3.3《幂函数》课时教案（表格式）-2025--2026年人教A版高中数学必修第一册

3.3《幂函数》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 新课标人教A版必修第一册 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容位于高中数学必修一第三章“函数的概念与性质”之后，是继指数函数、对数函数后引入的又一类基本初等函数。教材通过生活实例引出幂函数概念，强调其形式特征y = xα（α为常数），并通过五个典型实例（如y=x, y=x , y=x , y=, y=1/x）引导学生观察图像、归纳性质。该节内容在知识体系中起着承前启后的作用：既巩固了函数研究的一般方法（定义域、值域、单调性、奇偶性、图像等），也为后续学习导数及其应用奠定基础。
学情分析
高一学生已掌握函数的基本概念、指数运算及常见函数（一次、二次、反比例）的图像与性质，具备一定的图像观察能力和抽象概括能力。但面对一般形式的幂函数，尤其是分数指数和负指数情形，容易产生认知混淆。学生的思维仍以具体形象为主，对参数α变化带来的函数形态差异缺乏系统认识。此外，部分学生在用数学语言准确描述函数性质方面存在表达障碍。因此教学中需借助直观图形、分类讨论和小组探究，帮助学生构建完整的认知结构。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从实际问题（如面积与边长关系、体积与棱长关系、自由落体位移与时间关系）中抽象出幂函数模型，理解其广泛的应用背景。
2. 能识别不同形式的幂函数表达式，并判断其是否属于幂函数范畴，建立数学与现实之间的联系。
思考现实世界
1. 能通过绘制典型幂函数图像，归纳其在不同指数范围下的共同特征与变化规律，发展分类讨论思想。
2. 能结合函数的奇偶性、单调性、定点等性质，深入分析幂函数的图像演变逻辑，提升逻辑推理能力。
表达现实世界
1. 能用准确的数学语言描述幂函数的定义域、值域、图像特征及主要性质，并能进行规范书写与表达。
2. 能在合作交流中清晰阐述自己的发现过程与结论，提升数学表达与沟通能力。
数学建模意识
1. 能根据实际情境选择合适的幂函数模型进行近似刻画，初步形成函数建模意识。
2. 能利用幂函数性质解决简单的实际问题，体会数学的应用价值。
教学重点、难点
重点
1. 理解幂函数的概念，掌握其一般形式y = xα（α∈R）的特点。
2. 掌握五种典型幂函数（y=x, y=x , y=x , y=, y=1/x）的图像与基本性质，并能迁移推广到一般情况。
难点
1. 理解指数α取不同实数值时，幂函数图像的变化规律及其背后的数学原理。
2. 准确描述并区分幂函数在不同区间上的单调性、奇偶性等性质，特别是当α为分数或负数时的情形。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法、数形结合法
教具准备
多媒体课件、几何画板动态演示、坐标纸、彩色粉笔、学习任务单
教学环节 教师活动 学生活动
创设情境，导入新课
【5分钟】 一、生活实例引入，激发兴趣。 （一）、呈现三个现实问题：
1. 正方形的面积S与其边长a的关系：S = a ；
2. 正方体的体积V与其棱长l的关系：V = l ；
3. 自由落体运动中，物体下落的距离h与时间t的关系：h = (1/2)gt （g为重力加速度）。
引导语：“同学们，请观察这三个公式，它们的形式有什么共同点？这些变量之间是什么样的函数关系？”
等待学生回答后总结：“它们都是形如‘因变量 = 自变量的某个常数次方’的函数，这类函数我们称之为——幂函数。”
（二）、揭示课题，明确目标。
板书课题《3.3 幂函数》，并提出本节课的学习任务：“今天我们将一起探索幂函数的秘密：什么是幂函数？它有哪些典型的代表？图像有何规律？性质如何变化？让我们带着这些问题开启今天的数学之旅。”
过渡语：“正如笛卡尔所说：‘一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题最终都可以转化为方程问题。’今天我们所研究的幂函数，正是这样一座连接现实与代数世界的桥梁。” 1. 观察实例，发现共性。
2. 回答教师提问，尝试归纳特点。
3. 明确学习目标，进入学习状态。
4. 思考幂函数的实际意义。
评价任务 发现共性：☆☆☆
语言表达：☆☆☆
参与程度：☆☆☆
设计意图 通过贴近生活的实际问题引入，让学生感受到数学来源于生活，增强学习动机；通过归纳共同特征，自然引出幂函数的概念，实现由具体到抽象的认知过渡；设置悬念式问题链，激发探究欲望，为后续学习做好铺垫。
建构概念，辨析特征
【8分钟】 一、定义幂函数，明确形式。 （一）、给出幂函数的严格定义：
“一般地，函数 y = xα（其中 α 是常数）叫做幂函数，自变量 x 是底数，α 是指数。”
强调指出：“这里的关键是——自变量 x 在底数位置，而指数是一个固定的实数 α。这一点区别于我们之前学过的指数函数 y = ax（a > 0 且 a ≠ 1），在那里，底数 a 是常数，自变量 x 在指数位置。”
举例对比：
- y = x 是幂函数（x 在底数）；
- y = 2^x 是指数函数（x 在指数）；
- y = x^x 不是幂函数也不是指数函数（x 同时出现在底数和指数）。
（二）、组织辨析练习，强化理解。
出示一组函数表达式，要求学生判断哪些是幂函数：
① y = x^3；② y = 3^x；③ y = x{1/2}；④ y = ；⑤ y = 1/x；⑥ y = x^{-2}；⑦ y = x^π；⑧ y = x^x + 1。
请学生逐一分析，说明理由。特别强调 y = 1/x 可写作 y = x^{-1}，也属于幂函数；y = 中自变量不在单纯的底数位置，故不是幂函数。
教师适时点评：“数学之美，在于形式的简洁与统一。幂函数虽只有一般式 y = x^α，却蕴含无穷变化。正如莱布尼茨所言：‘没有什么比看到真理被误解更令人难过的了。’我们必须精准把握定义的核心。” 1. 倾听并记录幂函数定义。
2. 对比指数函数，理解本质区别。
3. 判断给定函数是否为幂函数。
4. 阐述判断依据，参与课堂互动。
评价任务 概念理解：☆☆☆
辨别准确：☆☆☆
表达清晰：☆☆☆
设计意图 通过严格的数学定义，帮助学生建立准确的概念框架；通过与指数函数的对比，突出幂函数的形式特征，防止概念混淆；通过辨析训练，深化对定义的理解，提升逻辑判断能力；引用数学家名言，增强学科文化渗透，培养学生严谨的科学态度。
合作探究，绘图识性
【15分钟】 一、分组绘制图像，观察特征。 （一）、布置探究任务：
将全班分为五个小组，每组负责绘制一个典型幂函数的图像：
第1组：y = x；第2组：y = x ；第3组：y = x ；第4组：y = x^{1/2}（即 y = ）；第5组：y = x^{-1}（即 y = 1/x）。
提供坐标纸、直尺、铅笔、彩色笔等工具，要求：
1. 列表取值（注意正负、零、分数）；
2. 描点作图；
3. 连线成像；
4. 归纳该函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点（如过定点(1,1)）等性质。
（二）、巡视指导，启发思维。
教师在各组间巡视，重点关注：
- 第4组是否注意到 y = 的定义域为 [0, +∞)，不能取负数；
- 第5组是否理解 y = 1/x 在 x=0 处无定义，图像分为两支，渐近线为坐标轴；
- 所有小组是否能正确描点，尤其是非整数指数的情况；
- 是否能用数学语言准确描述图像趋势与性质。
对于遇到困难的小组，提示：“你可以先考虑这个函数在哪些x值有意义？它的图像会不会关于原点或y轴对称？随着x增大，y是变大还是变小？”
二、展示成果，集体研讨。 （一）、邀请各小组代表上台展示图像与性质归纳结果。
使用实物投影仪展示学生作品，鼓励其他同学补充或质疑。例如：
- 第1组展示直线 y=x，指出其过原点，斜率为1，奇函数，在R上单调递增；
- 第2组展示抛物线 y=x ，开口向上，顶点在原点，偶函数，在(-∞,0]减，在[0,+∞)增；
- 第3组展示立方曲线 y=x ，穿过原点，奇函数，在R上单调递增；
- 第4组展示半抛物线 y=，仅在第一象限，非奇非偶，在[0,+∞)单调递增；
- 第5组展示双曲线 y=1/x，分布在一三象限，奇函数，在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减。
教师及时肯定优点，纠正错误，规范表述。
（二）、动态演示，深化理解。
利用几何画板软件，动态展示当指数α从-3连续变化到3时，函数 y = x^α 的图像演变过程：
- 当α < 0 时，图像呈双曲线型，随|α|增大，下降更快；
- 当α = 0 时，退化为水平直线 y=1（x≠0）；
- 当0 < α < 1 时，图像类似，增长缓慢；
- 当α = 1 时，为直线 y=x；
- 当α > 1 时，图像类似x 或x ，增长加快。
强调所有幂函数都经过定点(1,1)，因为1^α = 1恒成立。
过渡语：“正如自然界中的万物生长遵循一定的节律，数学图像的演化也有其内在的秩序。当我们拨动参数α的指针，仿佛看到了函数世界的四季轮回。” 1. 分组合作，动手绘图。
2. 讨论性质，填写报告。
3. 展示成果，讲解发现。
4. 观察动态演示，总结规律。
评价任务 绘图准确：☆☆☆
性质完整：☆☆☆
表达流畅：☆☆☆
设计意图 通过分组合作探究，落实“做中学”的理念，提升学生的动手实践能力和团队协作意识；通过亲手绘图，加深对函数图像的直观感受；通过展示与交流，锻炼学生的数学表达与批判性思维；借助信息技术动态演示，突破静态图像的局限，揭示参数变化带来的整体规律，帮助学生建立宏观认知，体现数形结合的思想魅力。
归纳总结，提炼规律
【10分钟】 一、系统梳理，分类归纳。 （一）、引导学生共同完成表格整理：
在黑板上绘制如下表格，师生共同填充：
函数定义域 值域奇偶性单调性 图像特征 y=x RR奇 R上增 直线 y=x R [0,+∞)偶 (-∞,0]减，[0,+∞)增抛物线 y=x R R 奇R上增立方曲线y= [0,+∞) [0,+∞)非奇非偶[0,+∞)增半抛物线y=1/xx|x≠0}{y|y≠0}奇(-∞,0)减，(0,+∞)减 双曲线
（二）、提炼共性与差异：
提问：“观察这五类函数，你能发现哪些共同点？”
预设答案：
- 都过点(1,1)；
- 当x>1时，指数越大，增长越快；
- 当0 再问：“哪些性质受指数α的影响最大？”
引导得出：
- α > 0：定义域通常包含正实数，图像过原点或趋于原点；
- α < 0：定义域不含0，图像有渐近线；
- α为整数：可能具有奇偶性；
- α为分数：定义域受限（如分母为偶数时不能取负数）。
教师总结：“数学的美，不仅在于它的精确，更在于它的统一与变化。看似千变万化的图像背后，竟藏着如此清晰的规律。” 1. 参与表格填写。
2. 发现共性规律。
3. 理解分类逻辑。
4. 记录关键结论。
评价任务 归纳完整：☆☆☆
发现规律：☆☆☆
理解深刻：☆☆☆
设计意图 通过表格化整理，帮助学生将零散的知识系统化、结构化，提升信息整合能力；通过提问引导，促进深度思考，培养抽象概括能力；通过共性与差异的比较，深化对幂函数整体性质的理解；借助优美的总结语，升华数学审美体验，激发学生对数学内在规律的敬畏与热爱。
应用拓展，巩固提升
【7分钟】 一、典型例题解析。 （一）、出示例题：
例1：已知幂函数 f(x) = x^α 的图像经过点 (8, 2)，求 f(27) 的值。
解题步骤引导：
1. 将点(8,2)代入函数：2 = 8^α；
2. 化为指数形式：8^α = 2 (2 )^α = 2 2^{3α} = 2 3α = 1 α = 1/3；
3. 得函数 f(x) = x^{1/3}；
4. 求 f(27) = 27^{1/3} = 3。
强调：“这是典型的待定系数法求幂函数解析式的问题。”
（二）、变式训练：
例2：比较下列各组数的大小：
(1) 1.3^{0.7} 与 1.3^{0.8}；
(2) 0.7^{1.3} 与 0.8^{1.3}；
(3) 1.7^{0.3} 与 0.9^{3.1}。
逐题分析：
(1) 考察 y = 1.3^x（指数函数），底数>1，单调递增，故 1.3^{0.7} < 1.3^{0.8}；
(2) 考察 y = x^{1.3}（幂函数），α>0，在(0,+∞)单调递增，故 0.7^{1.3} < 0.8^{1.3}；
(3) 1.7^{0.3} > 1.7^0 = 1，而 0.9^{3.1} < 0.9^0 = 1，故 1.7^{0.3} > 0.9^{3.1}。
提醒学生注意区分幂函数与指数函数的比较策略。
过渡语：“数学的力量，在于它能穿透现象的迷雾，直达本质的彼岸。每一次正确的比较，都是理性之光的闪耀。” 1. 理解题目条件。
2. 参与解题过程。
3. 掌握比较方法。
4. 完成变式练习。
评价任务 解法正确：☆☆☆
思路清晰：☆☆☆
计算准确：☆☆☆
设计意图 通过典型例题，巩固幂函数解析式的求法，强化待定系数法的应用；通过变式训练，提升学生在复杂情境中识别函数类型、运用性质解决问题的能力；通过对比辨析，进一步厘清幂函数与指数函数的区别，防止知识混淆；培养学生的逻辑推理与运算求解能力。
作业设计
一、基础巩固
1. 下列函数中，哪些是幂函数？请写出对应的 α 值：
(1) y = x^4；(2) y = 4^x；(3) y = x^{-2}；(4) y = √(x^3)；(5) y = x^{π}；(6) y = 2x^2。
2. 已知幂函数 f(x) = x^α 的图像经过点 (9, 3)，求 α 的值，并计算 f(16)。
3. 画出函数 y = x^{2/3} 的大致图像，并写出其定义域、值域和单调区间。
二、能力提升
4. 比较下列各组数的大小：
(1) 2.1^{0.5} 与 2.2^{0.5}；
(2) 0.5^{2.1} 与 0.5^{2.2}；
(3) 1.2^{-1.5} 与 1.3^{-1.5}。
5. 若幂函数 f(x) = x^α 在区间 (0, +∞) 上是减函数，求 α 的取值范围。
三、拓展探究
6. 查阅资料，了解幂函数在物理学（如开普勒第三定律）、经济学（如规模收益）中的应用，写一篇200字左右的小短文。
【答案解析】
一、基础巩固
1. (1) 是，α=4；(3) 是，α=-2；(4) 是，y=x^{3/2}，α=3/2；(5) 是，α=π；(2)(6) 不是。
2. 由 3 = 9^α 3 = (3 )^α = 3^{2α} 2α=1 α=1/2；f(16)=16^{1/2}=4。
3. 定义域：R；值域：[0,+∞)；在(-∞,0]单调递减，在[0,+∞)单调递增；图像关于y轴对称（偶函数）。
二、能力提升
4. (1) y=x^{0.5}增 2.1^{0.5} < 2.2^{0.5}；
(2) y=0.5^x减 0.5^{2.1} > 0.5^{2.2}；
(3) y=x^{-1.5}在(0,+∞)减 1.2^{-1.5} > 1.3^{-1.5}。
5. 当 α < 0 时，幂函数在 (0,+∞) 上单调递减，故 α ∈ (-∞, 0)。
板书设计
3.3 幂函数
一、定义：y = x^α （α∈R）
二、典型函数：
y=x → 直线
y=x → 抛物线
y=x → 立方曲线
y=√x → 半抛物线
y=1/x → 双曲线
三、共性：
● 过定点(1,1)
● α>0：过原点或趋近
● α<0：有渐近线
四、性质归纳表（略）
五、应用：求值、比较大小
→ 数形结合，分类讨论
教学反思
成功之处
1. 通过生活实例引入，有效激发了学生的学习兴趣，实现了从现实到数学的自然过渡。
2. 采用小组合作绘图探究的方式，充分调动了学生的主动性，增强了动手能力和合作意识，课堂氛围活跃。
3. 利用几何画板动态演示幂函数图像随α变化的过程，直观生动，极大提升了学生对参数影响的理解深度。
不足之处
1. 部分学生在绘制 y=√x 和 y=1/x 时出现定义域错误，反映出对根式与分式函数限制条件掌握不牢，需加强前置知识复习。
2. 课堂时间较为紧张，最后的应用环节略显仓促，个别学生未能充分参与讨论。
3. 对于α为无理数（如π）的情形，解释不够深入，可适当补充极限思想的初步感知。