8.4.1 平面 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

8.4.1　平面
【课标要求】　1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.3.掌握关于平面基本性质的三个基本事实．
【导学】
学习目标一　平面的概念、画法及表示
　师问：生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？
生答：
例1 (多选)下列命题正确的是(　　)
A．三角形是平面图形
B．四边形是平面图形
C．四边相等的四边形是平面图形
D．所有的平面都是无限延展的
跟踪训练1　如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　)
A．平面MN B．平面NQP
C．平面α D．平面MNPQ
学习目标二　点、线、面之间的关系
　师问：如图，如何用符号表示点在直线上、直线在平面内？
生答：
例2 用符号表示下列语句，并画出图形：
(1)点A在平面α内但在平面β外；
(2)直线a经过平面α内一点A，平面α外一点B；
(3)直线a在平面α内，也在平面β内．
跟踪训练2　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1)l α，m∩α＝A，A l；
(2)P∈l，P α，Q∈l，Q∈α.
学习目标三　基本事实及应用
师问：在凹凸不平的地面上放一个三条腿的凳子和一个四条腿的凳子，哪个稳定？若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？两张纸面相交有几条交线？
生答：
微点 1 点、线共面问题
例3 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明点、线共面的两种常用方法
跟踪训练3　如图，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
微点 2 三点共线问题
例4 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．
证明三点共线的方法
跟踪训练4　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
微点 3 线共点问题
例5 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
跟踪训练5　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点．
【导练】
1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是(　　)
2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
3．如图所示，用符号语言可表示为(　　)
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
4．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．
【导思】
如图，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上；
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
8．4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1　平面
导　学
学习目标一　生答：无限延展、不计大小、不计厚薄等．
例1　解析：
根据平面的概念和相关的基本事实可知，三角形一定是平面图形，所有的平面都是无限延展的，故A，D正确；如图在正方体ABCD A1B1C1D1中四边形ACB1D1的四边均相等，但是四边形ACB1D1不是平面图形，故B，C错误．故选AD.
答案：AD
跟踪训练1　解析：表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.由题可知A错误，BCD正确．故选A.
答案：A
学习目标二　生答：P∈l，l α.
例2　解析：(1)因为点A在平面α内但在平面β外，所以可以用下图表示：
(2)因为直线a经过平面α内一点A，α外一点B，所以可以用下图表示：
(3)因为直线a在平面α内，也在平面β内，即α＝a，所以可以用下图表示：
跟踪训练2　解析：(1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如下图所示：
(2)直线l经过平面α外一点P和平面α上一点Q，如下图所示：
学习目标三　生答：三条腿的凳子稳定；直尺的边缘上的其余点在桌面上；两张纸面相交有一条交线．
例3　证明：方法一(纳入法)
∵l1＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(同一法)
∵l1＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
跟踪训练3　证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a β，点P∈β.因为P∈b，b α，所以P∈α.又因为a α，P a，所以α与β重合，所以PQ α.
例4　证明：MN∩EF＝Q，
∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴M，N∈平面ABCD，
∴MN 平面ABCD.
∴Q∈平面ABCD.
同理，可得Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
跟踪训练4　证明：方法一　∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC，
∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
方法二　∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∴Q∈平面APR，又∵Q∈α，∴Q∈PR.
∴P，Q，R三点共线．
例5　证明：连接EF，D1C，A1B，
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥A1B，EF＝A1B，
又∵A1B∥D1C，A1B＝D1C，
∴EF∥D1C，EF＝D1C，
∴E，F，D1，C四点共面，且四边形EFD1C为梯形．
∵EF设D1F＝P，如图，
∵D1F 平面AA1D1D，P∈D1F，
∴P∈平面AA1D1D，
又∵CE 平面ABCD，P∈CE，
∴P∈平面ABCD，
∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
又∵平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线交于一点．
跟踪训练5　证明：∵在梯形ABCD中，
AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M，
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB α，CD β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，∴AB，CD，l共点．
导　练
1．解析：选项B，C中直线a在平面α外，选项D中直线a与平面α相交，选项A中直线a在平面α内．故选A.
答案：A
2．解析：点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a α，B∈α.故选B.
答案：B
3．解析：由图知α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，
则正确的符号语言应是：α＝m，n α，m＝A.故选A.
答案：A
4．解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．
答案：3
导　思
解析：(1)连接BD，若EH＝P，则P∈平面ABD，且P∈平面BCD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.
(2)连接AC，若EF＝Q，则Q∈平面ABC，且Q∈平面ACD，∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴Q∈AC.
答案：(1)BD　(2)AC