8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【课标要求】　1.知道圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题．
【导学】
学习目标一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
师问：(1)如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？
(2)如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
(3)如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
生答：
例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D．∶2
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．3
跟踪训练1　(1)圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)
A．4πS B．2πS
C．πS D．πS
(2)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是________．
学习目标二　圆柱、圆锥、圆台的体积
师问：我们以前学过圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
生答：
　
例2 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为(　　)
A．12π B．12π
C．6π D．2π
(2)圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是________．
跟踪训练2　(1)已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为(　　)
A． B．
C．π D．π
(2)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的体积为________．
学习目标三　球的表面积和体积
师问：设球的半径为R，你能类比圆的面积公式推导方案，推导出球的体积公式吗？
生答：
例3 一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，求该球的体积．
跟踪训练3　两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　)
A．2∶3 B．4∶9
C．∶ D．∶
【导练】
1．已知某圆柱的高为10，底面周长为8π，则该圆柱的体积为(　　)
A．640π B．250π
C．160π D．120π
2．已知圆锥的底面半径为2，高为2，则其侧面积为(　　)
A．2π B．4π
C．6π D．8π
3．圆台上、下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是(　　)
A．π B．2π
C．7π D．π
4．把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为________ cm.
【导思】
(多选)在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为Sa，Sb，Sc，体积分别记为Va，Vb，Vc，则(　　)
A．Sa＋Sb≥2Sc B．Va＋Vb≥2Vc
C． D．
8．3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
导　学
学习目标一　生答：(1)圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线)．设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则有S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．
(2)圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面周长(如图)，所以S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面圆半径，l为母线长．
(3)圆台的侧面展开图是扇环，内
弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长(如图)．易知＝，解得x＝l，所以S侧＝S大扇形－S小扇形＝πR(x＋l)－πrx＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，S表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
例1　解析：(1)设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r，
∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.故选C.
(2)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.故选A.
答案：(1)C　(2)A
跟踪训练1　解析：(1)设底面半径为r，则πr2＝S，
∴r＝ ，∴底面周长为2πr＝2π ，
又侧面展开图为一个正方形，
∴侧面积是(2π )2＝4πS.故选A.
(2)根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以圆锥的表面积S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.
答案：(1)A　(2)3π
学习目标二　
生答：如图所示，由三角形相似，可得＝，变形解得H＝h，
所以H－h＝h.
则V圆台＝V大圆锥－V小圆锥＝πr2·H－πr′2(H－h)＝πh()＝πh(r2＋rr′＋r′2)．
例2　解析：(1)由题意知该圆柱的高和底面直径是2，所以该圆柱的体积为V＝Sh＝π()2·2＝6π.故选C.
(2)由题可得上底半径r＝1，下底半径R＝2.
因为S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π，
所以l＝2，所以高h＝＝，
所以V＝π·(1＋1×2＋2×2)＝.
答案：(1)C　(2)
跟踪训练2　解析：(1)设圆锥的母线为l，由题意得π×l×1＝2×π×12，解得l＝2，所以圆锥的高为h＝＝，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×12×＝，故选B.
(2)将相同的两个几何体，对接为圆柱，则所求几何体的体积是新圆柱体积的一半，所求体积为×π×202×(50＋80)＝26 000π (cm3)．
答案：(1)B　(2)26 000π cm3
学习目标三　生答：分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的体积公式．
例3　解析：设球心为O，截面圆心为O1，
连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．
在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，
∴球的半径R＝OA＝ ＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．
跟踪训练3　解析：两个球的体积之比为8∶27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为2∶3，从而这两个球的表面积之比为4∶9.故选B.
答案：B
导　练
1．解析：设圆柱底面圆半径为r，由2πr＝8π，得r＝4，
所以圆柱的体积为V＝π×42×10＝16π×10＝160π.故选C.
答案：C
2．解析：由题意，圆锥的母线长l＝＝4，底面周长为4π，
故其侧面积为S＝×4π×l＝×4π×4＝8π.故选D.
答案：D
3．解析：由圆台体积公式知V＝πh(R2＋r2＋Rr)＝×(12＋22＋1×2)＝π.故选A.
答案：A
4．解析：由题意可得大铁球的体积等于三个小球体积之和，
设大铁球的半径为r，可得πr3＝π(63＋83＋103)，
则r3＝1 728＝123，则r＝12.
答案：12
导　思
解析：
将△ABC绕边a(BC)所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，
其底面半径是b，母线长为c，高为a，
所以其体积Va＝·πb2·a＝b2a，其侧面积Sa＝πbc；
将△ABC绕边b(AC)所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，
其底面半径是a，母线长为c，高为b.
所以其体积Vb＝·πa2·b＝a2b，其侧面积Sb＝πac；
将△ABC绕边c(AB)所在的直线旋转一周形成的几何体是两个底面重合的圆锥，
其底面半径是，母线长分别为a和b，高之和为c，
所以其体积Vc＝·π·c＝，其侧面积Sc＝π··a＋π··b＝(a＋b)．
对于A：Sa＋Sb＝π(a＋b)c＝(a＋b)c2＝(a＋b)(a2＋b2)≥(a＋b)·2ab＝2Sc，当且仅当a＝b时取等号，故A正确；
对于B：Va＋Vb＝b2a＋a2b＝·>·＝＝2Vc，故B正确；
对于C：＝＝＝，而＝，所以，故C错误；
对于D：＝＝＝＝，故D正确．故选ABD.
答案：ABD