第二十一章 实际问题与一元二次方程 典型题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 实际问题与一元二次方程 典型题型梳理 专题练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
归纳+训练
一、图形面积问题
1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨第六十九中学建设的校区篮球场是一个面积为608平方米的矩形活动场地，它的长比宽多13米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田，现需在试验田中修建同样宽的两天互相垂直的小路（两条小路各与举行的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块试验田的总面积为，求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列方程是 ．
3．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？
二、销售问题
1．（24-25九年级上·云南·期中）某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2025·江苏苏州·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元．
3．（24-25八年级下·全国·期中）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元．
(1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？
三、图形动点问题
1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（ ）秒后，的面积等于．
A． B． C．或 D．或
2． （24-25九年级上·新疆·阶段练习）中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．当运动时间t为 时，的面积为．
3．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ．
四、数字问题
1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
2.（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ．
4．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇 赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年 为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）．
五、工程问题
1．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个．
(1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？
(2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．
2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？
3．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
六、行程问题
1．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车．
(1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)汽车滑行20米时用了多长时间？
七、图表信息问题
1．（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．

2．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
3．（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
八、传播传染问题
1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病．
(1)每轮平均1人会传染多少人？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？
九、增长率问题
1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在“双减”政策的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%．设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册．
(1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率．
(2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？
十、循环比赛问题
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）2023年国际篮联篮球世界杯比赛小组赛在印度尼西亚、日本以及菲律宾同时进行．若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍都赛1场），单循环比赛共进行了15场，则该小组参加比赛的队伍共有（ ）
A．7支 B．6支 C．5支 D．4支
2．（2025九年级上·全国·专题练习）某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（ ）
A．8支 B．10支 C．7支 D．9支
3．（2025九年级上·全国·专题练习）一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有 支队伍参加比赛．
4．（24-25九年级上·广东江门·期中）列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？
十一、握手问题
1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人．
A．9 B．10 C．45 D．46
2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（ ）
A．7 B．10 C．12 D．20
3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家．
十二、树干分支问题
1．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（ ）根小分支
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根．
答案
一、图形面积问题
1． C
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；根据矩形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设场地的宽为x米，则长为米，
根据题意得，
故选：C．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，四块试验田可以拼为长为，宽为的矩形，根据矩形面积公式列方程即可．
【详解】解：设小路的宽为，
根据题意，得，
故答案为：．
2米
【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程解决问题，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程，解出即可．
【详解】解∶设道路的宽为x米，根据题意得
整理得，
解得：（舍去），
答∶道路的宽为2米．
二、销售问题
1． D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．由题意可知降价元，平均每天能卖出件，每件盈利元，即可列出方程．
【详解】解：降价元，则可多卖出件，此时售价为元/件，
∴此时平均每天能卖出件，每件盈利元，
∴每天盈利元，
即可列方程为．
故选D．
【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程．
【详解】解：设定价为x元.根据题意可得，
解之得：，
∵销售量尽可能大
∴，
故答案为：
(1)
(2)175或185元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得解；
（2）设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件，根据总利润每件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：每次降价的百分率为；
（2）解：设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：售价应定为175或185元．
三、图形动点问题
1． A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键．
设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案．
【详解】解：设移动时间为秒，
秒，
，
根据题意得，
解得或（不符合题意，舍去），
秒后，的面积等于，
故选：A．
1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值．
【详解】解：由题意，得，．
列方程，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，的面积等于．
故答案为：1
或
【分析】本考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，分两种情况讨论，，，根据分别列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上，
∵正方形的边长为，为的中点，
∴
依题意，，，则；
∵
∴
∴
∴，
解得：
则
如图所示，当时，点在线段上，在上，
依题意，，则，
∵，即
∴
解得：或（舍去）
综上所述，或
则
故答案为：或．
四、数字问题
1． A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，无理数的大小判断，熟练掌握解一元二次方程的求根公式是解题关键．
根据题意，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：根据题意，得：，即，
解得：，
或，
，
，
∵a为正数，
．
故选：A．
2 ． D
【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解．
【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得
故选：D．
23或32
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是．
根据题意得：，
解得：或，
则或．
则这个两位数是23或32．
故答案为：23或32．
周瑜去世时年龄为36岁
【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程求解即可．
【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为，
由题意得，
解得，
∴十位数字为2或3
∵而立之年督东吴，“而立之年”指的是三十岁，
∴应舍去，
∴周瑜去世时年龄为36岁．
五、工程问题
1．(1)B生产线至少加工6小时
(2)a的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．
设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可；
根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时，
根据题意可得：，
解得：
答：生产线至少加工小时；
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：的值为．
2 ． (1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)增加4条或条生产线
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设增加x条生产线．
，
解得，，
答：增加4条或条生产线．
(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)的值为10
【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，
根据题意得，
，
解得：，
则，
答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
∴的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
六、行程问题
1． C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解．
根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可．
【详解】解：依题意得：
，
整理得，
解得(不合题意舍去)，，
即行驶需要．
故选：C.
A
【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形：
设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，
则，，
由勾股定理得，，
．
故选：A．
(1)15米/秒；2秒
(2)15米/秒
(3)秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
（1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；
（2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米，
则在这段时间内的平均车速为米/秒；
从刹车到停车所用的时间是秒；
（2）从刹车到停车车速的减少值是，
从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，
则这段路程内的平均车速为米/秒，
所以，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒．
七、图表信息问题
1． 最小数为8，最大数为18
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可．
【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为，
∴，
解得（舍去）．
故最小数为8，最大数为18．
(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
(1)；
(2)9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.
解得（不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
八、传播传染问题
1.C
【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，
∴，
故选：C．
6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
设一个人每节课手把手教会了 名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴1人每次能手把手教会6名同学．
故答案为：6．
(1)每轮平均1人会传染8人
(2)三轮传染后，患病的人数会超过700
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论．
【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）．
故每轮平均1人会传染8人．
（2）解：三轮传染后的人数为．
，
∴三轮传染后，患病的人数会超过700．
九、增长率问题
1． (1)每轮传染中平均一个人传染8个人
(2)患病的人数会超过700人
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）
三轮感染后，患病的人数为（人
∵，
患病的人数会超过700人．
答：患病的人数会超过700人
A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴年平均增长率是，
故选：A．
C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%，列方程即可得到结论．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，
由题意可得，即
故选：C．
(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率
(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；
（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．
【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x，
根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）
该校这两个月藏书的月均增长率为；
（2）解；（册），
所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册．
十、循环比赛问题
1． B
【详解】设该小组参加比赛的队伍共有x支．
根据题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴该小组参加比赛的队伍共有6支．
【点睛】考察一元二次方程循环赛的应用问题，注意是单循环赛制，需要除以2才行
B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设参加比赛的队伍有支，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设参加比赛的队伍有支，根据题意得，
解得：，（舍去）
故选：B．
8
【分析】一元二次方程循环赛问题，根据总赛场56场列等量关系，设方程解答即可
【详解】解：设共有支队伍参加比赛
解得：（舍去）
∴共有8支队伍参加比赛
【点睛】本题考查了一元二次方程循环赛问题，注意双循环表示每支队伍都与除自己外的所有队伍比赛2场
有12个队参加了报名
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设有个队参加了报名，由单循环制的特点可得，再解方程并检验即可．
【详解】解：设有个队参加了报名，则
，
∴，
∴，
解得，（经检验不符合题意），
所以有12个队参加了报名．
十一、握手问题
1．B
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程．
设这次聚会的同学共n人，则每人与其他人各握手一次，而两个人之间握手一次，因而共握手次，即可列方程求解．
【详解】解设有名同学参加聚会，每人与其他人各握手一次，但每两次握手被重复计算一次，故总握手次数为．根据题意，得：
解得（舍去负根）．
因此，参加聚会的同学共有10人，
故选：B．
B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设这次会议参加的人数是x人，
根据题意，得，
解得，
故这次会议参加的人数是10人，
故选：B．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有家公司参加“哈洽会”，依题意得，求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程．
【详解】解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），
∴参加此次“哈洽会”的公司有家，
故答案为：．
十二、树干分支问题
1． C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
故每个支干长出个小分支，
故选：C．
2 ． A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案．
【详解】解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为个，
那么根据题意可列出方程为：．
故选：A．
3．12
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴这种植物的主根长出12根支根．
故答案为：12．
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