8.1 基本立体图形 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

8．1　基本立体图形
8．1　第1课时　棱柱、棱锥、棱台
【课标要求】　1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
导学
学习目标一　空间几何体
　师问：观察下列物体，从围成它们面的角度描述它们的特点？
生答：
例1 下列几何体不是多面体的是(　　)
跟踪训练1　一个多面体至少有________个面．
学习目标二　棱柱的结构特征
　师问：观察下面的多面体，两个底面的位置关系怎样？各条棱的关系如何？
生答：
　
例2 (多选)下列说法不正确的是(　　)
A．底面是矩形的四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体
C．棱柱的各个侧面都是平行四边形
D．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
判断棱柱的两种方法
跟踪训练2　下列说法正确的是(　　)
A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
学习目标三　棱锥的结构特征
　师问：图中的多面体具有怎样的特点？
生答：
例3 (多选)下列有关棱锥的说法中，正确的是(　　)
A．棱锥的各个侧面都是三角形
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱锥的各侧棱长相等
跟踪训练3　下列几何体中不是棱锥的为(　　)
学习目标四　棱台的结构特征
　师问：如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的两部分几何体会是什么样的几何体？
生答：
例4 下列关于棱台的说法正确的是(　　)
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
跟踪训练4　下列空间图形中是棱台的为________．(填序号)
导练
1．下面多面体中，是棱柱的有(　　)
A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个
2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　　)
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)
4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
【导思】
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝3，一小虫从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点C1，则小虫走过的最短路线的长为________．
8．1　第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
【课标要求】　1.通过对实物模型的观察，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单组合体的结构．
导学
学习目标一　旋转体的结构特征
　师问：(1)生活中哪些物体是圆柱？它可由什么样的平面图形绕其所在平面的一条定直线旋转形成？
(2)生活中哪些物体是圆锥？它可由什么样的平面图形绕其所在平面的一条定直线旋转形成？
(3)类比棱台的定义给出圆台的定义？圆台是否也可以由平面图形旋转生成？如果可以，可由什么平面图形，如何旋转得到？
(4)如果把半圆绕其直径所在直线旋转一周，半圆弧旋转形成什么图形？
生答：
例1 (多选)下列说法正确的是(　　)
A．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
B．圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
C．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
D．过球面上任意两个不同点的大圆有且只有一个
跟踪训练1　(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．圆柱的母线与它的轴可以不平行
B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
学习目标二　简单的组合体
　师问：观察下列四个几何体，它们是常见的柱、锥、台、球等简单几何体吗？如果不是，它们与常见简单几何体有何区别和联系？
生答：
例2 请描述下面的几何体是如何形成的．
跟踪训练2　
如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是(　　)
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱
B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱
D．一个六棱柱中挖去一个圆台
学习目标三　旋转体的有关计算
例3 已知一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
总结：
1．用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形的比例关系，构设相关几何未知量的方程组求解．
2．旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．
跟踪训练3　圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为____________．
导练
1．有下列四个说法，其中正确的是(　　)
A．圆柱的母线与轴垂直
B．圆锥的母线长等于底面圆直径
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
2．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　)
A．圆台　　B．球　　C．圆柱　　D．棱柱
3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆柱、一个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
4．若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥顶点到底面的距离为________．
【导思】
如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为2，则圆锥底面圆的半径等于________．
第八章　立体几何初步
8．1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
导　学
学习目标一　生答：可以发现，纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体围成它们的面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面．
例1　解析：A中的几何体是球，是旋转体；B中的几何体是三棱柱，是多面体；C中的几何体是棱台，是多面体；D中的几何体是三棱锥，是多面体．故选A.
答案：A
跟踪训练1　解析：多面体定义：若干平面围成的几何体，且最少为四面体，所以一个多面体至少有4个面．
答案：4
学习目标二　生答：底面相互平行；各侧棱也相互平行．
例2　解析：
对于A，底面是矩形的直棱柱是长方体，故A错误；对于B，有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体不一定是平行六面体. 例如正方体中，取N，M分别为侧棱上的点，且C1M＝D1N，则几何体BCMB1 ADNA1满足有两个面平行，其余四个面都是平行四边形，但其不是平行六面体，故B错误；对于D，底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，由两个面互相平行，其余各面均为四边形，且相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体是棱柱，故有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱．如：，故D错误；对于C, 棱柱的各个侧面都是平行四边形，故C正确．故选ABD.
答案：ABD
跟踪训练2　解析：A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；
B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行；D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱．故选B.
答案：B
学习目标三　生答：共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点．
例3　解析：由棱锥的定义知，棱锥的各侧面都是三角形，故A正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错误；四面体就是由4个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错误．故选AC.
答案：AC
跟踪训练3　解析：根据棱锥的定义，B，C，D中的几何体是棱锥，A中的几何体不是棱锥．故选A.
答案：A
学习目标四　生答：上部分是棱锥，下部分是棱台．
例4　解析：对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，故A错误；对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B错误；对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C错误；对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．故选D.
答案：D
跟踪训练4　解析：由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点．图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，故图①和图②都不是棱台．图③符合棱台的定义与结构特征．
答案：③
导　练
1．解析：由棱柱的定义可得4个多面体均为棱柱．
答案：D
2．解析：根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．故选D.
答案：D
3．解析：A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．故选D.
答案：D
4．解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．
答案：5　3
导　思
解析：如图，若小虫爬行路线经过棱BB1，则最短路程为＝3；
若小虫爬行路线经过棱A1B1，则最短路程为＝；
若小虫爬行路线经过棱BC，则最短路程为＝.
综上所述，小虫走过的最短路线的长为.
答案：
第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
导　学
学习目标一　生答：(1)笔筒、易拉罐等；矩形．
(2)沙漏、冰淇淋筒、打开的雨伞等；直角三角形的一条直角边．
(3)直角梯形，以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体．
(4)球面．
例1　解析：对于A，当两个平行平面与圆柱底面平行时，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体，当两个平行平面与圆柱底面不平行时，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体不是旋转体，故A错误；对于B，根据圆台的定义，圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，故B正确；对于C，由圆锥的性质得圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，故C正确；对于D，过球面上球的直径的两个端点的大圆有无数个，故D错误．故选BC.
答案：BC
跟踪训练1　解析：由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BD正确，AC错误．
答案：BD
学习目标二　生答：不是，它们是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成．
例2　解析：几何体①是由圆锥和圆台组合而成的；几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心；几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．
跟踪训练2　解析：螺母这个组合体的外部轮廓是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确．故选C.
答案：C
学习目标三　
例3　解析：(1)
设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．
由题意可得上底的半径O1A＝2 cm，下底的半径OB＝5 cm，腰长AB＝12 cm，所以圆台的高AM＝＝3(cm)．
(2)如图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，
则由△SAO1∽△SBO，得＝，解得l＝20，故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
跟踪训练3　解析：因为圆锥轴截面顶角为，
所以任两条母线夹角的范围是(0，].
设母线长为l，母线的夹角是θ，
所以圆锥顶点的轴截面面积S＝l2sin θ＝sin θ，
因为θ∈(0，]，所以sin θ∈(0，1] ，
所以轴截面面积的最大值是.
答案：
导　练
1．解析：对于A，根据圆柱的几何结构特征，圆柱的母线与轴平行，所以A错误；对于B，由圆锥的几何结构特征，圆锥的母线长与底面圆直径不一定相等，所以B错误；对于C，根据圆台的几何结构特征，圆台的母线与轴不平行，所以C错误；对于D，根据球的几何结构特征，球的直径必过球心，所以D正确．故选D.
答案：D
2．解析：截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．故选B.
答案：B
3．解析：图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥．
答案：D
4．解析：如图所示，
△SAB是边长为2的等边三角形，圆锥的母线长为2，底面半径为1，
该圆锥顶点到底面的距离为SO＝＝.
答案：
导　思
解析：把圆锥侧面沿母线OA展开成如图所示的扇形，则AB为小虫爬行的最短路径．
依题意，小虫爬行的最短路程为|AB|＝2.
因为母线长OA＝OB＝2，
所以在△AOB中∠AOB＝，
则由弧长公式得＝×2＝.
设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝，解得r＝.
答案：