3.2.2《奇偶性》课时教案（表格式）-2025--2026年人教A版高中数学必修第一册

3.2.2《奇偶性》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 新课标人教A版 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容选自人教A版高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》中的3.2.2节“奇偶性”。奇偶性是函数的重要性质之一，是在学生掌握了函数的定义、表示方法、单调性等基础知识后进一步深化函数认知的关键环节。教材通过具体函数图像的对称性引入概念，强调从“形”到“数”的抽象过程，体现了数形结合的思想。内容安排由直观感知到逻辑推理，层层递进，为后续学习三角函数、幂函数、指数函数和对数函数的性质打下基础。
学情分析
高一学生已具备基本的函数知识，能够绘制简单函数图像并理解其变化趋势，具有一定的观察归纳能力。但抽象思维仍处于发展阶段，对“对称性”的数学表达（即f(-x)与f(x)的关系）理解存在困难。此外，学生容易将奇偶性与图像美观混淆，忽视定义域关于原点对称的前提条件。针对这些问题，教学中应借助生活实例与几何直观降低认知门槛，通过对比辨析强化概念本质，并设计阶梯式问题引导学生自主建构知识体系。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从生活中常见的对称现象（如人体、建筑、标志图案）中抽象出轴对称与中心对称的数学模型，体会函数奇偶性在现实世界中的广泛存在。
2. 通过观察典型函数图像（如y=x , y=|x|, y=x , y=1/x），发现其关于y轴或原点的对称特征，形成对函数奇偶性的初步感性认识。
思考现实世界
1. 经历从图像对称到代数表达的转化过程，理解偶函数满足f(-x)=f(x)、奇函数满足f(-x)=-f(x)的本质含义，掌握判断函数奇偶性的基本方法。
2. 在判断过程中体会分类讨论思想的应用，明确函数可能既非奇函数也非偶函数，提升逻辑推理能力。
表达现实世界
1. 能用准确的数学语言描述函数的奇偶性，规范书写判断过程，包括验证定义域对称性和计算f(-x)两个关键步骤。
2. 能结合函数解析式与图像，解释奇偶性对函数行为的影响，如值域分布、单调区间对称性等，实现多角度表征。
应用现实世界
1. 运用奇偶性简化函数作图与运算，例如只需画出偶函数在x≥0的部分即可补全整个图像，提高解题效率。
2. 初步体会奇偶性在物理、工程等领域中的应用价值，如力的对称分布、信号处理中的偶信号与奇信号分解。
教学重点、难点
重点
1. 理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的基本步骤。
2. 能根据定义判断具体函数（含解析式）是否具有奇偶性，并能说明理由。
难点
1. 深刻理解“定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的前提条件。
2. 准确区分奇函数与偶函数的代数特征，避免机械记忆公式而忽略本质。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法
教具准备
多媒体课件、几何画板动态演示、函数图像卡片、黑板
教学环节 教师活动 学生活动
情境导入：对称之美
【5分钟】 一、生活中的对称现象引发思考 （一）、展示图片，激发兴趣。
教师利用多媒体依次展示以下五组图片：①天安门城楼正面全景；②蝴蝶展翅特写；③奔驰汽车标志；④太极阴阳图；⑤旋转风车。每张图片播放时间为8秒，随后暂停并提问：“这些事物都具有什么共同特征？”
待学生回答“对称”后，继续追问：“它们的对称方式相同吗？能否分类？”引导学生区分轴对称（前三种）与中心对称（后两种）。接着指出：“在数学中，我们不仅研究图形的对称，还研究函数图像的对称性。今天我们就来探索一类特殊的函数——具有对称性的函数。”
（二）、回顾旧知，建立联系。
教师在黑板左侧绘制平面直角坐标系，并快速草绘两个函数图像：第一个是抛物线y = x ，开口向上，顶点在原点；第二个是直线y = x，过原点斜率为1。然后提问：“同学们还记得这两个函数吗？它们的图像是什么样的？有没有对称性？”
引导学生观察发现：y = x 的图像关于y轴对称，而y = x的图像关于原点对称。此时教师顺势引出课题：“像这样具有特定对称性的函数，我们就称之为偶函数和奇函数。接下来，我们将深入研究它们的数学定义。” 1. 观察图片，回答对称现象。
2. 区分轴对称与中心对称。
3. 回忆函数图像特征。
4. 思考对称性的数学表达。
评价任务 识别对称：☆☆☆
分类准确：☆☆☆
联想函数：☆☆☆
设计意图 以生活实例切入，增强数学亲和力，唤醒学生已有经验；通过图像回顾自然过渡到新知，实现知识衔接；设置问题链激发探究欲望，为概念生成做好铺垫。
新知探究：从形到数
【15分钟】 一、观察图像，归纳共性 （一）、分组活动：图像配对游戏。
教师将事先准备好的六张函数图像卡片分发给六个小组（每组一张），卡片上分别绘制了以下函数的图像片段（仅显示部分）：① f(x) = x ；② f(x) = |x|；③ f(x) = x ；④ f(x) = 1/x（x≠0）；⑤ f(x) = x + 1；⑥ f(x) = x + x。要求各小组观察本组图像，回答两个问题：① 图像是否具有某种对称性？如果是，是关于y轴还是原点？② 如果给你一个点P(a, f(a))在图像上，你能确定另一个对称点的坐标吗？
教师巡视指导，鼓励学生动手描点验证。约5分钟后，请前三组代表发言描述其图像的对称特征，后三组补充或反驳。特别关注第五、六组是否意识到其图像无明显对称性。
（二）、几何画板动态演示验证。
教师使用几何画板软件现场操作，首先输入f(x) = x ，绘制完整图像，然后选取任意一点A(x, x )，再构造点B(-x, (-x) )，即(-x, x )，连接AB并测量其中点坐标。拖动点A沿曲线移动，实时显示中点始终位于y轴上，从而直观验证图像关于y轴对称。同理，对f(x) = x 进行演示：取点C(x, x )，构造D(-x, -x )，连接CD，中点恒为原点，验证中心对称。
在此过程中，教师不断强调：“当我们说图像关于y轴对称时，意味着对于定义域内的每一个x，只要(x, f(x))在图像上，那么(-x, f(-x))也应该在图像上，并且f(-x)必须等于f(x)。”
二、抽象概括，形成定义 （一）、引导学生尝试定义。
基于上述观察，教师提出驱动性问题：“能否用数学符号语言精确描述‘图像关于y轴对称’这一性质？”鼓励学生大胆表达。可能出现的回答有：“f(-x) = f(x)”、“左边和右边一样高”等。教师肯定合理成分，并引导全班共同完善：
“如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有-x也在定义域内，且f(-x) = f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。”
同样地，引导得出奇函数定义：“如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有-x也在定义域内，且f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。”
教师板书两个定义，并重点圈出“任意一个x”、“-x也在定义域内”、“f(-x)=f(x)”或“f(-x)=-f(x)”三个关键要素。
（二）、辨析概念，澄清误区。
教师设问：“是不是所有函数都有奇偶性？”让学生思考并举例。引导学生发现f(x)=x+1、f(x)=x +x等函数既不满足f(-x)=f(x)，也不满足f(-x)=-f(x)，因此既不是奇函数也不是偶函数。进一步提问：“若一个函数定义域是[0, +∞)，它可能是奇函数或偶函数吗？”通过反例说明定义域必须关于原点对称，否则无法谈论奇偶性。例如f(x)=√x，虽然f(-x)无意义，故不能称为偶函数。 1. 小组合作观察图像。
2. 描述对称特征并预测对称点。
3. 参与讨论，倾听他人观点。
4. 尝试用数学语言表达对称规律。
评价任务 观察能力：☆☆☆
表达能力：☆☆☆
理解深度：☆☆☆
设计意图 通过动手操作与合作探究，促进知识主动建构；利用信息技术增强直观体验，突破空间想象局限；通过正反例对比，深化对定义前提与本质的理解，防止片面化认知。
典例剖析：规范表达
【12分钟】 一、典型例题讲解 （一）、判断函数奇偶性的一般步骤示范。
教师投影出示例题1：判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) = x - 2x
(2) g(x) = x + {1}{x} (x ≠ 0)
(3) h(x) = x + x + 1
教师边讲解边板书，严格按照“三步走”策略：第一步，检查定义域是否关于原点对称；第二步，计算f(-x)；第三步，比较f(-x)与f(x)或-f(x)的关系。
以第(1)题为例：定义域为R，关于原点对称；计算f(-x) = (-x) - 2(-x) = x - 2x = f(x)，所以f(x)是偶函数。
第(2)题：定义域{x|x≠0}关于原点对称；g(-x) = (-x) + {1}{-x} = -x - {1}{x} = -(x + {x}) = -g(x)，故为奇函数。
第(3)题：定义域为R；h(-x) = (-x) + (-x) + 1 = x - x + 1，既不等于h(x)，也不等于-h(x)，因此是非奇非偶函数。
（二）、易错点提醒与变式训练。
教师强调常见错误：忽略定义域检验、误认为多项式次数决定奇偶性（如以为偶次幂一定是偶函数）、混淆f(-x)与-f(x)的符号处理。随即给出变式题：f(x) = {x^2 - 1}{x - 1}，先化简再判断。引导学生发现该函数可化为f(x) = x + 1（x ≠ 1），定义域不关于原点对称（缺少x=-1），故无法判断奇偶性，再次强化前提条件的重要性。
同时指出：“奇偶性是整体性质，必须对定义域内所有x成立，不能仅凭个别点判断。” 1. 听讲并记录解题步骤。
2. 分析每一步的依据。
3. 辨别易错陷阱。
4. 完成变式题思考。
评价任务 步骤完整：☆☆☆
计算准确：☆☆☆
判断正确：☆☆☆
设计意图 通过规范示范建立清晰的解题流程；利用典型错误警示提升思维严谨性；变式训练加深对定义域前提的理解，培养学生批判性思维。
巩固练习：迁移应用
【8分钟】 一、课堂即时练习 （一）、独立完成基础判断题。
教师发放练习单，包含以下四道题：
1. 判断函数f(x) = |x| + x 的奇偶性。
2. 已知函数f(x) = ax + bx（a,b∈R），试讨论其奇偶性。
3. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2) = 3，求f(-2)的值。
4. 函数f(x) = {1 - x^2}的图像关于哪个轴对称？说明理由。
要求学生在8分钟内独立完成，教师巡视，重点关注第2题中参数讨论是否全面，第4题是否注意到定义域[-1,1]关于原点对称且f(-x)=f(x)。
（二）、小组互评与反馈。
时间到后，教师邀请四位学生依次上台展示解答过程，其他同学对照自己的答案进行核对。教师适时点评，尤其表扬第2题中能分情况讨论a、b取值影响的学生，指出：“当b=0时，f(x)=ax 为奇函数；当a=0时，f(x)=bx也为奇函数；只有当a=b=0时才是既是奇函数又是偶函数的特殊情况。”对于第3题，强调奇函数性质f(-x)=-f(x)的直接应用，f(-2)=-3。 1. 独立完成练习题。
2. 计算f(-x)并比较关系。
3. 应用性质解决数值问题。
4. 参与展示与互评。
评价任务 独立完成：☆☆☆
方法迁移：☆☆☆
结果正确：☆☆☆
设计意图 通过分层练习实现知识巩固与能力提升；独立完成培养自主学习能力；展示互评促进交流反思，及时纠正偏差，增强课堂参与感。
课堂总结：升华认知
【4分钟】 一、结构化回顾与哲理升华 （一）、系统梳理本节要点。
教师站在讲台中央，缓缓说道：“今天我们穿越了对称之门，从生活走进数学，从图像走向代数。我们学会了如何用f(-x)=f(x)刻画‘左右一致’的稳重之美——那是偶函数的庄重对称；也学会了用f(-x)=-f(x)描绘‘旋转半周’的灵动之姿——那是奇函数的中心呼应。更重要的是，我们明白了：定义域的对称是前提，任意性的验证是核心，两者缺一不可。”
（二）、引用名言激励思维成长。
教师深情地说：“数学家克莱因曾说：‘音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学让人获得智慧，而数学则能提供以上一切。’今天我们所学的奇偶性，不仅是解题工具，更是一种看待世界的视角。它告诉我们：在这个纷繁复杂的世界里，许多看似不同的事物背后，往往隐藏着深刻的对称与秩序。愿你们今后不仅能识别函数的奇偶性，更能发现生活中的平衡之美，在不对称中寻找和谐，在变化中把握不变。” 1. 静心聆听总结。
2. 回顾知识脉络。
3. 感悟数学美学。
4. 思考现实联系。
评价任务 理解本质：☆☆☆
感悟思想：☆☆☆
情感共鸣：☆☆☆
设计意图 通过诗意语言整合知识结构，提升数学审美；引用名家言论拓展视野，激发学习热情；将数学思维与人生哲理融合，实现情感态度价值观的升华。
作业设计
一、基础巩固题
1. 判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x) = x^6 - 3x^2 + 1
（2）g(x) = {x^3 - x}{x^2 + 1}
（3）h(x) = {x^2 + 1}
（4）k(x) = x^2 + {1}{x} （x ≠ 0）
二、能力提升题
2. 已知函数f(x)是定义在(-2, 2)上的奇函数，且当x ∈ (0, 2)时，f(x) = x^2 - 2x。求当x ∈ (-2, 0)时，f(x)的解析式。
三、拓展探究题
3. 设函数f(x)满足f(-x) = f(x)且f(x+2) = f(x)，请举例说明一个满足条件的非常数函数，并画出其大致图像。
4. 查阅资料了解“傅里叶级数”中奇函数与偶函数的展开特点，简述其在信号处理中的应用（不少于100字）。
【答案解析】
一、基础巩固题
1.（1）偶函数。理由：定义域R对称，f(-x)=(-x)^6-3(-x)^2+1=x^6-3x^2+1=f(x)
　（2）奇函数。理由：定义域R对称，g(-x)= {(-x)^3 - (-x)}{(-x)^2 + 1}= {-x^3 + x}{x^2 + 1}=-( {x^3 - x}{x^2 + 1})=-g(x)
　（3）偶函数。理由：定义域R对称，h(-x)= {(-x)^2 + 1}= {x^2 + 1}=h(x)
　（4）非奇非偶函数。理由：定义域{x|x≠0}对称，k(-x)=(-x)^2 + \frac{1}{-x}=x^2 - \frac{1}{x}，既不等于k(x)，也不等于-k(x)
二、能力提升题
2. 解：∵ f(x)是奇函数，∴ f(-x) = -f(x)
当x ∈ (-2, 0)时，令t = -x，则t ∈ (0, 2)，f(t) = t^2 - 2t
∴ f(x) = f(-t) = -f(t) = -(t^2 - 2t) = -((-x)^2 - 2(-x)) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x
故当x ∈ (-2, 0)时，f(x) = -x^2 - 2x
板书设计
§3.2.2 奇偶性
【左侧区域】
一、生活对称 → 数学对称
轴对称：天安门、蝴蝶 —— 关于y轴对称
中心对称：风车、太极 —— 关于原点对称
【中间主区】
二、函数奇偶性定义
1. 偶函数：
条件：① 定义域关于原点对称
② x∈D, f(-x) = f(x)
示例：f(x)=x , g(x)=|x|
2. 奇函数：
条件：① 定义域关于原点对称
② x∈D, f(-x) = -f(x)
示例：f(x)=x , g(x)=1/x
【右侧区域】
三、判断步骤
Step 1：查定义域是否关于原点对称
Step 2：算 f(-x)
Step 3：比 f(-x) 与 f(x) 或 -f(x)
四、结论类型
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
教学反思
成功之处
1. 以生活对称现象导入，有效激发了学生的学习兴趣，实现了数学与生活的深度融合。
2. 采用“图像观察—动态验证—抽象定义—辨析澄清”的探究路径，符合高一学生的认知规律，帮助学生逐步构建概念。
3. 典例讲解中突出“三步法”，并通过变式题强化定义域前提，显著降低了学生常见错误率。
不足之处
1. 小组活动时间略显紧张，部分学生未能充分表达观点，合作深度有待加强。
2. 对“既是奇函数又是偶函数”的特殊情况（仅零函数）提及不够深入，可增加一道思考题拓展认知边界。
3. 信息技术虽有使用，但学生亲自操作几何画板的机会较少，未来可设计探究性微项目提升数字化学习能力。