.故选A.
(2)根据题意可知,事件A和事件B可以同时发生,不是互斥事件,故A错误;不放回地摸球,第一次摸球对第二次摸球有影响,所以事件A和事件B不是相互独立事件,故B正确;事件B的对立事件为“第二次摸到黑球”,故C错误;事件A与事件C为对立事件,不是相互独立事件,故D错误.故选B.
探究点二
例2 解:设事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三个独立的研究机构能研制出此种疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)甲、乙、丙都研制出此种疫苗,即事件A,B,C同时发生,
则所求概率为P(ABC)=P(A)×P(B)×P(C)=××=.
(2)甲、乙、丙都未研制出此种疫苗,即事件,,同时发生,则所求概率为P( )=
P()×P()×P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=××=××=.
(3)“此种疫苗能够被研制出”的对立事件为“甲、乙、丙都未研制出此种疫苗”,结合对立事件间的概率关系,可得所求事件的概率P=1-P( )=1-=.
变式 解:设事件A表示“甲击中目标”,事件B表示“乙击中目标”,则P(A)=,P(B)=,所以P()=,P()=.
(1)设事件C表示“目标未被击中”,
则P(C)=P( )=P()P()=×=.
(2)设事件D表示“目标被击中”,
方法一:P(D)=1-P(C)=1-=.
方法二:P(D)=P(AB+B+A)=×+×+×=.
拓展 解:(1)设“乙发球乙得分”为事件A,“甲发球乙得分”为事件B,“该局对抗赛中甲和乙共得4分且乙获胜”为事件C,由题知,P(A)=,P(B)=,∴P(C)=P(BBA)=P(B)P()P(B)P(A)=×××=,
∴该局对抗赛中甲和乙共得4分且乙获胜的概率为.
(2)设“该局对抗赛中甲和乙共得5分且甲获胜”为事件D,“该局对抗赛中甲和乙共得5分且乙获胜”为事件E,“该局对抗赛中甲和乙共得5分且比赛结束”为事件F,
易知D,E为互斥事件,且F=D∪E,
由(1)知D=BB ,E=AAB,∴P(D)=××××=,
P(E)=××××=,
∴P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=+=,
∴该局对抗赛中甲和乙共得5分且比赛结束的概率为.§4 事件的独立性
1.A [解析] 由题意得P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.6-0.48=0.92.故选A.
2.D [解析] 两项都合格的概率为×=,两项都不合格的概率为×=,故恰有一项合格的概率为1--=.故选D.
3.C [解析] 依题意,抛掷正四面体木块一次得到的数字有1,2,3,4四个样本点,则易知P(A)==,A不正确;事件B含有的样本点为(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),共8个,则AB={(2,1),(2,3),(3,2),(3,4)},即事件A,B可以同时发生,B不正确;抛掷正四面体木块两次的所有样本点有16个,则P(B)==,P(AB)==,所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A与事件B相互独立,C正确;P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,D不正确.故选C.
4.A [解析] 设事件A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P(A)=;事件B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P(B)=.易知事件A与事件B相互独立,故P(AB)=P(A)·P(B)=×=.故选A.
5.B [解析] 选手恰好回答了4个问题就闯关成功,则第1个问题可能正确,也可能不正确,第2个问题不正确,第3,4个问题正确,故所求概率P=0.6×0.4×0.6×0.6+0.4×0.4×0.6×0.6=0.144.故选B.
6.D [解析] 由题意可知,
整理得即解得m+n=.故选D.
7.A [解析] 设事件A表示“甲正常工作”,事件B表示“乙正常工作”,事件C表示“丙正常工作”,则P(A)=P(B)=P(C)=p(0
8.CD [解析] 在选项A中,P(MN)=0,P(M)P(N)=×=,所以事件M,N不是相互独立事件;在选项B中,事件M是否发生对事件N发生的概率有影响,不是相互独立事件;在选项C中,P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则P(MN)=P(M)P(N),因此事件M,N是相互独立事件;在选项D中,“第一次为正面”对第二次的结果没有影响,因此事件M,N是相互独立事件.故选CD.
9.ABD [解析] 对于A,因为当事件B发生时,事件A一定发生,所以A∪B=A,AB=B,则P(A∪B)=0.6,P(AB)=0.3,故A正确;对于B,A与B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.9,AB是不可能发生的,则P(AB)=0,故B正确;对于C,A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.18,故C错误;对于D,A与B相互独立,则与B,与也相互独立,则P( )=P()P()=0.4×0.7=0.28,同理P(B)=0.12,故D正确.故选ABD.
10. [解析] 第二次才能打开门是指第一次没有打开门且第二次打开门,则第二次才能打开门的概率为×=.
11.2个球不都是白球 [解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球是相互独立的,故2个球都是白球的概率为×=,所以2个球不都是白球的概率P=1-=.
12.0.384 [解析] 由题意可知,设备连续两次检测不合格即可报废处理,则每台设备报废的概率为(1-0.5)×(1-0.6)=0.2,所以每台设备合格的概率为1-0.2=0.8,所以检测3台设备,恰有2台设备合格的概率为0.8×0.8×0.2+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8=0.384.
13.解:(1)记事件A表示“甲射击一次命中目标”,事件B表示“乙射击一次命中目标”,
则由题意知P(A)=0.4,P(B)=0.8,
因为甲、乙两人的射击结果互不影响,所以甲、乙同时命中目标的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=0.4×0.8=0.32.
(2)记事件D表示“甲、乙至少有一人命中目标”,则事件D的对立事件为“甲、乙都没有命中目标”,
所以P(D)=1-P( )=1-P()P()=1-(1-0.4)×(1-0.8)=0.88.
14.解:记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率为P3=P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=××=.
(2)三人都不合格的概率为P0=P()=P()·P()·P()=××=.
(3)恰有两人合格的概率为P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=,恰有一人合格的概率为P1=1-P0-P2-P3=1---==,结合(1)(2)可知P1>P2>P0=P3,所以出现恰有一人合格的概率最大.
15.B [解析] 由艾宾浩斯记忆遗忘曲线得,一天后,估计该学生忘记了74个单词,还记得26个单词,则该学生恰有1个单词不会的概率P=×+×≈0.39.故选B.
16.解:(1)记“甲队总得分为0分”为事件A,“甲队总得分为2分”为事件B.甲队总得分为0分,即甲队三人都回答错误,其概率为P(A)==;
甲队总得分为2分,即甲队三人中有一人答错,其余两人答对,其概率为P(B)=3××=.
(2)记“乙队得1分”为事件C,“甲队得2分乙队得1分”为事件D.
事件C发生即乙队三人中有两人答错,其余一人答对,则P(C)=××+××+××=,
甲队得2分乙队得1分即事件B,C同时发生,
则P(D)=P(B)P(C)=×=.§4 事件的独立性
【学习目标】
1.结合有限的样本空间,了解事件的独立性的含义.
2.结合古典概型,利用事件的独立性计算概率.
◆ 知识点 相互独立事件
1.概念:
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的 没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.
2.计算公式:
P(AB)=P(A)·P(B),这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若事件A与B相互独立,且P(A)=,P(B)=,则P(AB)=. ( )
(2)若事件A与B相互独立,则P(∩)=P()·P(). ( )
(3)将一枚均匀的硬币连续抛掷2次,2次都出现正面向上的概率是. ( )
(4)若事件A与B相互独立,则事件B与也相互独立. ( )
◆ 探究点一 相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件.
(1)甲组有3名男生和2名女生,乙组有2名男生和3名女生,现从甲、乙两组中各选出1名学生参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”.
变式 (1)下列事件中,A,B是相互独立事件的是 ( )
A.把一枚均匀的硬币抛掷两次,A表示“第一次为正面向上”,B表示“第二次为反面向上”
B.袋中有2个白球和2个黑球,不放回地摸出两个球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.抛掷一枚质地均匀的骰子,A表示“出现的点数为奇数”,B表示“出现的点数为偶数”
D.A表示“人能活到20岁”,B表示“人能活到50岁”
(2)[2023·浙江余姚中学期中] 袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,每次摸1个球,设事件A表示“第一次摸到白球”,事件B表示“第二次摸到白球”,事件C表示“第一次摸到黑球”,则下列说法中正确的是 ( )
A.A与B是互斥事件
B.A与B不是相互独立事件
C.B与C是对立事件
D.A与C是相互独立事件
[素养小结]
判断事件是否相互独立的方法.
(1)公式法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B).
(2)直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响.
◆ 探究点二 相互独立事件发生的概率
例2 已知有甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时间内研制某种疫苗,且能研制出此种疫苗的概率分别是,,.
(1)求甲、乙、丙都研制出此种疫苗的概率;
(2)求甲、乙、丙都未研制出此种疫苗的概率;
(3)求此种疫苗能够被研制出的概率.
变式 甲、乙两人对某一目标进行射击,甲击中目标的概率为,乙击中目标的概率为,两人是否击中互不影响.
(1)求目标未被击中的概率;
(2)求目标被击中的概率.
[素养小结]
求相互独立事件同时发生的概率的一般步骤:
(1)确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个相互独立事件的概率,再求积.
拓展 甲、乙是某乒乓球队的两位队员,他们进行一局对抗赛,规定如下:依次轮流发球,赢一球得1分,输一球不得分也不扣分,连续得2分者获胜,比赛结束.通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲得分的概率为,乙发球乙得分的概率为,不同球的结果互不影响,已知某局对抗赛中甲先发球.
(1)求该局对抗赛中甲和乙共得4分且乙获胜的概率;
(2)求该局对抗赛中甲和乙共得5分且比赛结束的概率.§4 事件的独立性
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2023·福建福州高一期末] 已知A与B相互独立,P(A)=0.8,P(B)=0.6,则P(A∪B)= ( )
A.0.92 B.0.94
C.0.93 D.0.91
2.从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,假设各项标准互不影响,从中任选一名学生,则该学生恰有一项合格的概率为 ( )
A. B.
C. D.
3.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体木块两次,并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字,记事件A为“第一次得到的数字为2或3”,事件B为“两次得到的数字之和为奇数”,则下列结论正确的是 ( )
A.P(A)=
B.事件A与事件B是互斥事件
C.事件A与事件B相互独立
D.P(A∪B)=
4.[2023·江西宜春铜鼓中学高一月考] 如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ( )
A. B. C. D.
5.某闯关游戏规则如下:在主办方预设的6个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,闯关成功.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于 ( )
A.0.064 B.0.144
C.0.216 D.0.432
6.[2023·福建福州三中高一期末] 某高中的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员,已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣,决定三个考核都参加.假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为m,,n,且他通过每个社团考核与否是相互独立的.若三个社团的考核他都能通过的概率为,至少通过一个社团考核的概率为,则m+n= ( )
A. B. C. D.
7.现有如图所示的电子元件设备,当甲能正常工作,且乙和丙至少有一个能正常工作时,设备正常工作,其中甲、乙、丙能正常工作的概率都为p(0A.2p2-p3 B.p3
C.1-p2 D.p2-p3
8.(多选题)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有 ( )
A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现的点数为奇数”,事件N表示“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个白球,5个黄球,这些球除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,每次摸1个球,事件M表示“第1次摸到白球”,事件N表示“第2次摸到白球”
C.先后抛掷2枚相同的硬币,事件M表示“第1枚为正面”,事件N表示“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次,事件M表示“第一次为正面”,事件N表示“第二次为反面”
9.(多选题)已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.6,P(B)=0.3,则下列结论正确的是 ( )
A.若当事件B发生时,事件A一定发生,则P(A∪B)=0.6,P(AB)=0.3
B.若A与B是互斥事件,则P(A∪B)=0.9,P(AB)=0
C.若A与B相互独立,则P(A∪B)=0.9,P(AB)=0
D.若A与B相互独立,则P( )=0.28,P(B)=0.12
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.某人有3把钥匙,其中2把能打开门,如果随机地取一把钥匙试着开门,试过的钥匙又混进去,则第二次才能打开门的概率为 .
11.从甲袋内摸出1个白球的概率为,从乙袋内摸出1个白球的概率为,从两个袋内各摸1个球,那么概率为的事件是 .
12.[2023·黑龙江龙江一中高一期末] 现对一批设备的性能进行抽检,第一次检测每台设备合格的概率是0.5,不合格的设备重新调试后进行第二次检测,第二次检测合格的概率是0.6,如果第二次检测仍不合格,则进行报废处理.设每台设备是否合格相互独立,按上述方式检测3台设备,则恰有2台设备合格的概率为 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)[2024·上海虹口区高一期中] 已知甲射击一次命中目标的概率为0.4,乙射击一次命中目标的概率为0.8,甲、乙两人的射击结果互不影响,现甲、乙两人各射击一次.
(1)求甲、乙同时命中目标的概率;
(2)求甲、乙至少有一人命中目标的概率.
14.(10分)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,,,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测,求:
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)出现几人合格的概率最大.
15.(5分)德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快,以后逐渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”,他用无意义音节(由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义,即不是词的音节)作为记忆材料.用节省法计算保持和遗忘的数量,并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线,即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单词,一天后,该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词,以频率代替概率,不考虑其他因素,且该学生对每个单词的记忆互不影响,则该学生恰有1个单词不会的概率大约为 ( )
A.0.43 B.0.39
C.0.26 D.0.15
16.(15分)眉山市位于四川省,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是苏轼、苏洵、苏辙的故乡,也是人们旅游的好地方.在某假期中,为了丰富游客的文化生活,每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛,每队三人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得1分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中三人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为0分,2分的概率;
(2)求甲队得2分乙队得1分的概率.(共26张PPT)
§4 事件的独立性
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.结合有限的样本空间，了解事件的独立性的含义．
2.结合古典概型，利用事件的独立性计算概率．
知识点 相互独立事件
1.概念:
事件（或）是否发生对事件（或 ）发生的______没有影响，这样的两个事
件叫作相互独立事件.
概率
2.计算公式:
,这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两
个事件发生的概率的积.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若事件与相互独立,且,,则 .( )
√
（2）若事件与相互独立，则 ( )
√
（3）将一枚均匀的硬币连续抛掷2次，2次都出现正面向上的概率是 .( )
×
（4）若事件与相互独立，则事件与 也相互独立.( )
×
探究点一 相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件.
（1）甲组有3名男生和2名女生，乙组有2名男生和3名女生，现从甲、乙两组中各
选出1名学生参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
解:“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事
件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.
（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出
的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”.
解:“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 .
若这一事件发生了，则 “从剩下的7个球中任意取出1个，
取出的仍是白球”的概率为 ；
若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 .
可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，
所以二者不是相互独立事件.
变式（1） 下列事件中,, 是相互独立事件的是( )
A
A.把一枚均匀的硬币抛掷两次,表示“第一次为正面向上”, 表示“第二次为反面
向上”
B.袋中有2个白球和2个黑球,不放回地摸出两个球,表示“第一次摸到白球”, 表
示“第二次摸到白球”
C.抛掷一枚质地均匀的骰子,表示“出现的点数为奇数”, 表示“出现的点数为偶
数”
D.表示“人能活到20岁”, 表示“人能活到50岁”
[解析] 把一枚均匀的硬币抛掷两次,对于每次而言都是相互独立的,其结果不受先
后影响,故A中所给事件是相互独立事件;
B中是不放回地摸球,显然事件A与事件B不相互独立;
对于C,A,B应为互斥事件,不相互独立;
D中事件A发生的概率会影响到事件B发生的概率.故选A.
（2）[2023·浙江余姚中学期中]袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑
球，从中不放回地摸球，每次摸1个球，设事件 表示“第一次摸到白球”，事件
表示“第二次摸到白球”，事件 表示“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的
是( )
B
A.与是互斥事件 B.与 不是相互独立事件
C.与是对立事件 D.与 是相互独立事件
[解析] 根据题意可知，事件A和事件B可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；
不放回地摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件A和事件B不是相互
独立事件，故B正确；
事件B的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错误；
事件A与事件C为对立事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
［素养小结］
判断事件是否相互独立的方法.
（1）公式法：事件，相互独立 ．
（2）直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响．
探究点二 相互独立事件发生的概率
例2 已知有甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时间内研制某种疫苗，且
能研制出此种疫苗的概率分别是，， .
（1）求甲、乙、丙都研制出此种疫苗的概率；
解:设事件，， 分别表示甲、乙、丙三个独立的研究机构能研制出此种疫苗，
依题意可知，事件，，相互独立，且，， .
甲、乙、丙都研制出此种疫苗，即事件，， 同时发生，
则所求概率为 .
（2）求甲、乙、丙都未研制出此种疫苗的概率；
解: 甲、乙、丙都未研制出此种疫苗，即事件，， 同时发生，则所求概
率为 .
（3）求此种疫苗能够被研制出的概率.
解: “此种疫苗能够被研制出”的对立事件为“甲、乙、丙都未研制出此种疫
苗”，结合对立事件间的概率关系,可得所求事件的概率
.
变式 甲、乙两人对某一目标进行射击，甲击中目标的概率为 ，乙击中目标的
概率为 ，两人是否击中互不影响.
（1）求目标未被击中的概率；
解：设事件表示“甲击中目标”，事件表示“乙击中目标”，则 ，
，所以， .
设事件 表示“目标未被击中”，
则 .
（2）求目标被击中的概率．
解： 设事件 表示“目标被击中”，
方法一： .
方法二： .
［素养小结］
求相互独立事件同时发生的概率的一般步骤：
（1）确定各事件之间是相互独立的；
（2）确定这些事件可以同时发生；
（3）求出每个相互独立事件的概率，再求积.
拓展 甲、乙是某乒乓球队的两位队员，他们进行一局对抗赛，规定如下：依
次轮流发球，赢一球得1分，输一球不得分也不扣分，连续得2分者获胜，比赛
结束.通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲得分的概率为 ，乙发球乙
得分的概率为 ，不同球的结果互不影响，已知某局对抗赛中甲先发球.
（1）求该局对抗赛中甲和乙共得4分且乙获胜的概率；
解：设“乙发球乙得分”为事件，“甲发球乙得分”为事件 ，“该局对抗赛中甲和
乙共得4分且乙获胜”为事件，由题知，, ,
，
该局对抗赛中甲和乙共得4分且乙获胜的概率为 .
（2）求该局对抗赛中甲和乙共得5分且比赛结束的概率.
解：设“该局对抗赛中甲和乙共得5分且甲获胜”为事件 ，“该局对抗赛中甲和乙
共得5分且乙获胜”为事件 ，“该局对抗赛中甲和乙共得5分且比赛结束”为事件，
易知,为互斥事件，且 ，
由（1）知 ，
，
，
，
该局对抗赛中甲和乙共得5分且比赛结束的概率为 .
相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
条件 事件（或）是否发生对事件 （或 ）发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件， 同时发生，记 作 互斥事件， 中有一个发生，
记作（或 ）
计算公式
1.相互独立事件的性质:
若与是相互独立事件，则与，与，与 也是相互独立事件.
例1 一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球，3个黄球，从中有放回地摸球，
每次摸球1个，用表示“第一次摸到白球”， 表示“第二次摸到白球”，则事
件与 ( )
A
A.是相互独立事件 B.不是相互独立事件
C.是互斥事件 D.是对立事件
[解析] 由题意可得，表示“第二次摸到的不是白球”，即 表示“第二次摸到黄
球”，由于是有放回地摸球，故每次摸到黄球或白球互不影响，故事件与 是
相互独立事件.
2. 个事件相互独立
一般地，如果事件,, ,相互独立，那么这 个事件同时发生的概率，等
于每个事件发生的概率的积，即 .
例2 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续答对2
个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手答对每个问题的概率都是 ，
且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的
概率等于______．
0.128
[解析] 此选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错
误，第3个问题和第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个
问题的回答结果相互独立，故所求的概率为 .
3.注意对关键词的理解
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”
“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地，已知两个事件，，它们的概率分别为， ，那么：
（1），中至少有一个发生为事件 .
（2），都发生为事件 .
（3），都不发生为事件 .
（4），恰有一个发生为事件 .
（5），中至多有一个发生为事件 .
例3 已知甲、乙、丙三人各自独立破译一个密码，且破译密码的概率分别为
，， ，则此密码能被破译的概率是__.
[解析] 用，，分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，则 ，
，，由题意知 .
故此密码能被破译的概率为 .
4.概率问题中的数学思想
（1）正难则反：灵活应用对立事件的概率关系 简化问题，
是求解概率问题最常用的方法之一.
（2）化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与
已知事件之间的关系,通常分析“所求事件”是分几类（考虑加法公式，转化为互
斥事件）还是分几步（考虑乘法公式，转化为相互独立事件）.
（3）方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程（组），
通过解方程（组）使问题得解.
例4 [2024·山东潍坊高一期末] 甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，
已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一
等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是 .
（1）分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率；
解：记事件为“甲机床加工的零件是一等品”，事件 为“乙机床加工的零件是一
等品”，且与 相互独立，
由题意得， ， ，
解得, .
（2）从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个进行检验，求至少有
一个一等品的概率.
解：记事件 为“从甲加工的零件中取两个都不是一等品”，
事件为“抽取的三个零件至少有一个一等品”，则 ，
所以 .