2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式 检测试卷（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若均为实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
2.若，则不等式的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.设集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知，，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A. 4
B.
C. 2
D.
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.若，，且，则下列代数式中值最大的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题分，共18分，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分）
9.下列命题中，是真命题的是（ ）
A. ，都有
B. ，使得
C. 对任意非零实数，都有
D. 的最小值为2
10.已知正实数满足，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则且
B. 若，则关于的不等式的解集也为
C. 若，则关于的不等式的解集为
D. 若，且，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.能说明“若，则”为假命题的一组的值依次为______.
13.在上定义运算：。若不等式的解集是，则______.
14.已知，，且恒成立，则的最大值为______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）不等式的解集为。
(1) 求集合；
(2) 若关于的不等式的解集为，且，求的取值范围。
16.（15分）已知正实数满足。
(1) 求的最小值及此时的值；
(2) 求的最大值及此时的值；
(3) 求的最小值及此时的值。
17.（15分）已知均为正实数，求证：。
18.（17分）已知关于的不等式：
(1) 当，，时，求该不等式的解集；
(2) 从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集。
① ，，；
② ，，。
19.（17分）已知不等式：
(1) 是否存在实数，使不等式对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2) 是否存在实数，使不等式在上有解？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3) 若不等式对于恒成立，求实数的取值范围。
一、单选题
1.答案：D
解析：
A选项：举反例，若，则，故A错误；
B选项：举反例，若，则，故B错误；
C选项：由，且，得，故C错误；
D选项：因，故，开方得，故D正确。
2.答案：D
解析：
由得，二次函数开口向上，小于0的解集为两根之间，即。
3.答案：B
解析：
集合；
集合，等价于且，即；
交集。
4.答案：D
解析：
由得，得，则，故。
5.答案：B
解析：
因，故时不等式恒成立：
：；
：；
取交集得。
6.答案：A
解析：
不等式整理为，解集为，由韦达定理：
，；
代入得，由基本不等式，当时取等。
7.答案：A
解析：
由解集知，韦达定理得，，不等式化为：
（，除以反向），因式分解，解集。
8.答案：A
解析：
设，（）：
A选项：，取得；
B、C选项值均小于，故A最大。
二、多选题
9.答案：AB
解析：
A：恒成立，真；
B：令，方程解得（），存在，真；
C：异号时，假；
D：，，假。
10.答案：ABC
解析：
由得：
A：，真；
B：，得，真；
C：，真；
D：，假。
11.答案：CD
解析：
A：时，忽略，假；
B：比例系数时解集相反，假；
C：由得，代入不等式得或，真；
D：由得，化简得，真。
三、填空题
12.答案：1，-1（答案不唯一）
解析：，但，否定命题。
13.答案：4
解析：
运算化为，即，解集故，得。
14.答案：4
解析：
令，则，不等式化为，即，由基本不等式，故。
四、解答题
15.解：
（1）先移项通分，将不等式化为“右边为0”的形式：
该分式不等式等价于“分子分母异号且分母不为0”，即：
解不等式组得：，故。
（2）分3种情况讨论的取值：
当时，不等式化为，解集，显然不包含于，舍去；
当时，二次函数开口向上，解方程，因式分解得，根为和，故解集。要满足，需，解得；
当时，二次函数开口向下，解集。要满足，需（避免左半部分超出的左边界），解得（注意，故范围为）。
综上，的取值范围是。
16.解：
（1）利用“平方和公式”结合（）：
当（即）时，平方和最小，此时，最小值为。
（2）代入，将式子化为关于的二次函数：
二次函数开口向下，顶点横坐标为（对称轴），此时，最大值为：
（3）由得（，因），代入式子得：
由“基本不等式”（，，当且仅当时取等），令，，则：
当且仅当（即，）时取等，此时，最小值为。
17.证明：先将左边每一项拆分为“分式和常数”，展开整理：
合并常数项（共），并将分式分组：
对每组分式用“基本不等式”（，）：
，当且仅当时取等；
，当且仅当时取等；
，当且仅当时取等。
因此：
当且仅当（如）时取等号，原不等式得证。
18.解：
（1）代入得不等式：，两边乘（注意不等号反向）：
解方程，用求根公式得。因二次函数开口向上，“小于等于0”的解集为两根之间：
（2）代入得不等式：，因式分解（十字相乘法）：
二次函数开口向上，解集由两根和的大小关系决定：
当时，不等式化为，解集为（全体实数）；
当时，“大于等于0”的解集为或，即；
当时，“大于等于0”的解集为或，即。
19.解：
（1）不存在。理由如下：
将不等式整理为“二次函数小于0”的形式：
要使该式对任意恒成立，需满足“二次项系数小于0且判别式”：
若，不等式化为，即，不满足“对任意恒成立”；
若，需。计算判别式：因（平方数非负，加恒正），故，不满足“”。
综上，不存在这样的。
（2）存在，为任意实数。理由如下：
当时，不等式化为，解为，有解；
当时，二次函数开口向上，且判别式（同（1）），函数图像与轴有两个交点，故存在使函数值小于0，即不等式有解；
当时，二次函数开口向下，当时，函数值趋向，故必存在使函数值小于0，即不等式有解。
综上，任意都满足条件。
（3）将不等式视为“关于的一次函数不等式”，令，则原不等式等价于：
一次函数在区间上恒小于0，只需区间两端点的函数值均小于0（一次函数单调性：要么递增，要么递减，最值在端点）：
分别计算：
，乘（反向）：。解方程，根为，因二次函数开口向上，解为或；
。解方程，根为，因二次函数开口向上，解为。
取两个不等式的交集（同时满足）：
（注：，，故交集为前者左边界到后者右边界）