3.2.1《单调性与最大（小）值》课时教案（表格式）-2025--2026年人教A版高中数学必修第一册

3.2.1《单调性与最大（小）值》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 新课标人教A版必修第一册 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容位于人教A版高中数学必修第一册第三章第二节，是函数性质研究的起点。教材通过观察函数图像的变化趋势引出单调性的概念，强调从“形”到“数”的抽象过程，并借助具体函数如一次、二次函数帮助学生建立直观感知。随后引入增函数、减函数的严格定义，突出用“任意”“都”等逻辑语言描述变化规律的重要性。最后结合实际情境探讨函数的最大值与最小值，体现函数建模的应用价值。
学情分析
高一学生已具备基本的函数概念和图像识别能力，能理解坐标系中点的变化趋势，但对抽象符号语言表达仍存在障碍。他们习惯于直观感知，缺乏严谨推理意识，容易将“上升”简单等同于“增大”。此外，学生在初中阶段接触过最值问题，但多停留在图形观察层面，尚未形成代数化、形式化的判断标准。因此教学需从生活实例出发，引导学生经历“观察—猜想—验证—归纳”的全过程，逐步提升其思维的严密性与逻辑性。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能够通过具体函数图像或现实生活中的变化趋势（如气温升降、股价波动）识别函数的单调性特征。
2. 能从实际问题中提取变量关系，判断其增减性并解释其现实意义。
思考现实世界
1. 理解增函数、减函数的形式化定义，掌握使用“任取x 2. 能运用定义法证明简单函数在指定区间上的单调性，并辨析反例。
表达现实世界
1. 能用准确的数学语言描述函数在某一区间上的单调性，正确书写单调区间。
2. 能结合图像与代数运算确定常见函数（如一次、二次函数）的最大值与最小值。
应用现实世界
1. 能利用函数单调性解决实际问题中的最优化初步模型，如成本最低、收益最大等。
2. 在合作探究中发展交流能力，提升用数学眼光分析问题的素养。
教学重点、难点
重点
1. 函数单调性的概念及其几何意义。
2. 利用定义判断和证明函数的单调性。
难点
1. 单调性定义中“任意性”的理解与运用。
2. 由图像直观过渡到代数证明的逻辑建构过程。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、议题式教学法、讲授法、合作探究法
教具准备
多媒体课件、几何画板动态演示、函数图像卡片、小组任务单
教学环节 教师活动 学生活动
情境导入：气温之变
【5分钟】 一、创设真实情境，引发认知冲突。 （一）、展示本地一周气温折线图。
教师投影展示某城市连续七天的日最高气温变化曲线图，横轴为日期，纵轴为温度（单位：℃），图像呈先升后降再小幅回升的趋势。引导语：“同学们，请看这张气温变化图。我们常说‘春天孩儿脸，一天变三变’，那么这一周里，哪几天气温整体在升高？哪几天又在下降？你是如何判断的？”
待学生回答后追问：“你凭什么说它是‘升高’的？是不是只要有一个时间段温度上升就可以这么说？比如周二比周一高，周三又比周二低，那周二这一天算不算‘升温日’？”
通过这个问题引导学生意识到：不能仅凭个别点比较就下结论，必须考察一个“区间”内的整体趋势。
（二）、提出核心议题：怎样才算“一直上升”？
教师进一步设问：“如果我们要用数学语言来精确描述‘气温持续上升’这个现象，仅仅说‘越来越高’显然不够严谨。那么，在数学上，我们应该怎样定义一个函数是在‘上升’呢？”
此时不急于给出答案，而是留下悬念：“今天我们就一起走进函数的世界，学习一个重要的性质——单调性，它将告诉我们如何科学地刻画‘上升’与‘下降’。”
板书课题：3.2.1 单调性与最大（小）值 1. 观察气温图，指出上升与下降的时间段。
2. 尝试用自己的语言解释判断依据。
3. 思考“持续上升”的数学含义。
4. 明确本节课的学习主题。
评价任务 观察准确：☆☆☆
表达清晰：☆☆☆
问题聚焦：☆☆☆
设计意图 以贴近生活的气温变化为切入点，激发兴趣，唤醒已有经验；通过设置认知冲突，促使学生反思日常语言的模糊性，进而产生对精确数学定义的需求，自然引出本课核心议题。
新知探究：从形到数
【15分钟】 一、观察图像，归纳共性特征。 （1）、分组观察四类典型函数图像。
教师发放四组函数图像卡片，每组包含以下函数在指定区间上的图像：
① f(x) = 2x + 1 （[-3,3]）
② f(x) = -x + 3 （[0,4]）
③ f(x) = x （[-2,2]）
④ f(x) = |x| （[-3,3]）
组织学生四人一组，分别观察各自手中的图像，完成三个任务：
任务1：用箭头在图像上标出函数值随自变量增大而变化的方向。
任务2：尝试用一句话描述该函数在这段区间内的变化趋势。
任务3：思考：当自变量x越来越大时，函数值f(x)是如何变化的？是否始终朝着同一个方向？
教师巡视指导，鼓励学生用手势模拟图像走势，增强空间感知。
（2）、全班交流，提炼关键词。
邀请各小组代表发言，分享观察结果。例如：
第①组：“我们的图是一条斜向上的直线，x越大，y也越大。”
第②组：“我们的线是斜向下的，x增加时，y反而减少。”
第③组：“中间低两边高，从左到右先下降再上升。”
第④组：“V字形，左边下降，右边上升。”
教师及时记录学生的描述词于黑板一侧，如“上升”“下降”“先减后增”“越来越高”“越来越低”等，并引导学生发现这些词语虽然生动，但不够统一和精确。
二、抽象定义，构建数学语言。 （1）、引导学生尝试形式化表述。
教师指着f(x)=2x+1的图像提问：“你说它‘上升’，那能不能举个例子说明？”
预设学生答：“比如x=1时，y=3；x=2时，y=5，5>3，所以升高了。”
教师继续追问：“那我能不能只看这两个点就说它在整个区间上升？如果中间有个坑呢？比如某个神秘函数在x=1.5时突然降到0，你还敢说它上升吗？”
由此引出关键问题：必须保证“任意两个点”，只要x < x ，就有f(x ) < f(x )，才能说是真正意义上的“上升”。
（2）、正式给出单调递增与单调递减的定义。
教师在PPT上逐字呈现定义：
设函数f(x)的定义域为I，区间D I。如果对于区间D上的任意两个实数x 、x ，当x < x 时，都有f(x ) < f(x )，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（或单调递增）。
类似地，若f(x ) > f(x )，则称f(x)在D上是减函数（或单调递减）。
重点圈出“任意”“当……时”“都有”这几个关键词，并举例说明反例：即使有99个点满足f(x ) 结合f(x)=x 在[-2,2]上的图像，指出其在[-2,0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，强调单调性是对“区间”而言的，不是对整个定义域。
板书规范术语：单调递增、单调递减、单调区间。 1. 分组观察图像，动手标注趋势。
2. 讨论并尝试概括变化规律。
3. 参与全班交流，表达观察结论。
4. 理解“任意性”在定义中的重要性。
评价任务 图像解读：☆☆☆
语言转换：☆☆☆
概念理解：☆☆☆
设计意图 通过分类观察典型函数图像，让学生在操作中积累感性经验；借助层层递进的提问，暴露思维盲区，推动学生从“局部比较”走向“整体把握”；最终在师生对话中共同建构严格的数学定义，实现从“形”到“数”的升华，培养逻辑表达能力。
深化理解：定义应用
【12分钟】 一、辨析概念，澄清误区。 （1）、判断下列说法是否正确，并说明理由。
① 若f(1) < f(2)，则f(x)在[1,2]上是增函数。
② 若函数在[0,1]和[1,2]上都是增函数，则它在[0,2]上也是增函数。
③ 常数函数既是增函数又是减函数。
组织学生独立思考后小组讨论，教师适时点拨：
针对①：强调“任意两点”的必要性，可构造反例函数（如在x=1.5处突降）加以反驳。
针对②：引导学生思考端点连接处的情况，举例f(x)= -1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上均递增，但在整个定义域上不单调。
针对③：根据定义，当x f(x )，故非常规意义上的增减函数。但在某些拓展定义中允许相等，此处可简要提及“非严格单调”。
二、典例示范，规范书写。 （1）、证明函数f(x) = 3x + 2在R上是增函数。
教师板书完整证明过程：
证明：任取x , x ∈ R，且x < x 。
计算f(x ) - f(x ) = (3x + 2) - (3x + 2) = 3(x - x )。
因为x - x > 0，所以3(x - x ) > 0，即f(x ) > f(x )。
因此，函数f(x) = 3x + 2在R上是增函数。
强调步骤：①“任取”；②作差变形；③定号；④下结论。
（2）、学生模仿练习：证明f(x) = -2x + 5在R上是减函数。
请一名学生上台板演，其余同学在练习本上完成。教师巡视，关注学生是否遗漏“任取”条件、是否正确作差、能否准确得出符号关系。
完成后师生共同点评，纠正书写不规范之处，如未写“设x
三、图像辅助，理解最值。 （1）、回顾二次函数f(x) = x - 2x + 3的图像。
教师用几何画板动态绘制该抛物线，顶点坐标为(1,2)，开口向上。
提问：“在这个图像上，有没有哪个点的函数值是最小的？最大的呢？”
引导学生发现：在全体实数范围内，没有最大值（趋于无穷大），但有最小值2，出现在x=1处。
进而引出函数最大值与最小值的定义：
若存在x ∈D，使得对所有x∈D，总有f(x) ≤ f(x )，则称f(x )为f(x)在D上的最大值；
若f(x) ≥ f(x )，则称f(x )为最小值。
强调最值是“全局”概念，且必须“能取到”。
结合图像说明：单调性可以帮助我们寻找最值，特别是在闭区间上。 1. 辨析命题真伪，说出依据。
2. 学习证明格式，完成模仿练习。
3. 观察图像，识别函数最值点。
4. 理解最值存在的条件。
评价任务 逻辑辨析：☆☆☆
规范表达：☆☆☆
图像识读：☆☆☆
设计意图 通过辨析题纠正常见误解，深化对“任意性”和“区间性”的理解；通过教师示范与学生演练相结合，落实定义法证明的基本流程，提升逻辑表达能力；借助动态图像直观揭示最值的存在性与位置，建立单调性与最值之间的联系，为后续学习奠定基础。
实践应用：解决问题
【8分钟】 一、设计实际问题，开展小组合作。 （1）、出示问题情境：手机套餐选择。
某通信公司推出两种流量计费方案：
方案A：每月固定费用30元，超出部分每GB收费10元；
方案B：无月租，每GB流量收费15元。
设用户每月使用流量为x GB（x≥0），费用为y元。
任务1：写出两种方案的费用函数表达式。
任务2：在同一坐标系中画出两函数的大致图像。
任务3：讨论：当使用流量在什么范围时，选择哪种方案更划算？是否存在最优选择？
提供任务单，要求小组分工协作：一人列式，一人绘图，一人分析，一人汇报。
（2）、巡视指导，启发思维。
教师深入各组，关注学生是否能正确建立分段函数模型：
y_A = { 30, 0≤x≤a ; 30+10(x-a), x>a }（此处可设定免费额度a=2GB简化）
y_B = 15x
提醒学生注意定义域一致性，建议选取几个关键点（如x=0,1,2,3,4）计算函数值辅助绘图。
引导学生发现两条射线的交点即为“临界点”，此前B便宜，此后A更优，体现函数单调性在决策中的作用。
二、成果展示，师生共评。 邀请两组代表上台展示图像与结论，其他小组补充或质疑。
教师总结：“我们在生活中常常面临类似的选择难题。数学告诉我们，通过建立函数模型，分析其变化趋势，就能做出理性判断。这正是函数思想的魅力所在。” 1. 建立分段函数模型。
2. 合作绘制函数图像。
3. 分析比较费用高低。
4. 得出最优选择区间。
评价任务 建模能力：☆☆☆
图像绘制：☆☆☆
决策分析：☆☆☆
设计意图 以真实生活问题为载体，引导学生运用所学知识建立数学模型，综合运用函数表示、图像绘制与单调性分析解决实际问题，体现数学的应用价值；通过小组合作促进交流协作，发展数学建模与数据分析素养。
课堂总结：诗意收束
【5分钟】 一、结构化回顾知识点。 （一）、带领学生梳理本课主线。
教师用思维导图形式在黑板上回顾：
从“气温变化”出发 → 发现趋势需要精确描述 → 引出单调性概念 → 定义增减函数 → 掌握证明方法 → 应用于判断最值 → 解决实际问题。
强调三个关键词：**趋势**（图像直观）、**任意**（逻辑严谨）、**区间**（适用范围）。
二、升华情感，激励成长。 （二）、引用名言，寄予期望。
“法国数学家庞加莱曾说：‘数学是一种赋予不同事物以同样名字的艺术。’今天我们给‘上升’起了一个统一的名字——单调递增；给‘下降’命名为单调递减。这不是简单的贴标签，而是人类思维从混沌走向秩序的伟大飞跃。”
“你们正在经历这样的飞跃。也许现在觉得定义繁琐，但正是这些看似冰冷的符号，构筑了现代社会的理性基石。愿你们在未来的学习中，不仅学会判断函数的升降，更能洞察人生的起伏，在每一次‘递增’中积蓄力量，在每一次‘递减’中沉淀智慧。记住：真正的成长，不在于永远上升，而在于认清趋势，坚定前行。” 1. 跟随教师回顾知识脉络。
2. 理解关键词的核心意义。
3. 感悟数学的文化价值。
4. 接受积极的人生启示。
评价任务 知识梳理：☆☆☆
哲理感悟：☆☆☆
情感共鸣：☆☆☆
设计意图 通过结构化总结帮助学生构建清晰的知识网络；引用数学名家言论提升学科文化品位；将函数的单调性与人生哲理巧妙关联，实现情感态度价值观的升华，使课堂在理性与诗意的交融中落幕。
作业设计
一、基础巩固：定义理解与判断
1. 下列函数中，在区间(0, +∞)上为增函数的是（ ）
A. f(x) = -2x + 1 B. f(x) = x C. f(x) = 1/x D. f(x) = |x|
2. 已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，且f(a)=3，f(b)=7，则对于任意x∈(a,b)，f(x)的取值范围是__________。
3. 判断下列说法是否正确，错误的请说明理由：
（1）若f(0) < f(1)，则f(x)在[0,1]上是增函数。
（2）若函数在[1,2]和[2,3]上都是增函数，则它在[1,3]上也是增函数。
二、能力提升：定义法证明
4. 证明函数f(x) = f{1}{x} 在区间(0, +∞)上是减函数。
5. 证明函数f(x) = x 在R上是增函数。（提示：利用立方差公式 a - b = (a-b)(a +ab+b )）
三、拓展应用：实际问题建模
6. 某商店销售某种商品，每件进价为10元。经调查发现，若售价定为15元，每天可卖出100件；售价每提高1元，销量减少10件。设售价为x元（x≥15），日利润为y元。
（1）写出y关于x的函数表达式，并注明定义域；
（2）利用函数单调性分析，如何定价才能使日利润最大？
【答案解析】
一、基础巩固
1. B（解析：A为减函数，C在(0,+∞)递减，D在(0,+∞)递增但题目未限定，需整体考虑）
2. (3,7)（解析：因单调递增，f(a) 3. （1）错误。缺少“任意性”，仅两点无法判断整体单调性。
（2）错误。需保证在x=2处连续且趋势一致，否则可能断开。
二、能力提升
4. 任取x ,x ∈(0,+∞)，且x 0，故f(x )>f(x )，为减函数。
5. 任取x 0，且x +x x +x = (x + x ) + x > 0，故整体>0，即f(x )>f(x )，为增函数。
板书设计
3.2.1 单调性与最大（小）值
┌──────────────┐
│ 核心议题： │
│ 如何数学刻画“上升”？ │
└──────────────┘
↓
一、图像观察 → 趋势描述
↑ ↓
│ “上升”“下降”
│ ↓
│ 需要精确语言！
↓
二、定义建构：
增函数： x 减函数： x f(x )
关键词：任意、区间、都有
三、应用路径：
定义法证明 → 图像识读 → 实际决策
四、人生启示：
认清趋势 · 坚定前行
教学反思
成功之处
1. 以气温变化为真实情境导入，有效激发学生兴趣，成功制造认知冲突，使学生主动产生对数学定义的需求。
2. 采用分组观察典型函数图像的方式，让学生在动手操作中积累直观经验，为抽象定义的生成提供了坚实基础。
3. 课堂总结将数学概念与人生哲理融合，引用庞加莱名言提升了学科文化品位，实现了知识传授与价值引领的统一。
不足之处
1. 在辨析“常数函数是否单调”时，部分学生表现出困惑，说明对“非严格单调”的拓展解释不够充分，应提前准备更直观的例子辅助理解。
2. 小组合作环节时间略显紧张，个别小组未能完成全部任务，今后应优化任务分配，设置分层挑战以适应不同水平学生。
3. 对于函数最值的讲解稍显仓促，未能充分展开闭区间上连续函数最值存在性的讨论，可在下一课时补强。