3.4《函数的应用（一）》课时教案（表格式）-2025--2026年人教A版高中数学必修第一册

3.4《函数的应用（一）》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 新课标人教A版必修第一册 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容位于人教A版高中数学必修第一册第三章第四节，是学生在系统学习函数概念、性质及基本初等函数后首次接触的实际应用问题。教材通过构建一次函数、二次函数模型解决现实中的成本、利润、运动等问题，体现了数学建模思想的初步渗透。内容具有承上启下的作用：既巩固了函数的基本知识，又为后续学习指数函数、对数函数的应用奠定基础。
学情分析
高一学生已掌握函数的定义、图像与性质，具备一定的代数运算和图像分析能力，但将实际问题转化为数学模型的能力较弱。他们对“数学有用”有模糊认知，却缺乏真实体验。生活经验中虽常接触价格、速度、面积等量变关系，但尚未形成用函数刻画变量关联的意识。身心发展上处于抽象思维快速成长期，适合引导其从具体情境出发进行归纳推理。主要障碍在于审题不清、变量识别不准、模型选择不当。突破措施是设计贴近生活的任务链，借助小组合作逐步拆解问题，强化“实际问题→数学问题→函数模型→求解验证”的路径训练。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从实际生活情境中识别出两个相关联的变量，并判断它们之间是否存在函数关系。
2. 能结合具体案例（如商品定价与销量、汽车行驶时间与路程），描述变量之间的变化规律。
思考现实世界
1. 能根据实际问题的背景特征，合理选择一次函数或二次函数作为建模工具，解释选择依据。
2. 能运用待定系数法、图像法等方法确定函数表达式，并利用函数性质进行预测与决策分析。
表达现实世界
1. 能规范写出函数建模的过程步骤，包括设未知量、列方程、解方程、检验结果合理性。
2. 能用准确的数学语言表述模型的意义及其在原问题中的实际含义。
核心素养提升
1. 在建模过程中发展数学建模与逻辑推理能力，体会函数思想的价值。
2. 通过小组协作解决问题，增强合作意识与交流表达能力。
教学重点、难点
重点
1. 从实际问题中提取关键信息，建立一次函数或二次函数模型。
2. 利用函数模型解决简单的实际问题，理解函数在现实生活中的应用价值。
难点
1. 准确识别变量间的数量关系，正确设定自变量与因变量。
2. 对所求解的结果进行合理解释与实际意义的还原，避免脱离情境的纯数学计算。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法
教具准备
多媒体课件、投影仪、学案、计算器、白板笔
教学环节 教师活动 学生活动
情境导入，感知函数之用
【5分钟】 一、创设生活情境，引发认知冲突 （一）、播放短视频：校园奶茶店经营困境
视频内容：某校内奶茶店老板面对学生反馈“太贵了没人买，便宜了又亏本”的两难局面，苦恼如何定价才能实现盈利最大化。画面定格在黑板上写着“单价=？元，日销量=？杯，总利润=？”的草图上。
提问引导：同学们，你们有没有遇到过类似的消费选择？如果你是店主，你会怎么考虑定价策略？这里面有哪些量在变化？它们之间有什么关系？
过渡语：正如笛卡尔所说：“一切问题都可以归结为数学问题，一切数学问题都可以归结为代数问题，而一切代数问题又都可以归结为方程问题。”今天我们就用函数这个强大的工具，帮这位老板找到最优解！
二、揭示课题，明确学习目标 （一）、板书课题并口述学习任务
教师在黑板中央工整书写：“3.4 函数的应用（一）”，随后转身面向学生说：“这节课，我们要学会把生活中看得见的变化，变成纸上写得清的函数。我们将经历‘发现问题—提出问题—建立模型—解决问题—回归现实’的全过程，真正让数学活起来！”
展示本节课的学习目标PPT，逐条解读，强调“建模”不仅是列式子，更是理解世界的一种方式。 1. 观看视频，产生共鸣。
2. 思考变量关系，尝试回答问题。
3. 明确学习目标，进入学习状态。
4. 激发探究兴趣，期待解决问题。
评价任务 能说出至少两个相关变量：☆☆☆
能初步描述变量间关系：☆☆☆
表现出积极参与意愿：☆☆☆
设计意图 以真实校园生活场景切入，贴近学生经验，激发学习动机；通过“定价难题”制造认知冲突，自然引出函数建模的需求；引用笛卡尔名言提升数学哲学高度，让学生感受数学的力量与美感。
合作探究，构建函数模型
【18分钟】 一、任务驱动：破解奶茶店盈利密码 （一）、发放学案，呈现完整问题情境
教师分发印有以下文字的学案：
【问题1】某校奶茶店销售一款饮品，调查发现：若每杯售价定为8元，则每天可卖出200杯；每降价1元，日销量增加50杯。已知每杯原料成本为4元，其他固定日支出为300元。请你帮助店主分析：
（1）日销量 y（杯）与售价 x（元）之间有何函数关系？
（2）日利润 w（元）与售价 x（元）之间有何函数关系？
（3）当售价定为多少时，日利润最大？最大利润是多少？
要求：前后四人为一组，先独立思考5分钟，再小组讨论，共同完成建模过程。
（二）、巡视指导，捕捉典型思路
教师走下讲台，在各小组间巡回观察，重点关注：
① 是否能正确设出自变量x为售价，因变量y为销量；
② 是否意识到销量随价格下降而上升，呈线性关系；
③ 在求利润时是否考虑到总收益减去总成本（含变动成本和固定成本）。
对于卡壳的小组，提示：“想想看，降价1元多卖50杯，这说明什么？是不是像一条直线？”
对于进展顺利的小组，追问：“你写的这个函数，在现实中x可以无限小吗？比如卖1毛钱一杯行不行？”引导学生关注实际意义的限制。
二、成果展示，师生共评优化 （一）、邀请小组代表上台讲解建模过程
选取两组不同层次的学生上台使用实物投影展示解题过程：
第一组成功建立一次函数模型：由题意知，当x=8时，y=200；每降1元增售50杯，即斜率为-50。故y = -50(x - 8) + 200 = -50x + 600。
第二组进一步推导利润函数：总收益R = x·y = x(-50x + 600)，总成本C = 4y + 300 = 4(-50x + 600) + 300 = -200x + 2700，故利润w = R - C = (-50x + 600x) - (-200x + 2700) = -50x + 800x - 2700。
教师适时打断提问：“为什么这里用了二次函数？你能画出它的大致图像吗？”
（二）、提炼建模步骤，形成方法框架
教师总结并板书：
第一步：读题审题，明确研究对象——找变量；
第二步：分析关系，确定函数类型——定模型；
第三步：设列算验，求解数学问题——解模型；
第四步：回归实际，解释结果意义——用模型。
强调：“数学不是冰冷的公式，而是温暖的生活语言。我们求出的每一个x值，都对应着一个真实的经营决策。” 1. 阅读问题，提取信息。
2. 独立思考，尝试建模。
3. 小组讨论，完善方案。
4. 展示交流，接受点评。
评价任务 变量识别准确：☆☆☆
模型选择合理：☆☆☆
过程表达清晰：☆☆☆
设计意图 通过真实商业案例驱动学习，使学生在“做中学”；采用小组合作形式促进思维碰撞，体现差异化教学；通过展示与互评培养批判性思维；教师适时点拨帮助学生突破难点，构建完整的函数建模认知结构。
迁移应用，深化建模理解
【12分钟】 一、变换情境，巩固建模流程 （一）、出示新问题：快递驿站的包裹存放难题
教师投影显示：
【问题2】某小区快递驿站计划扩建储物柜。现有场地可容纳最多20个柜子，每个柜子月租金80元。市场调研表明：若每个柜子收费60元/月，可全部租出；每提高5元租金，就少租出1个柜子。问：应如何定价才能使月收入最高？最高收入为多少？
要求：不依赖学案，直接在练习本上按照“四步法”独立完成。
（二）、个别辅导，关注个体差异
教师继续巡视，重点关注平时数学基础较弱的学生，给予个别提示：“这次是谁变了？租金还是数量？哪个是自变量？你可以仿照刚才奶茶店的例子来设。”对于提前完成的学生，鼓励其思考拓展问题：“如果每个柜子每月维护费是10元，该怎么调整模型？”
二、即时反馈，强化关键节点 （一）、抽取学生答案投屏展示
挑选一份书写规范的答案进行全班展示：
设租金为x元/月，租出数量为y个。
由题意，当x=60时，y=20；每涨5元少租1个，故y = 20 - (x - 60)/5 = -0.2x + 32。
月收入w = x·y = x(-0.2x + 32) = -0.2x + 32x。
此为开口向下的抛物线，顶点横坐标x = -b/(2a) = -32/(2×(-0.2)) = 80。
此时y = -0.2×80 + 32 = 16 > 0，符合实际；且x=80在合理范围内（高于成本价）。
故当租金定为80元时，月收入最高，为w_max = -0.2×80 + 32×80 = 1280元。
教师点评：“这位同学不仅算得准，还自觉检验了结果的合理性，这才是真正的数学思维！”
三、对比归纳，提炼共性规律 （一）、引导学生比较两道题的异同
提问：“这两个问题看似不同，但在建模思路上有什么共同点？”
预设回答：
① 都涉及“价格变动影响需求量”；
② 需求量与价格成一次函数关系；
③ 收入/利润是价格与销量的乘积，最终形成二次函数；
④ 最优解出现在抛物线顶点处。
教师总结：“这就是典型的‘需求弹性’模型，广泛存在于经济生活中。你们今天掌握的，不只是两道题，而是一类问题的解决钥匙。” 1. 独立审题，迁移建模。
2. 动手演算，求解问题。
3. 自主检验，反思结果。
4. 参与归纳，总结规律。
评价任务 独立建模成功：☆☆☆
结果计算准确：☆☆☆
能进行类比归纳：☆☆☆
设计意图 通过更换情境实现知识迁移，检验学生是否真正掌握建模本质；设置梯度问题满足不同层次学生需求；借助对比分析提升抽象概括能力，帮助学生从“解一道题”走向“通一类题”；渗透经济学常识，拓宽学科视野。
课堂小结，升华数学价值
【6分钟】 一、结构化回顾：梳理知识脉络 （一）、师生共同完成思维导图式板书补充
教师指着黑板上的原有板书，带领学生一起复述：
“今天我们从一个奶茶店的故事出发，学会了四个步骤：一是观察现实，找出变量；二是分析关系，选定模型；三是数学求解，得出结果；四是回归实际，做出决策。我们发现，一次函数描述线性变化，二次函数揭示极值规律，它们都是我们理解世界的望远镜和显微镜。”
二、升华式总结：感悟数学人生 （一）、讲述华罗庚的名言与故事
教师深情讲述：“我国著名数学家华罗庚曾说：‘宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。’他年轻时曾在杂货店当学徒，却靠着自学成为一代宗师。他曾用统筹法帮助农民优化种植周期，用优选法改进工厂生产流程。数学从来不只是试卷上的分数，它是改变生活的力量。”
停顿片刻，继续说道：“你们今天帮奶茶店老板找到了最佳售价，也许明天就能用同样的智慧规划自己的时间、管理零花钱、甚至设计创业项目。愿你们永远保持这份用数学眼光看世界的好奇心，做一个既能仰望星空，也能脚踏实地的理性思考者。” 1. 跟随回顾，梳理流程。
2. 倾听故事，感悟价值。
3. 内化情感，树立信念。
4. 展望未来，激发动力。
评价任务 能复述建模四步骤：☆☆☆
能理解数学应用价值：☆☆☆
表现出积极情感态度：☆☆☆
设计意图 通过结构化回顾强化记忆线索；引入数学家故事增强文化感染力；将数学学习与个人成长、社会责任相联系，实现情感态度价值观的自然升华；优美语言营造诗意课堂氛围，让学生带着感动离开教室。
布置作业，延伸学习时空
【4分钟】 一、分层作业，兼顾全体发展 （一）、宣布课后任务
教师清晰说明：
【基础巩固】教材P98练习第1、2题，要求写出完整的建模过程。
【能力提升】请调查你所在社区的一个小型商户（如文具店、水果摊），记录其某种商品的售价与日销量数据（至少3组），尝试建立函数模型，并预测在某一价格下的销量。
【挑战创新】查阅资料了解“边际效益递减”原理，思考它与今天我们所学的二次函数最大值有何内在联系，写一段200字左右的感悟。
提醒：“下周我们将举办‘小小经济师’分享会，欢迎同学们带来你们的调研报告！”
二、预告下节内容 （一）、简要介绍下一课方向
“下节课我们将走进大自然，看看兔子繁殖、树木生长背后藏着什么样的函数秘密——那将是指数函数的奇妙世界。请大家提前预习课本第102页的内容。” 1. 记录作业要求。
2. 明确完成标准。
3. 规划完成时间。
4. 产生探究期待。
评价任务 能准确记录作业内容：☆☆☆
能理解不同层次要求：☆☆☆
表现出课外探究兴趣：☆☆☆
设计意图 作业设计体现分层理念，满足差异需求；基础题巩固技能，实践题连接社会，拓展题启迪思维；通过“分享会”形式增强任务仪式感；预告新知激发预习动机，保持学习连续性。
作业设计
一、基础巩固：课本练习
1. 某公司生产一种产品，固定成本为5000元，每生产一件产品的可变成本为10元，销售单价为20元。设生产并销售x件产品，求：
　　（1）总成本C（x）的函数表达式；
　　（2）总收入R（x）的函数表达式；
　　（3）总利润L（x）的函数表达式；
　　（4）至少要生产多少件产品才能不亏损？
2. 一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶t小时后的路程为s千米。写出s与t之间的函数关系式，并画出其图像。
二、能力提升：生活调研
请走访一家你熟悉的零售店铺（如早餐店、书店、零食铺等），选择一种热销商品，收集以下信息：
　　 当前售价
　　 日均销量
　　 若价格上调或下调一定金额（如±2元），预计销量会发生怎样的变化
根据这些信息：
　　（1）假设销量与价格呈一次函数关系，建立该商品销量y（件）与价格x（元）的函数模型；
　　（2）若已知该商品的进价，请进一步建立利润w与价格x的函数模型；
　　（3）计算使利润最大的建议售价。
要求：提交一份包含数据记录、建模过程和结论建议的小报告（不少于300字）。
三、挑战创新：阅读感悟
阅读材料：在经济学中，“边际效益递减”是指在其他条件不变的情况下，随着某种投入的不断增加，其所带来的额外收益会逐渐减少。例如，一个人饿的时候吃第一块面包感觉最香，第二块次之，第三块可能就饱了……
思考：
　　（1）这一现象与二次函数图像的哪一部分特征相似？
　　（2）你能举出生活中其他符合“边际效益递减”的例子吗？
　　（3）写一段话（200字左右），谈谈你对“最优平衡点”的理解。
【答案解析】
一、基础巩固
1. 解：
　　（1）C(x) = 10x + 5000
　　（2）R(x) = 20x
　　（3）L(x) = R(x) - C(x) = 20x - (10x + 5000) = 10x - 5000
　　（4）令L(x) ≥ 0，即10x - 5000 ≥ 0 x ≥ 500，故至少生产500件才能不亏损。
2. 解：
　　s = 60t （t ≥ 0），图像为过原点、斜率为60的一条射线。
二、能力提升
评分标准：
　　 数据真实可信（30%）
　　 建模过程完整（40%）
　　 结论合理可行（30%）
板书设计
3.4 函数的应用（一）
┌──────────────────────┐
│ 奶茶店盈利问题 → 快递柜收入问题 │
└──────────────────────┘
　　　　　　　↓
　　现实问题 → 数学模型 → 解决方案
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　　【建模四步法】
　　① 找变量：x（售价），y（销量），w（利润）
　　② 定模型：y = kx + b（一次函数）→ w = ax + bx + c（二次函数）
　　③ 解模型：配方法 / 公式法 / 图像法 → 求最值
　　④ 用模型：回归实际，做出决策
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　　数学是理解世界的语言
　　华罗庚：无处不用数学
教学反思
成功之处
1. 以“奶茶店定价”为主线故事贯穿始终，情境真实有趣，极大提升了学生的参与热情和探究欲望。
2. 采用“问题链+小组合作”模式，有效促进了深度学习，多数学生能独立完成迁移应用题，建模能力显著提升。
3. 课堂总结融入华罗庚事迹与名言，实现了知识传授与价值引领的有机统一，学生反响热烈。
不足之处
1. 对部分基础薄弱学生个别指导时间不足，导致他们在利润函数构建环节仍存在困难。
2. 学生在变量命名时习惯性使用x、y，忽视实际意义标注，需加强规范性训练。
3. 时间分配略显紧张，最后作业布置环节稍显仓促，未能充分解释调研报告的具体格式要求。