3.1.1《函数的概念》课时教案（表格式）-2025--2026年人教A版高中数学必修第一册

3.1.1《函数的概念》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 新课标人教A版高中数学必修第一册 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节课是高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》的起始课，是学生从初中“变量说”函数向高中“对应关系说”函数过渡的关键节点。教材通过生活实例引入函数概念，强调集合语言和对应关系的表达，突出函数的本质特征——单值对应。内容包括函数的定义、三要素（定义域、对应法则、值域）、函数符号f(x)的理解与应用，为后续学习基本初等函数、函数的单调性、奇偶性等奠定理论基础。
学情分析
高一学生在初中已初步接触函数，但多停留在“变化过程中两个变量之间的依赖关系”的直观理解层面，缺乏用集合与对应的语言进行抽象表述的能力。学生刚进入高中，正处于由形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，对符号化、形式化的数学语言接受度较低。部分学生存在畏难情绪，尤其面对f(x)这一抽象符号时易产生困惑。突破措施：采用情境探究法，从生活实例出发，引导学生经历“具体→抽象→再具体”的认知过程，借助图表、动画辅助理解，逐步建立函数的现代定义。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从气温随时间变化、路程随时间变化等实际情境中识别出两个变量之间的依赖关系，感知函数的存在。
2. 能结合具体实例，描述变量间的对应规律，体会函数是刻画现实世界数量关系的重要模型。
思考现实世界
1. 能运用集合语言准确表述函数的定义，理解函数是由非空数集A到B的一种特殊对应关系。
2. 能辨析函数的三要素，判断两个函数是否相同，并能根据给定条件求简单函数的定义域和值域。
表达现实世界
1. 能正确使用函数符号f(x)表示函数关系，理解其含义并进行简单的代入计算。
2. 能用三种表示方法（解析法、列表法、图像法）描述同一函数，理解它们之间的联系与转换。
核心素养发展
1. 在抽象概括函数本质的过程中，提升数学抽象与逻辑推理能力。
2. 在解决实际问题中体会函数的应用价值，增强数学建模意识。
教学重点、难点
重点
1. 函数的现代定义及其三要素的理解与应用。
2. 函数符号f(x)的意义及基本运算。
难点
1. 从“变量依赖”到“集合对应”的抽象跃迁，理解函数的本质是“单值对应”。
2. 对函数符号f(x)的深层理解，区分f与f(x)，避免将f(x)误认为是一个乘积。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作学习法、讲授法相结合
教具准备
多媒体课件、函数关系卡片、实物投影仪、课堂练习单
教学环节 教师活动 学生活动
情境导入，感知函数
【6分钟】 一、创设真实情境，激发认知冲突 （一）、播放视频片段：某城市一天24小时气温变化折线图。
教师引导语：“同学们，请看这幅气温随时间变化的图像。横轴是时间t（单位：小时），纵轴是气温T（单位：℃）。请大家观察：当时间为8点时，对应的气温是多少？当时间为14点时呢？”等待学生回答后继续提问：“那么，在这一天中的任意一个确定的时间点，会不会出现两个不同的气温值？比如8点既是20℃又是25℃？”引导学生明确：“不会，每一个时刻都唯一对应一个气温值。”
（二）、呈现第二个情境：自由落体运动中下落距离与时间的关系。
出示公式：s = 4.9t （s单位：米，t单位：秒）。提问：“如果物体下落了2秒，它下落的距离是多少？计算得s=4.9×4=19.6米。那么，对于每一个确定的下落时间t，是否都能算出唯一的下落距离s？反过来，如果我们知道s=19.6米，能否反推出唯一的t值？”引导学生发现：虽然每个t对应唯一s，但每个s可能对应两个t（正负根），从而引出“单向唯一性”的重要特征。
（三）、提出驱动性问题，开启探索之旅。
教师总结：“刚才我们看到，无论是气温与时间，还是距离与时间，都存在着一种‘一个输入对应一个输出’的规律。这种规律在数学中有一个专门的名字——函数。今天，我们就来揭开它的神秘面纱，系统地学习《函数的概念》。”板书课题。 1. 观察图像，回答具体数值问题。
2. 参与讨论，判断是否存在“一对多”现象。
3. 思考教师提出的对比性问题，形成初步感知。
4. 明确本节课的学习主题和目标。
评价任务 观察能力：☆☆☆
表达清晰：☆☆☆
参与度高：☆☆☆
设计意图 以贴近生活的气温变化和物理实验为切入点，唤醒学生的已有经验，通过直观图像和简单计算引发对“对应关系”的关注。设置认知冲突（如s=4.9t 中t的正负问题），促使学生意识到初中“变量说”的局限性，激发他们寻求更精确、更一般化定义的欲望，自然过渡到高中函数概念的学习。
建构概念，深化理解
【15分钟】 一、抽象概括，形成定义 （一）、回顾旧知，揭示矛盾。
教师提问：“在初中，我们是怎么定义函数的？”引导学生回忆：“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么就说y是x的函数。”接着追问：“这里的‘变化过程’‘变量’等词语比较模糊，能不能用更精确的数学语言来描述这种对应关系？”启发学生思考如何摆脱“变化”的动态描述，转向静态的集合间关系。
（二）、引入集合语言，构建新定义。
教师展示三个例子：
① A={1,2,3}, B={4,5,6}，对应关系：1→4, 2→5, 3→6
② C={a,b,c}, D={m,n}，对应关系：a→m, b→n, c→m
③ E={x|x≥0}, F=R，对应关系：x→√x
提问：“这三个例子中，哪些可以构成函数？为什么？”组织学生小组讨论，重点关注是否满足“任意一个输入对应唯一一个输出”。通过辨析例②（c→m合法）和排除“一对多”情况（如若a同时→m和n则不行），引导学生归纳出函数的核心特征：非空集合A中的任一元素，在集合B中有且仅有一个元素与之对应。
（三）、正式给出函数的现代定义。
在学生充分讨论的基础上，教师板书标准定义：“设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。”逐字解读关键词：“非空数集”“任意一个”“唯一确定”“对应关系f”“f(x)”的含义。特别强调f是对应法则本身，而f(x)是该法则作用于x后的结果，即函数值。
二、剖析三要素，巩固本质 （四）、分解函数的三大要素。
教师以气温函数为例说明：“在这个函数中，所有可能出现的时间构成了定义域A；所有可能的气温值构成了值域C（注意不是全体实数B）；而‘查表或读图得到对应气温’这一规则就是对应法则f。”明确指出：函数由定义域、对应法则、值域三者共同决定，其中定义域和对应法则是基础，值域由前两者唯一确定。
（五）、辨析练习，强化认知。
出示两组函数：f(x)=x (x∈R) 与 g(x)=x (x≥0)，提问：“这两个函数相同吗？”引导学生发现定义域不同，故不是同一函数。再出示：h(x)=|x| 与 k(x)=√(x )，让学生验证二者在相同定义域下是否恒等，从而理解不同表达式可能代表同一函数。通过这些对比，深化对“三要素决定函数”的理解。 1. 回忆并复述初中函数定义。
2. 分组讨论三个例子是否构成函数。
3. 归纳函数的本质特征。
4. 理解并记忆高中函数的精确定义。
评价任务 归纳准确：☆☆☆
辨析清晰：☆☆☆
理解深入：☆☆☆
设计意图 通过“旧知—矛盾—抽象—定义”的路径，帮助学生完成从经验感知到理性建构的认知飞跃。利用具体的集合对应案例，降低抽象门槛，让学生在操作中领悟“单值对应”的严格要求。通过对三要素的拆解与辨析，打破学生对函数仅限于公式的刻板印象，建立起完整的概念框架，为后续学习扫清障碍。
符号突破，掌握表达
【12分钟】 一、破解f(x)迷思，理解符号意义 （一）、直面常见误解，开展“诊断式”教学。
教师提问：“很多同学第一次看到f(x)，会把它看成f乘以x，这是真的吗？”允许学生坦诚自己的困惑。然后举例说明：假设f表示“取平方”这个操作，那么f(2)=4，f(3)=9，显然不是f×2或f×3。类比：“就像‘妈妈’这个名字不代表‘妈’和‘妈’相乘一样，f是一个名字，代表一种规则。”
（二）、多角度诠释f(x)的内涵。
教师进一步解释：f是函数的名字，好比人的姓名；f(x)是当输入为x时，函数f的输出结果，即函数值。可以比喻为“机器模型”：把x投入一台名为f的机器，经过内部加工（对应法则），产出f(x)。也可以用“邮箱投递”比喻：每个地址x对应唯一一个邮箱f(x)。
（三）、动手实践，体验符号运算。
布置任务：已知函数f(x)=2x+1，求f(0), f(1), f(-1), f(a), f(x+1)。请学生逐一计算并展示过程。特别强调f(x+1)≠f(x)+1，而是将x+1整体代入表达式，得f(x+1)=2(x+1)+1=2x+3。通过具体演算，让学生亲身体验f(x)作为“运算模板”的功能。
二、认识多种表示方法 （四）、介绍函数的三种表示法。
教师说明：“函数不仅可以写成公式，还可以用表格、图像来表示。”随即展示同一函数——某班学生身高统计——的三种表达方式：
① 解析式：略（因个体有限不适用通式）
② 列表法：列出学号与身高的对应表
③ 图像法：绘制散点图（学号为横坐标，身高为纵坐标）
强调三种方法各有优势：解析法便于运算，列表法直观明了，图像法趋势清晰。
（五）、组织小组活动：匹配游戏。
发放卡片，每组包含若干函数的不同表示形式（如一个公式、一张表格、一幅图像），要求学生合作将其归类为同一函数。例如：f(x)=x 的图像是一条抛物线，其部分取值表为x: -1,0,1 → y:1,0,1。通过动手操作，加强学生对“同一函数可多形式表达”的理解。 1. 坦诚交流对f(x)的误解。
2. 理解f与f(x)的区别与联系。
3. 完成代入计算任务，掌握f(x)用法。
4. 参与匹配游戏，识别函数的不同表示。
评价任务 符号理解：☆☆☆
计算准确：☆☆☆
迁移灵活：☆☆☆
设计意图 针对学生普遍存在的“f(x)即乘法”误区，采取“暴露—纠正—强化”的策略，运用生活化比喻化解抽象符号的心理障碍。通过代入训练，使学生熟练掌握函数符号的基本操作。设计“匹配游戏”活动，让学生在实践中体会函数表达的多样性，促进符号语言、图形语言与文字语言之间的自由转换，提升数学表达能力。
应用迁移，内化提升
【9分钟】 一、解决实际问题，体现函数价值 （一）、布置真实任务：手机流量计费方案选择。
情境设定：某运营商提供两种套餐：
方案A：月租30元，超出部分每GB收费10元；
方案B：无月租，每GB收费15元。
设用户每月使用流量为x GB，费用为y元。要求学生分别写出两种方案的费用y关于x的函数解析式，并注明定义域。
引导分析：对于方案A，当x≤一定额度（如5GB）时，费用为30元；超过则需加收。此处可简化为不分档，直接y=30+10x（x≥0）；方案B：y=15x（x≥0）。
（二）、组织合作探究，绘制图像比较。
指导学生在同一坐标系中画出两个函数的图像（均为射线），观察交点位置，讨论在何种使用量下选择哪种方案更划算。例如，令30+10x=15x x=6，即当使用量小于6GB时选B便宜，大于6GB时选A划算。
二、拓展认知边界，感受函数普适性 （三）、提出开放性问题，引发深层思考。
提问：“是不是所有事物之间都有函数关系？”引导学生举例反驳，如“一个人的身高和体重”并非函数（同身高可能有不同体重）；“学生的姓名和学号”是函数（一一对应）；“班级座位号与学生姓名”也是函数。进而说明：函数描述的是具有“唯一性”的对应关系，广泛存在于科学、经济、生活中，是我们理解和预测世界的有力工具。 1. 阅读问题情境，提取关键信息。
2. 写出分段或整式函数表达式。
3. 合作绘图，分析最优选择区间。
4. 举例说明生活中函数与非函数关系。
评价任务 建模能力：☆☆☆
图像分析：☆☆☆
举例恰当：☆☆☆
设计意图 通过“手机资费”这一贴近学生生活的现实问题，引导学生经历“实际问题→数学建模→图像分析→决策支持”的完整过程，深刻体会函数的应用价值。鼓励学生主动寻找生活中的函数实例，既检验了概念掌握程度，又拓宽了数学视野，认识到数学不仅是书本知识，更是洞察世界的思维方式。
课堂小结，升华认知
【3分钟】 一、结构化回顾，凝练核心要点 （一）、师生共同梳理本节课知识脉络。
教师引导：“今天我们穿越了从生活现象到数学抽象的旅程。我们知道了函数不是一个公式，也不是一个图像，而是一种特殊的对应关系——只要是从一个非空数集到另一个数集的‘一对一’或‘多对一’的单值对应，就是函数。它的身份证是三要素：定义域、对应法则、值域。而f(x)不是乘法，它是这个法则作用于x的结果。”
（二）、引用名言，升华数学精神。
结束语：“著名数学家克莱因曾说：‘音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。’函数，正是这座宏伟数学殿堂的第一块基石。愿你们带着今天的理解，勇敢走进函数的世界，去发现更多隐藏在数字背后的秩序之美！” 1. 跟随教师回顾主要知识点。
2. 理解函数的本质与意义。
3. 感受数学的文化魅力。
4. 树立继续探索的信心。
评价任务 总结完整：☆☆☆
理解到位：☆☆☆
情感共鸣：☆☆☆
设计意图 通过结构化总结帮助学生构建清晰的知识网络，强化对函数本质的理解。引用数学名家言论，将一节数学课上升至文化与哲思的高度，激发学生的学科兴趣与探索热情，实现知识传授与价值引领的统一。
作业设计
一、基础巩固：辨析与计算
1. 判断下列对应是否为函数（是打“√”，否打“×”）：
　　(1) A={1,2,3}, B={4,5}, f:1→4, 2→5, 3→4　　　　　（　）
　　(2) C={a,b}, D={m,n}, g:a→m, a→n　　　　　　　（　）
　　(3) 实数集R到自身，h:x→x 　　　　　　　　　　（　）
2. 已知函数f(x)=3x 5，求：f(2), f(0), f( 1), f(a+1)
3. 写出下列函数的定义域：
　　(1) f(x)=√(x 2)　　　(2) g(x)=1/(x 3)　　　(3) h(x)=x +1
二、能力提升：建模与表达
4. 某市出租车起步价8元（含3公里），超过3公里后每公里收费2元，不足1公里按1公里计费。设行驶里程为x公里（x>0），车费为y元。
　　(1) 写出y关于x的函数解析式（提示：使用分段函数）；
　　(2) 计算行驶5.2公里应付多少车费？
5. 请举出一个生活中的函数实例，并用你喜欢的方式（文字、表格、图像或公式）表示出来。
【答案解析】
一、基础巩固
1. (1) √ （每个输入对应唯一输出）
　 (2) × （a对应两个值，违反唯一性）
　 (3) √ （任意实数平方后唯一）
2. f(2)=1, f(0)= 5, f( 1)= 8, f(a+1)=3(a+1) 5=3a 2
3. (1) [2,+∞)　(2) ( ∞,3)∪(3,+∞)　(3) R
二、能力提升
4. (1) y = { 8, 　　　　　　0　　　　　 8 + 2× x 3 , 　x>3 } （ 表示向上取整）
　 (2) 5.2 3 = 2.2 =3，故y=8+2×3=14元
5. 示例：某快递公司省内首重1公斤内10元，续重每公斤加收6元。设包裹重量为w公斤（w>0），邮费p元，则：
　　p = { 10, 　　　　　　　0　　　　 10 + 6× w 1 , 　w>1 }
板书设计
3.1.1函数的概念
　　　　　　　　　核心定义　　　　　　　　　　　
　设A、B是非空数集，若存在对应关系f，使得对于A中任意一个x，
在B中都有唯一确定的f(x)与之对应，则称 f:A→B 为一个函数。
三大要素：
　　定义域 A —— 输入集合（起点）
　　对应法则 f —— 运算规则（核心）
　　值域 C B —— 输出集合（终点）
符号警示：
　　f ≠ f(x)　　f 是函数名，f(x) 是函数值
　　f(x) ≠ f × x　不是乘法！
三种表示：
　　解析法：y = 2x + 1
　　列表法：x | 1 2 3 　　图像法：↗（直线）
　　　　　　y | 3 5 7
教学反思
成功之处
1. 情境导入贴近生活，通过气温与自由落体两个实例有效激活了学生经验，成功引发对“唯一对应”的关注。
2. 采用“集合对应”案例辨析的方式突破抽象定义，学生参与度高，多数能准确判断函数关系。
3. 针对f(x)的误解设计了专项破解环节，结合比喻与计算，显著降低了学生的符号焦虑。
不足之处
1. 在分段函数的应用题中，部分学生对“向上取整”概念陌生，影响建模准确性，今后应提前铺垫相关生活常识。
2. 小组匹配游戏中，个别小组过于依赖图像识别，忽视了解析式与表格的内在联系，合作深度有待加强。
3. 课堂时间紧张，最后的开放性讨论未能充分展开，可考虑延伸至课后探究任务。