本章总结提升
【知识辨析】
1.√
2.× [解析] 两个事件的和事件是指两个事件中至少有一个发生的事件,并不一定要求两个事件都发生.
3.× [解析] “发芽”与“不发芽”不是等可能发生的.
4.√
5.× [解析] 当事件A,B的关系如图所示时,A+B是必然事件,但A∩B=A,即A,B不是对立事件.
6.× [解析] 购买的彩票是随机的,则1000张彩票中可能没有彩票中奖,也可能有多张彩票中奖.
7.× [解析] 样本空间含有4个样本点,分别是(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),所以两次抽得的卡片上的数字之和为0的概率是=.
8.× [解析] 目标被击中的概率P=1-×=.
【素养提升】
题型一
例1 解:(1)设事件A表示“赔付金额为3000元”,事件B表示“赔付金额为4000元”,显然A与B互斥,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.
因为投保金额为2800元,所以赔付金额大于投保金额的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设事件C表示“已投保车辆中新司机获赔金额为4000元”,由已知得抽取的车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100(辆),而抽取的赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以抽取的车辆中新司机获赔金额为4000元的频率为=0.24.由频率估计概率得P(C)=0.24.
变式 (1)ABC [解析] 由题意知,事件A表示“全不是次品”,即三件产品都是正品,事件B表示“全是次品”,事件C表示“有次品,但不全是次品”,事件C包括一件次品两件正品,两件次品一件正品两种情况,所以事件A与C互斥,B与C互斥,A与B互斥,即任何两个事件都互斥,故选项A,B,C都正确.A与B互斥,当事件C发生时,事件A,B均不发生,所以事件A与B不对立,故选项D错误.故选ABC.
(2)解:设事件A,B,C,D,E分别表示“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”,显然事件A,B,C,D,E彼此互斥.
①P(A+B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,即射中10环或9环的概率为0.52.
②方法一:P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87,即至少射中7环的概率为0.87.
方法二:“射中7环以下”与“至少射中7环”互为对立事件,所以所求事件的概率为1-P(E)=1-0.13=0.87.
③P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29,即射中8环以下的概率为0.29.
题型二
例2 解:(1)记三个红球的编号分别为1,2,3,两个白球的编号分别为4,5,则在有放回地情况下,依次随机摸出2个球,样本空间中的样本点如下表所示.
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
共25个样本点.由表可知,第一次摸到白球包含10个样本点,记事件A表示“第一次摸到白球”,则P(A)==.
(2)在无放回地情况下,依次随机摸出2个球,样本空间中的样本点如下表所示.
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ×
共20个样本点.由表可知,第二次摸到白球包含8个样本点,
记事件B表示“第二次摸到白球”,则P(B)==.
(3)同时摸出两个球的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点,其中至少摸到一个白球的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共7个,
记事件C表示“至少摸到一个白球”,则P(C)=.
变式1 (1)D (2)C [解析] (1)记“这2名学生来自不同年级”为事件A.设文艺部的4名学生分别为A1,A2,B1,B2,其中A1,A2来自高一年级,B1,B2来自高二年级,从这4名学生中随机选2名包含的样本点为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),共6个,其中选出的2名学生来自不同年级包含的样本点为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),共4个,故P(A)==.故选D.
(2)用3种不同的颜色给两个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,样本空间中的样本点总数n=9,两个矩形颜色不同包含的样本点个数m=6,所以两个矩形颜色不同的概率P===.
变式2 解:(1)树状图法:画出树状图,如图所示,从上面的树状图可知,由1,2,3,4,5,6可组成20个“三位递增数”.
列举法:由题意知,由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456,共20个,故由1,2,3,4,5,6可组成20个“三位递增数”.
(2)不公平.理由如下:由(1)知,由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”有20个,记事件A表示“甲参加数学竞赛”,则事件A包含的样本点有124,126,134,136,146,156,234,236,246,256,346,356,456,共13个,所以P(A)=.记事件B表示“乙参加数学竞赛”,则事件B包含的样本点有123,125,135,145,235,245,345,共7个,所以P(B)=.因为P(A)>P(B),所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平.
题型三
例3 解:(1)甲猜对一首歌曲歌名的概率为×+×=,甲猜对两首歌曲歌名的概率为×=,
乙猜对一首歌曲歌名的概率为×+×=,
乙猜对两首歌曲歌名的概率为×=,故“梦想队”恰好猜对三首歌曲歌名的概率为×+×=.
(2)甲获得1分的概率为×=,甲获得2分的概率为×=,甲获得3分的概率为×=,乙获得1分的概率为×=,乙获得2分的概率为×=,乙获得3分的概率为×=,故“梦想队”恰好获得4分的概率为×+×+×=.
变式 C [解析] 依题意知,解得p=,q=.设事件Ai表示“甲同学答对了i题”,Bi表示“乙同学答对了i题”,i=0,1,2,则P(A1)=×+×=,P(A2)=×=,P(B1)=×+×=,P(B2)=×=,设甲、乙两人共答对至少3道题为事件C,则C=A1B2+A2B1+A2B2,因此P(C)=P(A1B2)+P(A2B1)+P(A2B2)=×+×+×=,所以甲、乙两人共答对至少3道题的概率是.故选C.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.在大量重复试验中,随机事件的概率是频率的稳定值. ( )
2.两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件. ( )
3.“在适宜的条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其结果“发芽”与“不发芽”是等可能发生的. ( )
4.在古典概型中,如果事件A包含的样本点构成集合A,试验的所有样本点构成集合I,则事件A发生的概率为(card(A)表示集合A中的元素个数). ( )
5.若事件A,B发生的概率都大于零,且A+B是必然事件,则它们一定是对立事件. ( )
6.某彩票的中奖率为,那么买上1000张彩票一定中奖. ( )
7.从分别标有数字-1,1的两张卡片中,有放回地随机抽取两次,每次一张,则两次抽得的卡片上的数字之和为0的概率为. ( )
8.甲、乙两人各射击1次,击中目标的概率分别是和,假设两人射击目标是否击中相互之间没有影响,则目标被击中的概率为. ( )
◆ 题型一 互斥事件与对立事件的概率及应用
[类型总述] (1)随机事件的关系与运算;(2)互斥事件;(3)对立事件.
例1 某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆的赔付金额(单位:元)进行抽样,根据样本统计得到每辆车的赔付金额如下:
赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000
车辆数 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在抽取的车辆中,车主是新司机的占10%,在抽取的赔付金额为4000元的车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
变式 (1)(多选题)[2023·辽宁营口高一月考] 从一批既有正品又有次品的产品中取出三件产品,记事件A表示“全不是次品”,事件B表示“全是次品”,事件C表示“有次品,但不全是次品”,则下列结论中正确的是 ( )
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.任何两个事件都互斥
D.A与B对立
(2)某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这名射手在一次射击中:
①射中10环或9环的概率;
②至少射中7环的概率;
③射中8环以下的概率.
◆ 题型二 古典概型的概率求解
[类型总述] (1)每个样本点出现的概率;(2)古典概型的概率公式.
例2 [2023·北京通州高一期中] 袋子中有5个大小、质地完全相同的球,其中红球3个,白球2个.
(1)从中有放回地依次随机摸出2个球,求第一次摸到白球的概率;
(2)从中无放回地依次随机摸出2个球,求第二次摸到白球的概率;
(3)若同时随机摸出2个球,求至少摸到一个白球的概率.
变式1 (1)[2023·全国甲卷] 某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 ( )
A. B. C. D.
(2)用3种不同的颜色给两个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则两个矩形颜色不同的概率为 ( )
A. B. C. D.
变式2 已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等).现要从甲、乙两名同学中选出一人参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.
(1)由1,2,3,4,5,6可组成多少个“三位递增数” 分别用树状图法和列举法解答.
(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗 请说明理由.
◆ 题型三 独立事件的概率计算
[类型总述] (1)相互独立事件发生的概率;(2)与互斥事件、对立事件结合的综合问题.
例3 甲、乙两人组成“梦想队”参加某歌唱比赛,比赛共两轮.第一轮甲、乙两人各自先从“经典红歌”曲库中随机抽取一首进行猜歌名,每猜对一首歌曲歌名即给此人加1分,没猜对不加分,也不扣分.第二轮甲、乙两人各自再从“流行歌曲”曲库中随机抽取一首进行猜歌名,每猜对一首歌曲歌名即给此人加2分,没猜对不加分,也不扣分.已知甲猜对“经典红歌”曲库中歌曲歌名的概率为,猜对“流行歌曲”曲库中歌曲歌名的概率为.乙猜对“经典红歌”曲库中歌曲歌名的概率为,猜对“流行歌曲”曲库中歌曲歌名的概率为,甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求“梦想队”恰好猜对三首歌曲歌名的概率;
(2)求“梦想队”恰好获得4分的概率.
变式 [2023·安徽合肥一中高一期末] 为了普及党史知识,某校举行了党史知识考试,试卷中只有两道题目.已知甲同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(p>q),且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知甲、乙两人同时答对同一题的概率为,恰有一人答对该题的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是( )
A. B.
C. D.(共26张PPT)
本章总结提升
◆ 知识网络
◆ 知识辨析
◆ 素养提升
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.在大量重复试验中，随机事件的概率是频率的稳定值.( )
√
2.两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件.( )
×
[解析] 两个事件的和事件是指两个事件中至少有一个发生的事件，并不一定要
求两个事件都发生.
3.“在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其结果“发
芽”与“不发芽”是等可能发生的.( )
×
[解析] “发芽”与“不发芽”不是等可能发生的.
4.在古典概型中，如果事件包含的样本点构成集合 ，试验的所有样本点构成
集合，则事件发生的概率为表示集合 中的元素个数）.( )
√
5.若事件,发生的概率都大于零,且 是必然事件,则它们一定是对立事件. ( )
×
[解析] 当事件,的关系如图所示时, 是必然事件,但
,即, 不是对立事件.
6.某彩票的中奖率为 ，那么买上1000张彩票一定中奖.( )
×
[解析] 购买的彩票是随机的，则1000张彩票中可能没有彩票中奖，也可能有多
张彩票中奖.
7.从分别标有数字 ,1的两张卡片中，有放回地随机抽取两次，每次一张，则
两次抽得的卡片上的数字之和为0的概率为 .( )
×
[解析] 样本空间含有4个样本点，分别是，，， ，
所以两次抽得的卡片上的数字之和为0的概率是 .
8.甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和 ，假设两人射击目标是否
击中相互之间没有影响，则目标被击中的概率为 .( )
×
[解析] 目标被击中的概率 .
题型一 互斥事件与对立事件的概率及应用
［类型总述］（1）随机事件的关系与运算；（2）互斥事件；（3）对立事件.
例1 某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆的赔付金额（单位：元）
进行抽样，根据样本统计得到每辆车的赔付金额如下：
赔付金额（元） 0 1000 2000 3000 4000
车辆数 500 130 100 150 120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
解：设事件表示“赔付金额为3000元”，事件 表示“赔付金额为4000元”，
显然与互斥，以频率估计概率得， .
因为投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为
.
（2）在抽取的车辆中，车主是新司机的占 ，在抽取的赔付金额为4000元的
车辆中，车主是新司机的占 ，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为
4000元的概率.
解：设事件 表示“已投保车辆中新司机获赔金额为4000元”，
由已知得抽取的车辆中车主为新司机的有 （辆），
而抽取的赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有 （辆），
所以抽取的车辆中新司机获赔金额为4000元的频率为.
由频率估计概率得
变式（1） （多选题）[2023·辽宁营口高一月考] 从一批既有正品又有次品的
产品中取出三件产品，记事件表示“全不是次品”，事件 表示“全是次品”，事
件 表示“有次品，但不全是次品”，则下列结论中正确的是( )
ABC
A.与互斥 B.与 互斥
C.任何两个事件都互斥 D.与 对立
[解析] 由题意知，事件A表示“全不是次品”，即三件产品都是正品，事件B表示
“全是次品”，事件C表示“有次品，但不全是次品”，事件C包括一件次品两件正
品，两件次品一件正品两种情况，所以事件A与C互斥，B与C互斥，A与B互斥，
即任何两个事件都互斥，故选项A，B，C都正确.
A与B互斥，当事件C发生时，事件A,B均不发生，所以事件A与B不对立,
故选项D错误.故选 .
（2）某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为
，，，， .计算这名射手在一次射击中：
①射中10环或9环的概率；
解：设事件,,,， 分别表示“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中
7环以下”，显然事件，，，， 彼此互斥.
，即射中10环或9环的概
率为0.52.
②至少射中7环的概率；
解： 方法一：
，即至少射中7环的概率为0.87.
方法二：“射中7环以下”与“至少射中7环”互为对立事件，所以所求事件的概率为 .
③射中8环以下的概率.
解： ，即射中8环以下的概率
为0.29.
题型二 古典概型的概率求解
［类型总述］（1）每个样本点出现的概率；（2）古典概型的概率公式.
例2 [2023·北京通州高一期中] 袋子中有5个大小、质地完全相同的球，其中红
球3个，白球2个．
（1）从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；
解：记三个红球的编号分别为1，2，3，两个白球的编号分别为4，5，则在有放
回地情况下，依次随机摸出2个球，样本空间中的样本点如下表所示．
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
共25个样本点.由表可知，第一次摸到白球包含10个样本点，记事件 表示“第一
次摸到白球”，则 ．
（2）从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；
解：在无放回地情况下，依次随机摸出2个球，样本空间中的样本点如下表所示．
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 ×
2 ×
3 ×
4 ×
5 ×
共20个样本点.由表可知，第二次摸到白球包含8个样本点，
记事件表示“第二次摸到白球”，则 ．
（3）若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．
解：同时摸出两个球的样本空间为,,,,,, ,
,,，共10个样本点，
其中至少摸到一个白球的样本点有 , ,,,,, ，共7个，
记事件表示“至少摸到一个白球”，则 .
变式1（1） [2023·全国甲卷]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2
名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概
率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 记“这2名学生来自不同年级”为事件A.设文艺部的4名学生分别为 ，
，，，其中，来自高一年级，， 来自高二年级，从这4名学生
中随机选2名包含的样本点为，，，， ，
，共6个，
其中选出的2名学生来自不同年级包含的样本点为 ，，,
，共4个，故 .故选D.
（2）用3种不同的颜色给两个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则两个
矩形颜色不同的概率为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 用3种不同的颜色给两个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，样本空
间中的样本点总数，两个矩形颜色不同包含的样本点个数 ，所以两
个矩形颜色不同的概率 .
变式2 已知是一个三位正整数，若 的个位数字大于十位数字，十位数字大
于百位数字，则称 为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲、乙两名
同学中选出一人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，
5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，
则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？分别用树状图法和列举
法解答.
解：树状图法：画出树状图，如图所示，从上面的树状图可知，由1，2，3，4，
5，6可组成20个“三位递增数”.
列举法：由题意知，由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”分别是123，
124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，
246，256，345，346，356，456，共20个，
故由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”.
（2）这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由.
解：不公平.
理由如下：由（1）知，由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，
记事件表示“甲参加数学竞赛”，则事件 包含的样本点有124，126，134，136，
146，156，234，236，246，256，346，356，456，共13个，所以.
记事件表示“乙参加数学竞赛”，则事件 包含的样本点有123，125，135，145，
235，245，345，共7个，所以.
因为 ，所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平.
题型三 独立事件的概率计算
［类型总述］（1）相互独立事件发生的概率；（2）与互斥事件、对立事件结
合的综合问题.
例3 甲、乙两人组成“梦想队”参加某歌唱比赛，比赛共两轮.第一轮甲、乙两人
各自先从“经典红歌”曲库中随机抽取一首进行猜歌名，每猜对一首歌曲歌名即给
此人加1分，没猜对不加分，也不扣分.第二轮甲、乙两人各自再从“流行歌曲”曲
库中随机抽取一首进行猜歌名，每猜对一首歌曲歌名即给此人加2分，没猜对不
加分，也不扣分.已知甲猜对“经典红歌”曲库中歌曲歌名的概率为 ，猜对 “流行
歌曲”曲库中歌曲歌名的概率为 .乙猜对“经典红歌”曲库中歌曲歌名的概率为，
猜对“流行歌曲”曲库中歌曲歌名的概率为 ，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结
果也互不影响.
（1）求“梦想队”恰好猜对三首歌曲歌名的概率；
解：甲猜对一首歌曲歌名的概率为 ，
甲猜对两首歌曲歌名的概率为 ，
乙猜对一首歌曲歌名的概率为 ，
乙猜对两首歌曲歌名的概率为 ，
故“梦想队”恰好猜对三首歌曲歌名的概率为 .
（2）求“梦想队”恰好获得4分的概率.
解：甲获得1分的概率为，甲获得2分的概率为 ，
甲获得3分的概率为，
乙获得1分的概率为，乙获得2分的概率为 ，
乙获得3分的概率为 ，
故“梦想队”恰好获得4分的概率为 .
变式 [2023·安徽合肥一中高一期末] 为了普及党史知识，某校举行了党史知
识考试，试卷中只有两道题目.已知甲同学答对每题的概率都为 ，乙同学答对
每题的概率都为 ，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知甲、乙
两人同时答对同一题的概率为，恰有一人答对该题的概率为 .则甲、乙两人共
答对至少3道题的概率是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 依题意知，解得，.
设事件 表示“甲同学答对了题”，表示“乙同学答对了题”， ,1,2，
则，， ，
，
设甲、乙两人共答对至少3道题为事件C，则 ，
因此 ，
所以甲、乙两人共答对至少3道题的概率是 ．故选C.
