滚动习题(十)
[范围§1~§4]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.[2023·江西奉新四中高一月考] 从10个事件中任取一个事件,若这个事件是必然事件的概率为0.3,是不可能事件的概率为0.1,则这10个事件中随机事件的个数为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.下列试验模型不是古典概型的为 ( )
A.从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
B.同时抛两枚质地均匀的骰子,出现点数和为6的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
3.抛掷两枚骰子,所得的一个点数恰好是另一个点数的2倍的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”,事件Q表示“取出的都是白球”,事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”,则下列结论正确的是 ( )
A.P与R是互斥事件
B. P与Q是对立事件
C. Q和R是对立事件
D. Q和R是互斥事件,但不是对立事件
5.在某线路中有4个自动控制的常开开关A,B,C,D连接在一起(如图所示),假定在某段时间内开关A,D能够闭合的概率都是0.7,开关B,C能够闭合的概率都是0.8,则在这段时间内该线路能正常工作的概率为 ( )
A.0.967 6 B.0.998 2
C.0.313 6 D.0.967 4
6.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
B.连续掷一枚均匀的骰子6次,可能出现两次1点
C.某种福利彩票的中奖概率为,那么买2000张这种彩票一定能中奖
D.某市气象台预报“明天本市降水的概率为70%”,指的是该市气象台专家中,有70%认为明天会降水,30%认为不会降水
7.(多选题)先后抛掷两个质地均匀且四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体一次.用事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”,事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”,事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”.则下列说法正确的是 ( )
A.P(A)=P(B)=P(C)
B.P(AB)=P(AC)=P(BC)
C.P(ABC)=
D.P(A)P(B)P(C)=
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
8.[2023·重庆巴蜀中学高一期末] 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效,有100名志愿者服用此药.结果体重减轻的人数为59,体重不变的人数为21,体重增加的人数为20.如果另外有一人服用此药,则估计这个人体重减轻的概率为 .
9.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率为 .
10.给出下列4个说法:
①现有一批产品,次品率为0.05,则从中选取200件,必有10件是次品;
②做100次抛掷一枚均匀硬币的试验,结果有51次出现正面向上,因此,出现正面向上的概率是;
③抛掷一枚均匀的骰子100次,有18次出现1点,则出现1点的频率是;
④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率.
其中正确的说法是 .(填序号)
11.[2023·陕西咸阳高一期末] 若甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别0.7,0.6,0.5,则甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为 .
三、解答题(本大题共3小题,共45分)
12.(15分)在10名学生中,男生有x名,现从10名学生中任选6名学生去参加某项活动,记“至少有1名女生”为事件A,“有5名男生,1名女生”为事件B,“有3名男生,3名女生”为事件C.当x为何值时,使得事件A为必然事件,事件B为不可能事件,事件C为随机事件
13.(15分)袋中有形状、大小都相同的4个小球,标号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中一次性随机摸出2个球,求标号和为奇数的概率.
(2)从袋中每次摸出一个球,有放回地摸两次.甲、乙约定:若摸出的两个球标号和为奇数,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否公平 说明你的理由.
14.(15分)[2023·安徽宣城高一期末] 甲、乙两队进行篮球比赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场比赛时,该队获胜,比赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.8,客场取胜的概率为0.4,且各场比赛结果相互独立.
(1)求前2场比赛,甲至少赢得一场的概率;
(2)当双方总比分为2∶2时,求甲获胜的概率.滚动习题(十)
1.B [解析] 这10个事件中必然事件的个数为10×0.3=3,不可能事件的个数为10×0.1=1,所以随机事件的个数为10-3-1=6.故选B.
2.C [解析] 古典概型的特征为有限性和等可能性.显然A,B,D选项符合古典概型的特征,所以A,B,D是古典概型;对于C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,所以C不是古典概型.故选C.
3.A [解析] 抛掷两枚骰子,样本点总数n=36,其中事件“所得的一个点数恰好是另一个点数的2倍”包含的样本点有(1,2),(2,1),(2,4),(3,6),(4,2),(6,3),共6个,则所求概率P==.故选A.
4.C [解析] 袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,取出的球的情况有以下三种:①取出的两个球都是黑球;②取出的两个球都是白球;③取出的球一黑一白.由题意知,事件P只包括情况①,事件Q只包括情况②,事件R包括①③两种情况.所以事件P与事件R可以同时发生,故A不正确;事件Q与事件R是互斥事件且是对立事件,所以C正确,D不正确;事件P与事件Q是互斥事件,但不是对立事件,所以B不正确.故选C.
5.A [解析] 该线路能正常工作的对立事件是A,D同时断开且B,C中至少有一个断开,∴所求概率P=1-(1-0.7)×(1-0.7)×(1-0.8×0.8)=0.967 6.故选A.
6.AB [解析] 对于A,试验次数越多,频率一般就会越接近概率,故A正确;对于B,每次掷骰子时,出现1,2,…,6点都是可能的,所以连续掷一枚均匀的骰子6次,出现两次1点是可能的,故B正确;对于C,中奖概率为是指买一次彩票,中奖的可能性为,不是指买2000张这种彩票一定能中奖,故C错误;对于D,“明天本市降水的概率为70%”指的是明天本市有70%的可能性降水,故D错误.故选AB.
7.ABD [解析] 记(x,y)表示第一个四面体向下的一面出现数字x,第二个四面体向下的一面出现数字y.由题意知样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共8个样本点,事件B={(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(4,1),(4,3)},共8个样本点,事件C={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)},共8个样本点,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,即P(A)=P(B)=P(C),A正确.事件AB={(2,1),(2,3),(4,1),(4,3)},共4个样本点,事件AC={(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)},共4个样本点,事件BC={(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)},共4个样本点,则P(AB)=,P(AC)=,P(BC)=,即P(AB)=P(AC)=P(BC),B正确.显然事件A,B,C不可能同时发生,所以P(ABC)=0,C错误.因为P(A)=P(B)=P(C)=,所以P(A)P(B)P(C)=,D正确.故选ABD.
8.0.59 [解析] 由题意可知,体重减轻的频率为0.59,用频率估计概率可知这个人体重减轻的概率为0.59.
9. [解析] 可能构成的两位数有20个,即样本空间中的样本点有20个,其中事件“这个两位数大于40”包含的样本点有41,42,43,45,51,52,53,54,共8个,所以所求概率P==.
10.③ [解析] 次品率为0.05,即出现次品的概率(可能性)是0.05,所以200件产品中可能有10件是次品,并非一定有10件次品,故①错误;在100次具体的试验中,正面向上的次数与试验的总次数之比是频率,而不是概率,故②错误;③由频率的定义可知出现1点的频率是=,故③正确;由概率与频率的关系知,概率是频率的稳定值,频率在概率附近摆动,故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率,故④错误.故答案为③.
11.0.94 [解析] 记事件A,B,C分别为甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方,则P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(C)=0.5,所以甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为1-P()P()P()=1-0.3×0.4×0.5=0.94.
12.解:若“至少有1名女生”为必然事件,则x<6;若“有5名男生,1名女生”为不可能事件,则x<5或x=10;
若“有3名男生,3名女生”为随机事件,则3≤x≤7.
综上可得3≤x<5,又x∈N,所以x=3或x=4.
13.解:(1)该试验的样本空间为Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点,设标号和为奇数为事件B,则B包含的样本点为(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4个,所以P(B)==.
(2)该试验的样本空间为Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共有16个样本点,设标号和为奇数为事件C,则事件C包含的样本点为(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),共8个,
故P(C)==,即甲胜的概率为,则乙胜的概率为,所以此游戏是公平的.
14.解:(1)设前2场比赛,甲至少赢得一场为事件A,
则P(A)=0.8×0.8+0.8×(1-0.8)×2=0.96.
(2)当双方总比分为2∶2时,设甲获胜为事件B,
则甲获胜的比分可以是4∶2或者4∶3.
若比分是4∶2,则第五场和第六场甲连赢两场,则甲获胜的概率为0.8×0.4=0.32;
若比分是4∶3,则第五场和第六场甲、乙各赢一场,第七场甲赢,则甲获胜的概率为0.8×0.6×0.8+0.2×0.4×0.8=0.448.
所以当双方总比分为2∶2时,甲获胜的概率P(B)=0.32+0.448=0.768.
