模块素养测评卷
1.B [解析] 题图中阴影部分所表示的集合为 (A∪B)(A∩B)={-1,1,3,4}.故选B.
2.A [解析] 由题意得从随机数表第1行的第4列开始由左到右依次选两个数字,所取符合题意的数字依次为36,13,26,17,24,32,…,所以选出来的第6个编号为32,故选A.
3.B [解析] a=log20.2
20=1,0<0.20.3<0.20=1,则04.C [解析] 这15人的成绩已按从小到大排列,因为15×70%=10.5,所以这15人成绩的70%分位数是88分.故选C.
5.B [解析] 若函数f(x)=-3x2+2(1-m)x-5在区间(-∞,6]上单调递增,则≥6,解得m≤-17.因为{m|m<-17} {m|m≤-17},所以“m<-17”是“函数f(x)=-3x2+2(1-m)x-5在区间(-∞,6]上单调递增”的充分不必要条件,故选B.
6.A [解析] 函数f(x)=的定义域为,f(-x)==-f(x),则函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D;当00,1+ln|x|<0,所以f(x)<0,排除B.故选A.
7.C [解析] 由于甲做对的概率为0.8,乙做对的概率为0.9,两人做题互不影响,故两人都做对的概率是0.8×0.9=0.72,所以A中说法正确;恰好有一人做对的概率是0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.26,故B中说法正确;两人都做错的概率是(1-0.8)×(1-0.9)=0.02,故C中说法错误;至少有一人做对的概率是1-(1-0.8)×(1-0.9)=0.98,故D中说法正确.故选C.
8.D [解析] 因为00时,不等式f(x)-x>0等价于f(x)>x,则g(x)=>1,则g(x)>g(3),可得x>3.当x=0时,f(0)-0=0,不满足f(x)-x>0.当x<0时,不等式f(x)-x>0等价于f(x)>x,则g(x)=<1,则g(x)0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).故选D.
9.ABD [解析] 对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2+≥,当且仅当a=b=时,等号成立,故A正确;对于B,a-b=2a-1>-1,所以2a-b>2-1=,故B正确;对于C,log2a+log2b=log2(ab)≤log2=log2=-2,当且仅当a=b=时,等号成立,故C不正确;对于D,因为(+)2=1+2≤1+a+b=2,所以+≤,当且仅当a=b=时,等号成立,故D正确.故选ABD.
10.ACD [解析] 根据分层随机抽样的特点可知,分别从高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生中抽取了40人,30人,30人,故A正确;抽取的高二年级学生每天的总读书时间为×30=93,抽取的高一年级学生每天的总读书时间为×40=108,故高二年级学生每天的总读书时间比高一年级学生少15小时,故B错误;被抽取的学生每天的读书时间的平均数为×2.7+×3.1+×3.3=3(小时),故C正确;被抽取的学生每天的读书时间的方差为×[1+(2.7-3)2]+×[2+(3.1-3)2]+×[3+(3.3-3)2]=1.966,所以估计全体学生每天的读书时间的方差s2=1.966,故D正确.故选ACD.
11.BCD [解析] 如图所示,在同一个平面直角坐标系内作出f(x)=和y=k的图象,如图所示.由图可知,要使方程f(x)=k有四个不同的根,需满足23,故D正确.故选BCD.
12.-2,e [解析] 当x≤0时,由f(x)=x2+x-2=0,即(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1(舍).当x>0时,由f(x)=-1+ln x=0,解得x=e.综上可得,函数f(x)的零点为-2,e.
13. [解析]将“仁、义、礼”排成一排的样本空间为Ω={仁义礼,仁礼义,义仁礼,义礼仁,礼仁义,礼义仁},共6个样本点,“义”不在首位的有:仁义礼,仁礼义,礼仁义,礼义仁,共4个样本点.所以“义”不在首位的概率为=.
14.15药物单位 [解析] 设6份药物中成分甲的含量(单位:克)依次为x1,x2,x3,x4,x5,x6,药物功效(单位:药物单位)依次为y1,y2,y3,y4,y5,y6,则x1+x2+x3+x4+x5+x6=6×5=30,(x1-5)2+(x2-5)2+(x3-5)2+(x4-5)2+(x5-5)2+(x6-5)2=+++++-6×52=6×()2=30,所以+++++=180,则y1+y2+y3+y4+y5+y6=15(x1+x2+x3+x4+x5+x6)-2(+++++)=90,所以估计这批中医药的药物功效的平均数为×(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=15(药物单位).
15.解:(1)因为C={0,1},所以集合C的所有子集为{0,1},{0},{1}, .
(2)当A= 时,2m-1≥m,解得m≥1,此时显然A∩B= 成立.
当A≠ 时,2m-1需满足2m-1≥5或m≤-4,解得m≥3或m≤-4,又m<1,所以m≤-4.综上所述,实数m的取值范围为(-∞,-4]∪[1,+∞).
16.解:(1)f(x)在(0,+∞)上单调递增,证明如下:
f(x)==2-,x∈(0,+∞),任取0因为00,x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为f(2m-1)>f(1-m),所以解得故实数m的取值范围是.
17.解:(1)由题意可知2=30,∴5x2-14x-3=(5x+1)(x-3)=0,∴x=-或x=3,又1≤x≤10,∴x=3.
(2)由题可知,生产120千克该产品获得的利润(单位:千元)为f(x)==120,x∈[1,10],令t=∈,则f(x)可转化为y=120(-3t2+t+5),易知当t=,即x=6时,生产120千克该产品获得的利润最大,最大利润为610千元.
18.解:(1)设事件A表示“最终状态为‘打开’的开关数目为4”,这意味着摁下了(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)中的一个,
因为共有9个开关,所以P(A)=.
(2)设a1,a2,a3分别表示按下开关(1,1),(1,2),(1,3),b1,b2,b3分别表示按下开关(2,1),(2,2),(2,3),从中选择两个开关摁下,样本空间为Ω={a1a2,a1a3,a2a3,b1b2,b1b3,b2b3,a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3,a3b1,a3b2,a3b3},可得n(Ω)=15.设事件B表示“摁下第一排和第二排各一个开关”,则B={a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3,a3b1,a3b2,a3b3},可得n(B)=9,所以P(B)===.
19.解:(1)由题图可得分数的75%分位数位于[70,80)内,设分数的75%分位数为x,则0.04×(x-70)=0.35,解得x=78.75.
故分数的75%分位数为78.75.
(2)由题图知,分数在[50,90)内的频率为(0.01+0.02×2+0.04)×10=0.9,则样本中分数在[50,90)内的人数为100×0.9=90,
结合题意知,样本中分数在[40,90)内的人数为95,所以样本中分数在[40,90)内的频率为0.95,所以估计总体中分数在[40,90)内的人数为400×0.95=380,所以估计总体中分数小于40的人数为20.
(3)样本中所有学生分数的平均数为×70+×80=72.5,
所以样本中所有学生分数的方差为×[10+(72.5-70)2]+×[12+(72.5-80)2]=.模块素养测评卷
第一章~第八章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·安徽合肥六中高一月考] 集合A={-1,0,1,2,3},B={0,2,4},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )
A.{0,2}
B.{-1,1,3,4}
C.{-1,0,2,4}
D.{-1,0,1,2,3,4}
2.[2023·广西玉林育辉高级中学高一月考] 在社区公益活动中,某单位有40名志愿者参与了报名,先将这40名志愿者进行编号,依次为01,02,…,40,从这40名志愿者中抽取10人参加一项活动,选取方法是从随机数表第1行的第4列开始由左到右依次选两个数字,则选出来的第6个编号为 ( )
9729 7483 6721 3452 6745 9176 2451 7249 8563 2440
3779 5003 1417 1972 0030 4658 7114 2051 8713 6829
A.32 B.24
C.17 D.37
3.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 ( )
A.aC.c4.已知参加某次数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分)分别为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,则这15人成绩的70%分位数是 ( )
A. 86分 B. 87分
C. 88分 D. 89分
5.[2023·陕西宝鸡高一期末] “m<-17”是“函数f(x)=-3x2+2(1-m)x-5在区间(-∞,6]上单调递增”的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.函数f(x)=的图象大致为 ( )
A B C D
7.甲、乙两名同学做同一道数学题,甲做对的概率为0.8,乙做对的概率为0.9,两人做题互不影响,下列说法错误的是 ( )
A.两人都做对的概率是0.72
B.恰好有一人做对的概率是0.26
C.两人都做错的概率是0.15
D.至少有一人做对的概率是0.98
8.[2023·安徽亳州一中高一月考] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的00的解集为 ( )
A.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B.(-3,3)
C.(-3,0)∪(0,3)
D.(-3,0)∪(3,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2023·湖北荆州中学高一期末] 已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )
A.a2+b2≥ B.2a-b>
C.log2a+log2b≥-2 D.+≤
10.[2023·安徽马鞍山二十二中高一月考] 某学校共有学生2000人,其中高一年级有800人,高二年级、高三年级各有600人,学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间,按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人,统计得到高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生每天读书时间的平均数分别为=2.7,=3.1,=3.3,每天读书时间的方差分别为=1,=2,=3,则下列说法正确的是 ( )
A.从高二年级抽取了30人
B.在被抽取的学生中,高二年级学生每天的总读书时间比高一年级学生多15小时
C.被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时
D.估计全体学生每天的读书时间的方差s2=1.966
11.已知函数f(x)=若方程 f(x)=k有四个不同的根x1,x2,x3,x4,且x1A.2B.2x1+x2≥2
C.x1x2(x3+x4)=8
D.x1+2x2>3
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2023·北京广渠门中学高一月考] 已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 .
13.“仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒再次扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼”排成一排,其中“义”不在首位的概率为 .
14.某科研机构研究发现,某品种中医药的药物成分甲的含量x(单位:克)与药物功效y(单位:药物单位)之间满足y=15x-2x2.检测这种药品一个批次中的6份药品,得到成分甲的含量的平均数为5克,标准差为克.则估计这批中医药的药物功效的平均数为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设集合A={x|2m-1(1)写出集合C的所有子集;
(2)若A∩B= ,求实数m的取值范围.
16.(15分)[2024·福建福州一中月考] 已知函数f(x)=,x∈(0,+∞).
(1)判断函数f(x)的单调性,并利用定义证明;
(2)若f(2m-1)>f(1-m),求实数m的取值范围.
17.(15分)[2023·河北唐山高一期末] 某生物试剂厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是千元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润为30千元,求x的值;
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大,求生产速度x的值,并求最大利润.
18.(17分)在某游戏中,小明遇到了如图所示的开关阵列,每个开关只有开和关两个状态,摁下某个开关会导致自身及相邻位置(上、下相邻或左、右相邻)的开关状态发生变化.例如摁下(2,2)会导致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)发生状态变化.开始时所有开关均关闭.
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)
(1)如果随机摁下一个开关,求最终状态为“打开”的开关数目为4的概率.
(2)如果从上两排六个开关中随机选择并摁下两个不同的开关,求摁下第一排和第二排各一个开关的概率.
19.(17分)某中学400名学生参加全市高中数学竞赛,根据男、女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成[30,40),[40,50),…,[70,80),[80,90],共6组,并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图求样本中分数的75%分位数;
(2)已知样本中分数在[40,50)内的学生有5人,试估计总体中分数小于40的人数;
(3)已知样本中男生与女生人数的比例是3∶1,男生分数的平均数为70,方差为10,女生分数的平均数为80,方差为12,请计算出样本中所有学生分数的方差.