8.5.1 直线与直线平行 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

8.5.1　直线与直线平行
【课标要求】　1.了解基本事实4和等角定理.2.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系．
【导学】
学习目标一　基本事实4
　师问：将一张长方形的纸如图对折几次后打开，观察这些折痕有怎样的位置关系，并推测平面几何中“平行线的传递性”在空间是否成立．
生答：
例1 如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
总结：应用基本事实4证明两条直线平行，关键找到第三条直线. 找第三条直线的依据是三角形中位线定理、平行线分线段成比例等．
跟踪训练1　如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
学习目标二　空间等角定理
　师问：在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
生答：
例2 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．
求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
总结：运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．
跟踪训练2　如图，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB.
【导练】
1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
2．
如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
3．
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1(　　)
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
4．
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________.
【导思】
已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若.证明：四边形EFGH为梯形．
8．5　空间直线、平面的平行
8．5.1　直线与直线平行
导　学
学习目标一　生答：平行，成立．
例1　证明：(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EH∥BD，EH＝BD.
因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．
跟踪训练1　证明：∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，
∴BE＝B′E′.
∵BE∥B′E′，
∴四边形EBB′E′是平行四边形，
∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′，
∴EE′∥FF′.
学习目标二　生答：仍然成立．
例2　证明：
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BF＝A1M，
又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM，
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M∥C1B1.
而C1B1∥BC，∴F1M∥BC，∴四边形F1MBC为平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，
∴A1F∥CF1.
同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
跟踪训练2　证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点，所以BN綉C1P，所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1N∥BP.同理可证C1M∥AP.又∠MC1N与∠APB的两边方向相同，所以∠MC1N＝∠APB.
导　练
1．解析：如图，
当∠AOB＝∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1不一定平行．故选D.
答案：D
2．解析：由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD，BC，A1D1，所以共有4条．故选B.
答案：B
3．解析：由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补．故选B.
答案：B
4．解析：在△ABC中，
因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.
又在三棱柱ABC A1B1C1中，BC∥B1C1，
所以EF∥B1C1.
答案：平行
导　思
证明：如图，
在△ABD中，因为＝＝，
所以EH∥BD且EH＝BD.
在△BCD中，因为＝＝，
所以FG∥BD且FG＝BD，
所以EH∥FG且EH>FG，
所以四边形EFGH为梯形．