3.1.2《函数的表示法》课时教案（表格式）-2025--2026年人教A版高中数学必修第一册

3.1.2《函数的表示法》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 新课标人教A版必修第一册 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容位于人教A版高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》的第二节，是继“函数的概念”之后的重要延伸。教材通过三种基本表示方法——解析法、列表法和图像法，系统呈现了函数的不同表达形式，强调不同表示方式之间的转换与联系。该节内容不仅是函数学习的基础工具，更是后续研究函数单调性、奇偶性、周期性等性质的前提。教材注重从实际问题出发，引导学生体会函数建模的思想，体现了数学抽象与直观想象的核心素养。
学情分析
高一学生已初步掌握函数的基本概念，理解了“对应关系”的本质，具备一定的代数运算能力。但对函数的多种表示方式缺乏整体认知，尤其在图像与解析式之间转换时存在思维障碍。此外，学生习惯于被动接受知识，自主探究与合作交流意识较弱。针对此，教学中应创设真实情境，激发兴趣；借助信息技术动态演示，增强直观感知；设计阶梯式任务，帮助学生突破“形”与“数”的转化难点，提升数学建模与逻辑推理能力。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从生活实例（如气温变化、路程时间关系）中识别变量间的函数关系，并选择合适的表示方法进行描述。
2. 能结合具体情境，理解不同表示法在刻画现实问题中的优势与局限，体会数学源于生活的思想。
思考现实世界
1. 能通过对比分析三种表示法的特点，归纳其适用条件，并能在不同表示形式间进行准确转换。
2. 能运用函数表示法解决简单的实际问题，发展逻辑推理与数学建模能力。
表达现实世界
1. 能规范使用数学语言和符号，清晰表达函数的三种表示方式及其相互关系。
2. 能在小组合作中准确陈述自己的观点，倾听他人意见，形成有效沟通与协作的学习习惯。
创新应用拓展
1. 能尝试用函数表示法解释新的生活现象，提出个性化的问题解决方案。
2. 能借助信息技术工具绘制函数图像，探索函数规律，培养数字化学习与创新能力。
教学重点、难点
重点
1. 掌握函数的三种基本表示方法：解析法、列表法、图像法。
2. 理解三种表示法之间的内在联系，能根据需要进行合理选择与转换。
难点
1. 从图像中提取信息并转化为解析式或表格数据。
2. 理解分段函数的表示及其在现实生活中的意义。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法、议题式教学法
教具准备
多媒体课件、几何画板软件、温度记录表、坐标纸、投影仪
教学环节 教师活动 学生活动
一、情境导入：城市气温的一天之旅
【6分钟】 一、创设真实情境，引发认知冲突 （一）、播放一段城市气象站全天气温监测视频片段。
画面显示：清晨6点，气温8℃；上午10点，升至16℃；中午12点，达到20℃；下午2点，峰值23℃；傍晚6点，回落到18℃；晚上10点，降至12℃。同时，屏幕上动态生成一条起伏的折线图，标注出各个时刻对应的温度值。
提问引导：“同学们，刚才我们看到的是某城市一天内气温随时间变化的过程。如果我们想把这个过程告诉一个没看过视频的人，有哪些方式可以描述？请你们小组讨论一下。”
预设学生回答可能包括：可以说“早上冷，中午热，晚上又凉了”；也可以列个表写时间和温度；还可以画个图……
教师顺势总结：“很好！其实这正是我们在数学中研究‘函数’时常用的几种表达方式。今天我们就来深入学习——函数的表示法。”随即在黑板上写下课题：3.1.2 函数的表示法。
（二）、引出核心议题：哪种方式最能精准传达气温变化规律？
继续追问：“如果我们要预测明天同一时间的气温，或者计算白天最高温与夜间最低温的差值，你觉得刚才提到的方式中，哪一种最方便、最准确？为什么？”
引导学生意识到：口头描述太模糊，不利于精确分析；列表虽然具体，但看不出趋势；图像则能直观反映增减变化。由此激发学生对不同表示法优劣比较的兴趣，为后续探究埋下伏笔。
过渡语：“正如苏轼所言：‘横看成岭侧成峰，远近高低各不同。’同一个事物，从不同角度看，会有不同的呈现方式。函数也是如此。接下来，就让我们化身‘数学侦探’，逐一破解这三种表示法的秘密。” 1. 观看气温变化视频，感受变量之间的依赖关系。
2. 小组讨论描述气温变化的方法，分享想法。
3. 思考不同描述方式的优缺点，形成初步判断。
4. 明确本节课的学习主题和探究方向。
评价任务 描述方式多样：☆☆☆
关注数据特征：☆☆☆
提出合理质疑：☆☆☆
设计意图 以贴近生活的气温变化为切入点，创设真实而富有挑战性的情境，迅速吸引学生注意力。通过设问引发认知冲突，促使学生主动思考“如何表达变化规律”这一核心问题，自然引出本课主题。引用古诗增添文化韵味，提升课堂意境，体现数学的人文价值。
二、探秘三法：解析·列表·图像大比拼
【18分钟】 一、分组探究，揭开三种表示法面纱 （一）、第一探险小队：解析法——用公式说话
发放学习任务单，上面印有一道例题：“一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶，路程s（单位：km）与时间t（单位：h）的关系如下表所示”。表格列出t=1,2,3,4时，s分别为60,120,180,240。
引导学生观察数据规律：“请大家仔细看这张表，当时间每增加1小时，路程增加了多少？你能用一个含有t的式子来表示s吗？”
待多数学生得出s=60t后，教师讲解：“这种用数学式子来表示两个变量之间关系的方法，叫做‘解析法’。它的最大优点就是简洁明了，便于进行精确计算和理论推导。比如，你想知道行驶5.5小时走了多远，直接代入公式即可。”
进一步提问：“但这个公式有没有什么限制条件？比如t能不能取-2？”引导学生认识到函数定义域的重要性，强调实际问题中自变量的取值范围必须符合现实意义。
（二）、第二探险小队：列表法——让数据说话
展示一份真实的“某日便利店 hourly 销售额统计表”，包含从9:00到21:00共13个时间段的销售额数据。例如：9:00—120元，10:00—180元，11:00—260元……18:00—320元，19:00—280元等。
提问：“如果你是店长助理，需要向经理汇报这一天的销售高峰出现在哪个时段，你该怎么办？这份表格能直接告诉我们答案吗？”
学生很快能找到最大值对应的时间段。教师总结：“这就是列表法的优势——它直接呈现具体数值，无需计算就能快速查找特定时刻的数据，在实验测量、统计数据等领域非常实用。”
接着设疑：“但如果我想知道10:30的销售额大概是多少？表格里有吗？这时候怎么办？”引导学生发现列表法的局限：无法提供未列出时刻的信息，也不易看出整体变化趋势。
（三）、第三探险小队：图像法——让图形说话
利用几何画板软件，将上述销售额数据绘制成散点图，并连接成折线图。图像清晰地显示出上午逐步上升、下午达到峰值后缓慢下降的趋势。
邀请一位学生上台操作鼠标，拖动光标沿曲线移动，实时读取某时刻的大致销售额。“现在你能估计10:30的销售额了吗？大约是多少？”学生根据图像位置作出判断，如约220元。
教师强调：“图像法的最大魅力在于‘一目了然’。它能直观展现函数的整体变化趋势、极值点、增减区间等关键特征，这是其他两种方法难以比拟的。”
随后提出挑战：“既然图像这么好，那我们能不能反过来，从这张图写出它的解析式呢？”引发学生思考图像与解析式的互化难题，为后续难点突破做铺垫。 1. 分组领取任务卡，围绕指定表示法展开探究。
2. 分析案例数据，归纳该表示法的特点与适用场景。
3. 讨论其优势与不足，准备小组汇报材料。
4. 派代表展示研究成果，参与全班交流。
评价任务 公式推导正确：☆☆☆
数据读取准确：☆☆☆
图像趋势判断：☆☆☆
设计意图 采用“探险小队”项目式学习模式，赋予学生角色感与使命感，增强参与动力。每个小组聚焦一种表示法，通过真实案例分析，自主归纳特点，实现深度建构。利用现代教育技术动态演示图像变化，强化直观感知。层层设问推动思维递进，既肯定优点也揭示局限，培养学生辩证思维能力。
三、融会贯通：三法互译实战营
【12分钟】 一、双向转换训练，打通思维壁垒 （一）、任务一：由表及图——绘制心率变化曲线
给出“某运动员跑步中心率随时间变化”的数据表：时间t（min）为0, 5, 10, 15, 20；对应心率f(t)（次/分）为70, 100, 130, 150, 140。
要求全体学生在下发的坐标纸上完成以下操作：①建立平面直角坐标系；②描出五个数据点；③用光滑曲线连接各点，形成心率变化图像。
教师巡视指导，重点关注学生是否正确标注单位、是否合理连线（非简单折线）。完成后投影优秀作品，请学生解读：“从图像上看，这位运动员的心率经历了怎样的变化过程？”引导说出“先快速上升，后趋于平稳，最后略有下降”的结论。
（二）、任务二：由图析式——破解阶梯水价之谜
出示一张“某市居民生活用水阶梯计费示意图”。图像分为三段：第一段（0≤x≤15），y=3.5x；第二段（1525），y=7.0(x 25)+105。x为用水量（吨），y为水费（元）。
提问：“这张图看起来像楼梯，你知道它代表什么意思吗？为什么会出现这种‘台阶式’的变化？”
组织小组讨论，鼓励学生结合生活经验解释“阶梯定价”的含义——用量越多，单价越高，旨在节约资源。
进一步挑战：“你能根据图像写出这个函数的解析式吗？注意，不同区间的表达式不一样。”引导学生认识“分段函数”的概念，示范规范书写：
强调每一段的定义域，说明常数项是如何从前一段末尾累计而来。
（三）、任务三：综合应用——谁更适合送外卖？
设置真实决策情境：两位骑手，甲按“固定工资+提成”模式：月收入y = 3000 + 5x（x为接单数）；乙按“纯提成”模式：前100单每单6元，超过部分每单8元， 提问：“如果你是平台经理，要推荐新人加入，你会建议他选哪种模式？为什么？”
引导学生分别画出两者的图像，寻找交点，分析在不同订单量下的收益差异，最终得出“低单量选甲，高单量选乙”的理性结论，体现函数建模的实际价值。 1. 动手绘制函数图像，体验“数”转“形”的过程。
2. 观察图像特征，尝试写出分段函数解析式。
3. 进行函数模型比较，做出合理决策判断。
4. 在实践中深化对函数表示法的理解与应用。
评价任务 描点连线规范：☆☆☆
分段表达准确：☆☆☆
决策依据充分：☆☆☆
设计意图 通过“三法互译”系列任务，促进学生在不同表示方式间自由切换，打破思维定势，提升数学转化能力。引入“阶梯水价”“外卖收入”等社会热点话题，增强学习的时代感与责任感。分段函数的引入顺理成章，化解难点。综合应用题培养学生数据分析与理性决策能力，落实立德树人根本任务。
四、升华总结：函数之美，数形共生
【6分钟】 一、结构化回顾与哲思升华 （一）、构建知识网络图
引导学生共同完成板书右侧的知识结构图：
居中写“函数的表示法”，下方分出三个分支：“解析法（公式）”、“列表法（数据）”、“图像法（图形）”。再分别标注各自的特点：解析法——精确、可算；列表法——具体、易查；图像法——直观、显势。
用双向箭头连接三者，注明“可相互转化”，并指出“分段函数”是特殊而重要的表达形式。
（二）、开放式反思提问
提出问题：“如果只能保留一种表示法，你会选择哪一种？为什么？如果三种都不能用，你还能想到别的方法吗？”
鼓励学生自由发言，有的说“我选解析式，因为它最科学”，有的说“我选图像，因为看得懂”，甚至有学生提出“可以用动画模拟变化过程”。尊重多元观点，强调各有千秋。
（三）、激励性结语与人生启迪
深情总结：“同学们，今天我们看到了函数的三种面孔。它们就像三位性格迥异的朋友：解析法严谨理性，像科学家；列表法踏实细致，像会计师；图像法敏锐直观，像艺术家。真正的数学智慧，不在于偏爱哪一个，而在于懂得何时该请谁出场。”
升华主题：“人生亦如此。面对复杂问题，我们需要像解析法一样冷静分析，像列表法一样脚踏实地，也要像图像法一样登高望远，看清全局。愿你们在未来的人生旅途中，既能精于计算，也能洞察趋势，做一个既有逻辑又有眼光的人。” 1. 参与构建知识网络，梳理本节要点。
2. 反思学习收获，表达个人见解。
3. 倾听教师总结，感悟数学哲理。
4. 树立积极态度，展望未来发展。
评价任务 知识结构完整：☆☆☆
观点表达清晰：☆☆☆
情感共鸣强烈：☆☆☆
设计意图 采用“结构化+开放性+激励性”三重总结策略，兼顾知识巩固与精神引领。通过绘制思维导图帮助学生形成系统认知；开放提问鼓励批判性思维；结尾融入人生哲理，将数学学习升华为成长启示，体现“课程育人”的深层价值，让学生带着感动与思考离开课堂。
五、作业设计：知行合一，学以致用
【3分钟】 一、基础巩固与实践拓展 （一）、必做题：课本练习迁移
完成教材第73页练习第1、2、3题：
1. 已知函数 f(x) 的图像如下图所示（附简图：折线过点( 2,0),(0,2),(2,0)），请填写下表：
x -2-1012f(x)
并写出该函数的解析式（提示：分段函数）。
2. 某市出租车起步价10元（含3公里），超出部分每公里2元。请用解析法写出车费 y（元）与行驶里程 x（公里）（x > 3）的函数关系式，并画出其图像（0 ≤ x ≤ 10）。
3. 下列函数中，哪些适合用列表法表示？哪些适合用图像法？说明理由。
① 某班级学生身高统计
② 自由落体运动位移与时间关系 s = gt
③ 某股票每日收盘价
④ 圆的周长 C 与半径 r 的关系 C = 2πr
（二）、选做题：项目式探究任务
请选择一个你感兴趣的生活现象（如手机电量消耗、奶茶销量与天气关系、自己每周零花钱支出等），连续记录5天相关数据，然后：
① 制作一张数据表；
② 绘制对应的函数图像；
③ 尝试拟合一个简单的解析式（可用平均变化率估算斜率）；
④ 写一段文字说明，分析该现象的变化规律，并预测未来趋势。
成果将以“我的生活函数报告”为主题在班级展评，优秀作品将推荐至校刊发表。 1. 独立完成书面作业，巩固基础知识。
2. 自主选择探究课题，开展课外实践。
3. 收集真实数据，进行函数建模尝试。
4. 撰写分析报告，提升综合表达能力。
评价任务 基础解答正确：☆☆☆
图像绘制规范：☆☆☆
探究过程完整：☆☆☆
设计意图 作业设计体现分层理念，满足不同学生需求。基础题紧扣教材，强化三种表示法的识别与转换；选做题采用PBL项目式学习，引导学生走出课本，用数学眼光观察世界，实现“从生活中来，到生活中去”的学习闭环，培养创新精神与实践能力。
作业设计
一、基础巩固题
1. 已知函数 f(x) 的图像如下图所示（折线过点( 2,0), (0,2), (2,0)），请填写下表：
x -2-1012f(x)
并写出该函数的解析式：
在区间 。
2. 某市出租车起步价10元（含3公里），超出部分每公里2元。请用解析法写出车费 y（元）与行驶里程 x（公里）（x > 3）的函数关系式，并画出其图像（0 ≤ x ≤ 10）。
3. 下列函数中，哪些适合用列表法表示？哪些适合用图像法？说明理由。
① 某班级学生身高统计
② 自由落体运动位移与时间关系 s = gt
③ 某股票每日收盘价
④ 圆的周长 C 与半径 r 的关系 C = 2πr
二、拓展探究题
请选择一个你感兴趣的生活现象（如手机电量消耗、奶茶销量与天气关系、自己每周零花钱支出等），连续记录5天相关数据，然后：
① 制作一张数据表；
② 绘制对应的函数图像；
③ 尝试拟合一个简单的解析式（可用平均变化率估算斜率）；
④ 写一段文字说明，分析该现象的变化规律，并预测未来趋势。
成果将以“我的生活函数报告”为主题在班级展评，优秀作品将推荐至校刊发表。
【答案解析】
一、基础巩固题
1. 表格填空：
x -2-1012f(x)
在区间 。
2. 解析式：y = 10 + 2(x 3) = 2x + 4 （x > 3）
图像：从点(3,10)开始，斜率为2的射线，延伸至(10,24)。
3. 适合列表法：①③（具体个体数据）
适合图像法：②④（连续变化规律明显）
板书设计
3.1.2《函数的表示法》
┌──────────────┐
│ 函数的表示法 │
└──────────────┘
可相互转化
特别提醒：
分段函数 → 多段表达式 + 定义域
例：阶梯水价、打车计费
教学反思
成功之处
1. 情境创设真实有效，以“气温变化”为主线贯穿始终，增强了学习的代入感与实用性。
2. 采用“探险小队”合作探究模式，学生参与度高，课堂气氛活跃，真正实现了“做中学”。
3. 板书设计条理清晰，图文并茂，有效帮助学生构建知识体系。
不足之处
1. 分段函数的讲解节奏稍快，部分基础薄弱学生未能完全掌握其书写规范。
2. 几何画板演示时互动不足，应增加学生上台操作的机会。
3. 作业反馈机制需完善，项目式作业的评价标准应提前公布，以便学生明确方向。