8.2 立体图形的直观图 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

8.2　立体图形的直观图
【课标要求】　1.了解斜二测画法的概念并掌握画斜二测画法的步骤.2.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.3.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图．
导学
学习目标一　水平放置的平面图形的直观图的画法
　师问：乒乓球台是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？
生答：
例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
总结：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)原图中的点不在坐标轴上且不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定．
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．
跟踪训练1　画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
学习目标二　空间几何体的直观图的画法
　师问：我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？
生答：
例2 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)
总结：(1)画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
(2)直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”．
(3)当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验．
跟踪训练2　用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD A′B′C′D′的直观图．
学习目标三　直观图的还原与计算
　师问：如图，你能找出△ABC的面积S与其直观图的面积S′的关系吗？
生答：
例3 如图，梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图．若A1D1平行于y1轴，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝3，A1D1＝1，则平面图形ABCD的面积是(　　)
A．14 B．7
C．7 D．14
总结：由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.
跟踪训练3　
如图，一个水平放置的△ABO的斜二测直观图是等腰Rt△A′B′O′，若B′A′＝B′O′＝2，那么原三角形ABO的周长是(　　)
A．4＋2 B．2＋2
C．4＋4 D．4＋8
导练
1．(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是(　　)
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　)
3．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)
A．平行于z轴且大小为10 cm
B．平行于z轴且大小为5 cm
C．与z轴成45°且大小为10 cm
D．与z轴成45°且大小为5 cm
4．如图，平行四边形O′A′B′C′是四边形OABC的直观图．若O′A′＝3，O′C′＝2，则原四边形OABC的周长为________．
【导思】
水平放置的△ABC的直观图如图所示，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，则A′B′，A′D′，A′C′对应于原△ABC中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是(　　)
A．最短的是AD B．最短的是AC
C．AB>AC D．AD>AC
8．2　立体图形的直观图
导　学
学习目标一　生答：在乒乓球台上建立平面直角坐标系，再将两坐标轴的夹角变为 45° 或135°时，台面看起来就是平行四边形．
例1　解析：画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，擦去坐标轴，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
跟踪训练1　解析：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm.
(3)连接A′B′，A′C′，擦去坐标轴，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
学习目标二　生答：先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图．
例2　解析：画法：(1)画轴．画x′轴，y′轴，z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长2 cm.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．
跟踪训练2　解析：(1)画轴．如图①所示，画x′轴，y′轴，z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面．以点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y′轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和点N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．
学习目标三　生答：S′＝S.
例3　解析：根据直观图画法的规则，直观图中A1D1∥y轴，A1D1＝1，可知原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD＝2A1D1＝2.
直观图中A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝3，可知原图中AB∥CD，AB＝CD＝3，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图，
故其面积S＝×(3＋4)×2＝7.故选B.
答案：B
跟踪训练3　
解析：因为B′A′＝B′O′＝2，由直观图可知O′A′＝2，
所以还原平面图形中，OA＝4，OB＝O′B′＝2，在Rt△AOB中，AB＝6，
则三角形ABO的周长为4＋2＋6＝4＋8.故选D.
答案：D
导　练
1．解析：由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；平行四边形的直观图仍然是平行四边形，故B正确；正方形和菱形的直观图是平行四边形，故CD错误．故选AB.
答案：AB
2．解析：正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1.
答案：C
3．解析：平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A.
答案：A
4．解析：根据题意，平行四边形O′A′B′C′是四边形OABC的直观图．
若O′A′＝3，O′C′＝2，则原四边形OABC为矩形，
如图，其中OA＝3，OC＝4，故原四边形OABC的周长l＝2(OA＋OC)＝14.
答案：14
导　思
解析：因为A′D′平行于y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，
又因为D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，所以D是BC的中点，所以AB＝AC>AD，故A正确．故选A.
答案：A