8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【课标要求】　1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式.2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积．
【导学】
学习目标一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
　师问：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图是什么？
(2)如果沿不同的棱将多面体展开，那么得到的展开图相同吗？其面积还相等吗？
生答：
例1 正四棱台两底面边长分别为2和4.
(1)若侧棱长为，求棱台的表面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
跟踪训练1　(1)如果一个正四棱锥的底面边长为6，高为3，那么它的侧面积为(　　)
A．36　　B．36 C．72　　D．72
(2)已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________．
学习目标二　棱柱、棱锥、棱台的体积
　师问：(1)假如一个集装箱的长、宽、高分别为a，b，c，如何计算集装箱的体积呢？
(2)类比长方体的体积公式，猜想底面积为S，高为h的棱柱的体积是多少？
生答：
例2 如图，已知ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1 D1EF的体积．
2．求棱台体积的方法
(1)补台为锥，利用锥体体积公式计算．
(2)利用棱台体积计算公式直接求解．
跟踪训练2　
(1)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB＝PD＝4，AD＝3，则该四棱锥的体积为(　　)
A．48 B．18
C．16 D．8
(2)若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为3，则它的体积为________．
学习目标三　简单组合体的表面积和体积
例3 如图是一个搭建在空地上的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1，A1B1＝2PO1＝4 m.
(1)求帐篷的表面积(不包括底面)；
(2)求帐篷的容积(材料厚度忽略不计)．
跟踪训练3　如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体．
(1)求该截角四面体的表面积；
(2)求该截角四面体的体积．
【导练】
1．正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积扩大到原来的(　　)
A．2倍 B．12倍
C．18倍 D．36倍
2．如果正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′ABD的体积是(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
3．设正四棱柱的一条对角线长为3，它的底面积是4，则它的体积是(　　)
A．4 B．8
C． D．4或
4．如图，在正四棱台ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝2，A1B1＝1，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为________．
【导思】
如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝3，则该多面体的体积为________．
8．3　简单几何体的表面积与体积
8．3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
导　学
学习目标一　生答：(1)棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图①所示；棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，如图②所示；棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，如图③所示．
(2)由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同．但是，不论怎么剪，同一个多面体的表面展开图的面积是一样的．
例1　解析：(1)
如图，设O1，O分别为上、下底面的中心，
分别取BC，B1C1的中点E，F，连接OE，EF，O1F，则EF为正四棱台的斜高，
EF＝＝＝，
则棱台的表面积S＝×(2＋4)××4＋2×2＋4×4＝12＋20.
(2)两底面面积之和为22＋42＝20，
正四棱台的侧面积为4××(2＋4)×EF＝20，解得EF＝，
正四棱台的高O　1O＝＝ ＝.
跟踪训练1　解析：(1)
如图所示，连接AC，BD交于点O，取BC的中点E，分别连接SO，SE，OE.
因为四棱锥S ABCD为正四棱锥，所以SO⊥底面ABCD，且SO＝3.
在等腰△SBC中，E为BC的中点，所以SE⊥BC，即SE为正四棱锥的斜高，
在Rt△SOE中，OE＝AB＝3，SO＝3，可得SE＝＝3，
所以正四棱锥S ABCD的侧面积为S＝×4×6×3＝36.故选B.
(2)设长、宽、高分别为x，y，z，则2(xy＋xz＋yz)＝52，4(x＋y＋z)＝36，可得体对角线的长为＝＝＝.
答案：(1)B　(2)
学习目标二　生答：(1)集装箱是长方体，所以体积为v＝abc.
(2)V棱柱＝Sh.
例2　解析：由题意，V三棱锥A1 D1EF＝V三棱锥F A1D1E.
∵S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2，且三棱锥F A1D1E的高为CD＝a，
∴V三棱锥F A1D1E＝a·a2＝a3，
∴V三棱锥A1 D1EF＝a3.
跟踪训练2　解析：(1)由题意可得，该四棱锥的体积为V＝×SABCD×PD＝×4×3×4＝16.故选C.
(2)由题得棱台上、下底面面积分别为S＝2×2＝4，S′＝8×8＝64，又高为3，
故棱台体积为V＝(S＋S′＋)h＝(4＋64＋)×3＝84.
答案：(1)C　(2)84
学习目标三　
例3　解析：
(1)连接O1A1，O1B1.
由正六边形A1B1C1D1E1F1，可得△O1A1B1为正三角形，所以O1B1＝A1B1＝4 m．
取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，
易得PQ⊥A1B1.
所以O1Q＝＝＝2(m)，PQ＝＝＝4(m)．
设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，
则S1＝6×A1B1·PQ＝48(m2)，
S2＝6A1B1·OO1＝96(m2)，
所以搭建帐篷的表面积为S1＋S2＝48＋96＝144(m2)．
(2)由(1)得△O1A1B1的面积＝×A1B1·O1Q＝×4×2＝4(m2)，
所以＝＝24(m2)．
上部正六棱锥的体积V1＝×24×2＝16(m3)，
下部正六棱柱的体积V2＝24×4＝96(m3)，
所求帐篷容积为V1＋V2＝112(m3)．
跟踪训练3　解析：(1)依题意，该截角四面体由4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边形围成，
截角四面体中，正三角形的面积S1＝×1×1×＝，
边长为1的正六边形的面积S2＝6××1×1×＝，
所以该截角四面体的表面积为S＝4×＋4×＝7.
(2)该截角四面体由棱长为3的正四面体截去4个角上棱长为1的正四面体而得．
棱长为1的正四面体的高h＝ ＝，棱长为3的正四面体的高为3h＝，
则棱长为1的正四面体的体积V1＝×12×＝，
棱长为3的正四面体的体积V2＝×32×＝，
所以该截角四面体的体积为V＝V2－4V1＝－4×＝.
导　练
1．解析：设正方体棱长为a，则其表面积为6a2，
故正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积为6×36a2，扩大到原来的36倍，故选D.
答案：D
2．解析：VA′ ABD＝·S△ABD·AA′＝×a×a×a＝.故选D.
答案：D
3．解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则a2＝4且2a2＋h2＝9，解得a＝2，h＝1，所以正四棱柱的体积为V＝a2h＝4.故选A.
答案：A
4．解析：如图所示，
设正四棱台ABCD A1B1C1D1的侧高为h，高为H，
棱台的侧面积S＝×(1＋2)×h×4＝6，所以h＝1，
所以H＝ ＝.
答案：
导　思
解析：
如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
则平面ADG，平面BCH将多面体分成两个同样的三棱锥和一个直三棱柱．
因为ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝3，
则EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝.
取AD的中点O，连接GO，AO＝AD＝1，GO＝＝，
所以S△AGD＝S△BHC＝×2＝，
则多面体的体积V＝V三棱锥E ADG＋V三棱锥F BCH＋V三棱柱AGD BHC
＝2V三棱锥E ADG＋V三棱柱AGD BHC
＝2××2＝.
答案：