第二章 直线与圆的方程（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版(2019)高二数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第二章 直线与圆的方程（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版(2019)高二数学选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 81.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-15 00:00:00 | ||
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文档简介
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第二章 直线与圆的方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 广东月考）P是圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1上的动点，Q是直线y＝x﹣2上的动点，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025春 兴义市校级期中）在平面直角坐标系中，A（0，3），B（0，﹣1），点P满足|PA|＝2|PB|，则点P到直线AB的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2025春 浦东新区校级期末）直线2x+y+3＝0的倾斜角等于（ ）
A．arctan2 B．arctan（﹣2）
C．π+arctan（﹣2） D．π﹣arctan（﹣2）
4．（2025 山东模拟）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（ ）
A．﹣4 B．20 C．0 D．24
5．（2024秋 宝鸡期末）已知圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有一条公切线，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．±2
6．（2024秋 官渡区期末）已知直线l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x﹣（a﹣3）y﹣2＝0，则“l1∥l2”是“a＝1”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2024秋 海州区校级期末）已知直线l倾斜角为60°，且过（2，），则l在y轴上的截距为（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
8．（2024秋 海口校级期末）已知直线l：x+y﹣2＝0与圆C：x2+y2＝2，点A（1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆C上，直线l与圆C相切
B．点A在圆C内，直线l与圆C相离
C．点A在圆C外，直线l与圆C相切
D．点A在圆C上，直线l与圆C相交
二．多选题（共4小题）
9．（2025 榆次区校级学业考试）已知直线l：kx﹣y+2k+1＝0和圆O：x2+y2＝8，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，1）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．直线l被圆O截得的最短弦长为
10．（2024秋 朝阳校级期末）已知圆与圆内切，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
11．（2024秋 乌鲁木齐期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第三象限
B．直线y＝ax﹣3a+2过定点（3，2）
C．过点（2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为
D．斜率为﹣2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝﹣2x±3
12．（2024秋 赤峰校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．λ的取值范围为（﹣∞，1]
B．圆C关于直线x+y＝0对称
C．若直线x+y+1＝0被圆C截得的弦长为，则λ＝1
D．若λ＝1，过点A（0，1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝2
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 静安区校级期末）直线的倾斜角为 ．（用arctan表示）
14．（2025春 福州校级期中）已知直线l：y﹣2＝k（x﹣2）与圆C：x2+y2+2y﹣24＝0相交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是 ．
15．（2025春 静安区校级月考）过定点（﹣2，0）的直线l与曲线交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是 ．
16．（2025 合肥校级模拟）已知a∈R，直线l：（a+1）x+2y﹣2a＝0恒过定点P，圆C的圆心与点P关于直线y＝x对称，直线l′：2x+y﹣5＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的半径为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 金山区校级期末）在△ABC中，A（2，2），边AC上的高BE所在的直线方程为x+3y﹣2＝0，边AB上中线CM所在的直线方程为6x+y+4＝0．
（1）求点C坐标；
（2）求直线BC的方程．
18．（2024秋 自贡校级期末）已知△ABC顶点A（1，2）、B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3）．
（1）求边BC的垂直平分线l1的方程；
（2）若直线l2过点A，且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线l2的方程．
19．（2025春 海南期末）已知直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：2x+3y﹣8＝0．
（1）求经过点A（1，4）且与直线l2垂直的直线方程；
（2）求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
20．（2024秋 东坡区期末）已知圆C的半径为2，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切．
（1）求圆C的方程．
（2）过M（3，4）的直线l与圆相交所得的弦长为，求直线l的方程．
第二章 直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 广东月考）P是圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1上的动点，Q是直线y＝x﹣2上的动点，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解．
【解答】解：由题意得，圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1的圆心为（a，a2），半径r＝1．
∵（a，a2）到直线y＝x﹣2的距离d1，
当且仅当a时等号成立，∴直线与该圆相离，
∴|PQ|的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
2．（2025春 兴义市校级期中）在平面直角坐标系中，A（0，3），B（0，﹣1），点P满足|PA|＝2|PB|，则点P到直线AB的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】由点到直线的距离公式求出点P的轨迹可得．
【解答】解：设点P（x，y），A（0，3），B（0，﹣1），
则直线AB的方程为：x＝0，
因为|PA|＝2|PB|，所以，
整理得，
所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
则（0，）在直线x＝0上，
所以点P到直线AB的最大距离dmax＝0+r．
故选：B．
【点评】本题考查圆上的点到直线的距离的最大值的求法及点的轨迹方程的求法，属于中档题．
3．（2025春 浦东新区校级期末）直线2x+y+3＝0的倾斜角等于（ ）
A．arctan2 B．arctan（﹣2）
C．π+arctan（﹣2） D．π﹣arctan（﹣2）
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】由直线的倾斜角与斜率关系可得tanα，再根据倾斜角的范围[0，π），即可得出结果．
【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为α，
直线2x+y+3＝0，其斜率k＝﹣2，则有tanα＝﹣2，α∈[0，π），
又由，故α＝π+arctan（﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查直线的切斜角，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
4．（2025 山东模拟）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（ ）
A．﹣4 B．20 C．0 D．24
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】直线与圆．
【答案】A
【分析】首先根据垂直得出1从而求出a的值，再由（1，c）在直线5x+2y﹣1＝0和2x﹣5y+b＝0上求出c和b的值，即可得出结果．
【解答】解；∵直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直
∴1
解得：a＝10
∴直线l1：5x+2y﹣1＝0
∵（1，c）在直线5x+2y﹣1＝0上
∴5+2c﹣1＝0 解得：c＝﹣2
又∵（1，﹣2）也在直线l2：2x﹣5y+b＝0上
∴2×1+5×2+b＝0
解得：b＝﹣12
∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4
故选：A．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，属于基础题．
5．（2024秋 宝鸡期末）已知圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有一条公切线，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．±2
【考点】两圆的公切线条数及方程的确定；圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用已知条件列出方程，求解即可．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0的圆心（m，0），半径为6，
圆C2：x2+y2﹣4y＝0的圆心（0，2），半径为2，
圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有一条公切线，
说明两个圆内切，
可得，
解得m＝±．
故选：C．
【点评】本题考查两个圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
6．（2024秋 官渡区期末）已知直线l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x﹣（a﹣3）y﹣2＝0，则“l1∥l2”是“a＝1”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件必要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】根据两直线平行求出a的值，即可得出结论．
【解答】解：直线l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x﹣（a﹣3）y﹣2＝0，
若l1∥l2，则，解得a＝1，
所以，“l1∥l2”是“a＝1”的充要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，考查计算能力，属于基础题．
7．（2024秋 海州区校级期末）已知直线l倾斜角为60°，且过（2，），则l在y轴上的截距为（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】由直线的倾斜角求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程，可得直线l的方程，令x＝0，即可解得直线在y轴上的截距．
【解答】解：因为直线的倾斜角为60°，
所以直线l的斜率k，
因为直线l过点（2，），
所以直线l的点斜式方程为，
当x＝0时，y＝﹣2，
所以直线l在y轴上的截距为．
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角关系的应用及直线在y轴上的截距的求法，属于基础题．
8．（2024秋 海口校级期末）已知直线l：x+y﹣2＝0与圆C：x2+y2＝2，点A（1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆C上，直线l与圆C相切
B．点A在圆C内，直线l与圆C相离
C．点A在圆C外，直线l与圆C相切
D．点A在圆C上，直线l与圆C相交
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】比较圆心到直线的距离与圆半径大小可判断直线与圆位置关系，判断点A是否满足圆方程，可判断点与圆的位置关系．
【解答】解：因为点A的坐标（1，1）满足圆C的方程，所以点A在圆C上．
圆C：x2+y2＝2，
则圆心C（0，0），半径r，
则圆心C（0，0）到直线l的距离，
所以直线l与圆C相切．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025 榆次区校级学业考试）已知直线l：kx﹣y+2k+1＝0和圆O：x2+y2＝8，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，1）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．直线l被圆O截得的最短弦长为
【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D．
【解答】解：对于A，由kx﹣y+2k+1＝0可得，k（x+2）﹣y+1＝0，令x+2＝0，即x＝﹣2，此时y＝1，所以直线l恒过定点（﹣2，1），A错误；
对于B，因为直线l0：x﹣2y+2＝0的斜率为，所以直线l的斜率为﹣2，即k＝﹣2，此时直线l与直线l0垂直，满足题意，B正确；
对于C，因为定点（﹣2，1）到圆心的距离为，所以定点（﹣2，1）在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确；
对于D，设直线l恒过定点A（﹣2，1），圆心到直线l的最大距离为，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．
10．（2024秋 朝阳校级期末）已知圆与圆内切，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标与半径的大小，然后根据两圆相内切的性质建立关于m的方程，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，可得圆的圆心C1（m，0），半径r1＝1．
圆的圆心C2（2，m），半径r2＝3，
因为圆C1与圆C2内切，所以|C1C2|＝|r1﹣r2|，即，解得m＝0或2．
故选：BD．
【点评】本题主要考查圆的标准方程、两圆的位置关系及其应用等知识，属于基础题．
11．（2024秋 乌鲁木齐期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第三象限
B．直线y＝ax﹣3a+2过定点（3，2）
C．过点（2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为
D．斜率为﹣2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝﹣2x±3
【考点】直线的截距式方程；恒过定点的直线；命题的真假判断与应用；确定直线位置的几何要素；直线的点斜式方程；直线的斜截式方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用直线方程的斜截式、点斜式，以及直线过定点问题进行逐个选项判断即可．
【解答】解：因为直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，
所以直线的斜率k＜0，截距b＞0．
故点（k，b）在第二象限，所以A中说法错误．
由y＝ax﹣3a+2整理得y﹣2＝a（x﹣3）．
所以无论a取何值，（3，2）都满足方程．所以B中说法正确．
由点斜式方程可知，
过点（2，﹣1）且斜率为的直线的方程为．
所以C中说法正确．
由斜截式方程可知，
斜率为﹣2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝﹣2x+3．
所以D中说法错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了直线方程问题，考查恒过定点的直线，是基础题．
12．（2024秋 赤峰校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．λ的取值范围为（﹣∞，1]
B．圆C关于直线x+y＝0对称
C．若直线x+y+1＝0被圆C截得的弦长为，则λ＝1
D．若λ＝1，过点A（0，1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝2
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BCD
【分析】A中，将圆的方程整理，由题意可得λ的范围，判断出A的真假；B中，可得圆心C的坐标，将点C的坐标代入直线的方程，可得圆C关于直线对称，判断出B的真假；C中，求出圆心C到直线的距离d，由弦长公式，可得λ的值，判断出C的真假；D中，当λ＝1，可得圆心C的坐标及半径的大小，再求出|AC|的值，由勾股定理可得切线长|AB|的值，判断出D的真假．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0整理可得（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣λ，
可得2﹣λ＞0，解得λ＜2，
A中，λ的范围为（﹣∞，2），所以A不正确；
B中，由圆的方程可得圆心C坐标（1，﹣1），显然满足x+y＝0，
所以圆关于直线x+y＝0对称，所以B正确；
C中，圆心C（1，﹣1）到直线的距离d，
所以弦长为22，解得λ＝1，所以C正确；
D中，λ＝1时，可得圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+1）2＝1，即圆心C（1，﹣1），半径r＝1，
因为|AC|，所以切线长|AB|2，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查圆的性质的应用及直线与圆的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 静安区校级期末）直线的倾斜角为 arctan ．（用arctan表示）
【考点】直线的倾斜角．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】arctan．
【分析】由直线方程得到斜率，再由直线的斜率与倾斜角的故选，可得直线的倾斜角．
【解答】解：直线的斜率为，
设直线倾斜角为α，
则，得，
所以直线的倾斜角为．
g故答案为：arctan．
【点评】本题主要考查直线倾斜角的求解，属于基础题．
14．（2025春 福州校级期中）已知直线l：y﹣2＝k（x﹣2）与圆C：x2+y2+2y﹣24＝0相交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是 ．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意，求出直线l经过的定点，由此判断直线与圆的位置关系，结合圆的性质求出弦长|AB|的取值范围．
【解答】解：根据题意，可得直线l经过定点D（2，2），斜率为k，
由圆C化成标准方程，得x2+（y+1）2＝25，圆心C（0，﹣1），半径为r＝5，
根据|CD|r，可知点D（2，2）在圆内，
当直线l经过圆心C（0，﹣1）时，|AB|max＝2r＝10，
当直线l⊥CD时，由，可得，
综上所述，|AB|的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
15．（2025春 静安区校级月考）过定点（﹣2，0）的直线l与曲线交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】数形结合；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】由题干中的方程，明确曲线所围成的图形，根据直线与圆的位置关系，可得答案．
【解答】解：由已知曲线C是以（2，0）为圆心，以2为半径的上半圆，
由题意可知直线的斜率一定存在且大于零，可设方程为y＝kx+2k，即kx﹣y+2k＝0
当直线与圆相切时，即d＝r，得，解得，
所以直线l的斜率的取值范围是．
故答案为：[0，）．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
16．（2025 合肥校级模拟）已知a∈R，直线l：（a+1）x+2y﹣2a＝0恒过定点P，圆C的圆心与点P关于直线y＝x对称，直线l′：2x+y﹣5＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的半径为 ．
【考点】直线与圆相交的性质；恒过定点的直线．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，由直线过定点可得点P的坐标，从而可得点C的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：直线l：（a+1）x+2y﹣2a＝0的方程可化为a（x﹣2）+（x+2y）＝0，
令，解得，所以点P的坐标为（2，﹣1），
又圆C的圆心与点P关于直线y＝x对称，则C（﹣1，2），
设圆C的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0），
且圆C的圆心到直线l′：2x+y﹣5＝0的距离为，
又|AB|＝2，则，
即圆C的半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 金山区校级期末）在△ABC中，A（2，2），边AC上的高BE所在的直线方程为x+3y﹣2＝0，边AB上中线CM所在的直线方程为6x+y+4＝0．
（1）求点C坐标；
（2）求直线BC的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据给定条件，求出直线AC的斜率，利用直线的点斜式方程求出直线AC的方程，再联立求出点C坐标．
（2）设B（2﹣3b，b），由AB的中点在直线CM上求出点B，再利用直线的点斜式方程求出直线BC的方程．
【解答】解：（1）在△ABC中，A（2，2），边AC上的高BE所在的直线方程为x+3y﹣2＝0，
由直线BE：x+3y﹣2＝0的斜率为，得直线AC的斜率kAC＝3，
边AB上中线CM所在的直线方程为6x+y+4＝0
直线AC的方程为y﹣2＝3（x﹣2），即y＝3x﹣4，由，解得，
所以点C的坐标为（0，﹣4）．
（2）依题意，设B（2﹣3b，b），则边AB的中点在直线CM上，
于是，解得：b＝2，即点B（﹣4，2），
所以直线BC的方程为，
即3x+2y+8＝0．
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的性质的应用，考查运算能力，属于基础题．
18．（2024秋 自贡校级期末）已知△ABC顶点A（1，2）、B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3）．
（1）求边BC的垂直平分线l1的方程；
（2）若直线l2过点A，且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线l2的方程．
【考点】直线的截距式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）3x﹣y﹣2＝0；
（2）y＝2x或2x+y﹣4＝0．
【分析】（1）根据B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3），即可得BC中点及斜率，进而可得其中垂线方程；
（2）当直线l2过坐标原点时可得直线方程；当直线l2不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解．
【解答】解：（1）由B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3），
可知BC中点为（0，﹣2），且，
所以其垂直平分线斜率满足k1 kBC＝﹣1，即k1＝3，
所以边BC的垂直平分线l1的方程为y﹣（﹣2）＝3（x﹣0），即3x﹣y﹣2＝0；
（2）当直线l2不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由l2过点A（1，2），则，解得a＝2，
所以直线l2方程为，即2x+y﹣4＝0；
当直线l2过坐标原点时，，此时直线l2：y＝2x，符合题意；
综上所述，直线l2的方程为y＝2x或2x+y﹣4＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
19．（2025春 海南期末）已知直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：2x+3y﹣8＝0．
（1）求经过点A（1，4）且与直线l2垂直的直线方程；
（2）求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的截距式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）3x﹣2y+5＝0；
（2）y＝2x或x+y﹣3＝0．
【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可；
（2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可．
【解答】解：（1）由直线，可得斜率为，
故可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得3x﹣2y+5＝0；
（2）联立，解得，即直线l1与l2的交点为（1，2），
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，
依题意，解得a＝b＝3，此时直线方程为，即x+y﹣3＝0，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为y＝kx，
代入（1，2）得k＝2，此时y＝2x；
综上所述：所求直线方程为y＝2x或x+y﹣3＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
20．（2024秋 东坡区期末）已知圆C的半径为2，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切．
（1）求圆C的方程．
（2）过M（3，4）的直线l与圆相交所得的弦长为，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系；直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据与x轴相切得圆心坐标为（a，2），再根据与直线4x﹣3y＝0相切得圆心C到直线距离等于半径2，解出参数a即得圆C的方程；
（2）先根据点斜式设直线方程，计算圆心到直线距离，再根据垂径定理列方程解出斜率，最后讨论斜率不存在时是否满足题意．
【解答】解：（1）∵圆C的半径为2，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，圆与x轴相切，
∴圆心C的坐标可设为（a，2），a＞0，
又圆与直线4x﹣3y＝0相切，
∴，解得a＝4，
∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4．
（2）过M（3，4）的直线l与圆相交所得的弦长为，
直线的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y+4﹣3k＝0，
易知圆心（4，2）到l的距离为，
∴，
解得，∴l的方程为：3x+4y﹣25＝0；
当l斜率不存在时，l方程为x＝3，此时圆心到l的距离为1，符合条件；
综上所述，l的方程为3x+4y﹣25＝0或x＝3．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．
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第二章 直线与圆的方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 广东月考）P是圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1上的动点，Q是直线y＝x﹣2上的动点，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025春 兴义市校级期中）在平面直角坐标系中，A（0，3），B（0，﹣1），点P满足|PA|＝2|PB|，则点P到直线AB的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2025春 浦东新区校级期末）直线2x+y+3＝0的倾斜角等于（ ）
A．arctan2 B．arctan（﹣2）
C．π+arctan（﹣2） D．π﹣arctan（﹣2）
4．（2025 山东模拟）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（ ）
A．﹣4 B．20 C．0 D．24
5．（2024秋 宝鸡期末）已知圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有一条公切线，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．±2
6．（2024秋 官渡区期末）已知直线l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x﹣（a﹣3）y﹣2＝0，则“l1∥l2”是“a＝1”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2024秋 海州区校级期末）已知直线l倾斜角为60°，且过（2，），则l在y轴上的截距为（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
8．（2024秋 海口校级期末）已知直线l：x+y﹣2＝0与圆C：x2+y2＝2，点A（1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆C上，直线l与圆C相切
B．点A在圆C内，直线l与圆C相离
C．点A在圆C外，直线l与圆C相切
D．点A在圆C上，直线l与圆C相交
二．多选题（共4小题）
9．（2025 榆次区校级学业考试）已知直线l：kx﹣y+2k+1＝0和圆O：x2+y2＝8，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，1）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．直线l被圆O截得的最短弦长为
10．（2024秋 朝阳校级期末）已知圆与圆内切，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
11．（2024秋 乌鲁木齐期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第三象限
B．直线y＝ax﹣3a+2过定点（3，2）
C．过点（2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为
D．斜率为﹣2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝﹣2x±3
12．（2024秋 赤峰校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．λ的取值范围为（﹣∞，1]
B．圆C关于直线x+y＝0对称
C．若直线x+y+1＝0被圆C截得的弦长为，则λ＝1
D．若λ＝1，过点A（0，1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝2
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 静安区校级期末）直线的倾斜角为 ．（用arctan表示）
14．（2025春 福州校级期中）已知直线l：y﹣2＝k（x﹣2）与圆C：x2+y2+2y﹣24＝0相交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是 ．
15．（2025春 静安区校级月考）过定点（﹣2，0）的直线l与曲线交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是 ．
16．（2025 合肥校级模拟）已知a∈R，直线l：（a+1）x+2y﹣2a＝0恒过定点P，圆C的圆心与点P关于直线y＝x对称，直线l′：2x+y﹣5＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的半径为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 金山区校级期末）在△ABC中，A（2，2），边AC上的高BE所在的直线方程为x+3y﹣2＝0，边AB上中线CM所在的直线方程为6x+y+4＝0．
（1）求点C坐标；
（2）求直线BC的方程．
18．（2024秋 自贡校级期末）已知△ABC顶点A（1，2）、B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3）．
（1）求边BC的垂直平分线l1的方程；
（2）若直线l2过点A，且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线l2的方程．
19．（2025春 海南期末）已知直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：2x+3y﹣8＝0．
（1）求经过点A（1，4）且与直线l2垂直的直线方程；
（2）求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
20．（2024秋 东坡区期末）已知圆C的半径为2，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切．
（1）求圆C的方程．
（2）过M（3，4）的直线l与圆相交所得的弦长为，求直线l的方程．
第二章 直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 广东月考）P是圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1上的动点，Q是直线y＝x﹣2上的动点，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解．
【解答】解：由题意得，圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1的圆心为（a，a2），半径r＝1．
∵（a，a2）到直线y＝x﹣2的距离d1，
当且仅当a时等号成立，∴直线与该圆相离，
∴|PQ|的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
2．（2025春 兴义市校级期中）在平面直角坐标系中，A（0，3），B（0，﹣1），点P满足|PA|＝2|PB|，则点P到直线AB的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】由点到直线的距离公式求出点P的轨迹可得．
【解答】解：设点P（x，y），A（0，3），B（0，﹣1），
则直线AB的方程为：x＝0，
因为|PA|＝2|PB|，所以，
整理得，
所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
则（0，）在直线x＝0上，
所以点P到直线AB的最大距离dmax＝0+r．
故选：B．
【点评】本题考查圆上的点到直线的距离的最大值的求法及点的轨迹方程的求法，属于中档题．
3．（2025春 浦东新区校级期末）直线2x+y+3＝0的倾斜角等于（ ）
A．arctan2 B．arctan（﹣2）
C．π+arctan（﹣2） D．π﹣arctan（﹣2）
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】由直线的倾斜角与斜率关系可得tanα，再根据倾斜角的范围[0，π），即可得出结果．
【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为α，
直线2x+y+3＝0，其斜率k＝﹣2，则有tanα＝﹣2，α∈[0，π），
又由，故α＝π+arctan（﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查直线的切斜角，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
4．（2025 山东模拟）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（ ）
A．﹣4 B．20 C．0 D．24
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】直线与圆．
【答案】A
【分析】首先根据垂直得出1从而求出a的值，再由（1，c）在直线5x+2y﹣1＝0和2x﹣5y+b＝0上求出c和b的值，即可得出结果．
【解答】解；∵直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直
∴1
解得：a＝10
∴直线l1：5x+2y﹣1＝0
∵（1，c）在直线5x+2y﹣1＝0上
∴5+2c﹣1＝0 解得：c＝﹣2
又∵（1，﹣2）也在直线l2：2x﹣5y+b＝0上
∴2×1+5×2+b＝0
解得：b＝﹣12
∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4
故选：A．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，属于基础题．
5．（2024秋 宝鸡期末）已知圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有一条公切线，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．±2
【考点】两圆的公切线条数及方程的确定；圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用已知条件列出方程，求解即可．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0的圆心（m，0），半径为6，
圆C2：x2+y2﹣4y＝0的圆心（0，2），半径为2，
圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣36＝0与圆C2：x2+y2﹣4y＝0，若C1与C2有且仅有一条公切线，
说明两个圆内切，
可得，
解得m＝±．
故选：C．
【点评】本题考查两个圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
6．（2024秋 官渡区期末）已知直线l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x﹣（a﹣3）y﹣2＝0，则“l1∥l2”是“a＝1”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件必要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】根据两直线平行求出a的值，即可得出结论．
【解答】解：直线l1：ax+2y﹣4＝0，l2：x﹣（a﹣3）y﹣2＝0，
若l1∥l2，则，解得a＝1，
所以，“l1∥l2”是“a＝1”的充要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，考查计算能力，属于基础题．
7．（2024秋 海州区校级期末）已知直线l倾斜角为60°，且过（2，），则l在y轴上的截距为（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】由直线的倾斜角求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程，可得直线l的方程，令x＝0，即可解得直线在y轴上的截距．
【解答】解：因为直线的倾斜角为60°，
所以直线l的斜率k，
因为直线l过点（2，），
所以直线l的点斜式方程为，
当x＝0时，y＝﹣2，
所以直线l在y轴上的截距为．
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角关系的应用及直线在y轴上的截距的求法，属于基础题．
8．（2024秋 海口校级期末）已知直线l：x+y﹣2＝0与圆C：x2+y2＝2，点A（1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆C上，直线l与圆C相切
B．点A在圆C内，直线l与圆C相离
C．点A在圆C外，直线l与圆C相切
D．点A在圆C上，直线l与圆C相交
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】比较圆心到直线的距离与圆半径大小可判断直线与圆位置关系，判断点A是否满足圆方程，可判断点与圆的位置关系．
【解答】解：因为点A的坐标（1，1）满足圆C的方程，所以点A在圆C上．
圆C：x2+y2＝2，
则圆心C（0，0），半径r，
则圆心C（0，0）到直线l的距离，
所以直线l与圆C相切．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025 榆次区校级学业考试）已知直线l：kx﹣y+2k+1＝0和圆O：x2+y2＝8，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，1）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．直线l被圆O截得的最短弦长为
【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D．
【解答】解：对于A，由kx﹣y+2k+1＝0可得，k（x+2）﹣y+1＝0，令x+2＝0，即x＝﹣2，此时y＝1，所以直线l恒过定点（﹣2，1），A错误；
对于B，因为直线l0：x﹣2y+2＝0的斜率为，所以直线l的斜率为﹣2，即k＝﹣2，此时直线l与直线l0垂直，满足题意，B正确；
对于C，因为定点（﹣2，1）到圆心的距离为，所以定点（﹣2，1）在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确；
对于D，设直线l恒过定点A（﹣2，1），圆心到直线l的最大距离为，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．
10．（2024秋 朝阳校级期末）已知圆与圆内切，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标与半径的大小，然后根据两圆相内切的性质建立关于m的方程，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，可得圆的圆心C1（m，0），半径r1＝1．
圆的圆心C2（2，m），半径r2＝3，
因为圆C1与圆C2内切，所以|C1C2|＝|r1﹣r2|，即，解得m＝0或2．
故选：BD．
【点评】本题主要考查圆的标准方程、两圆的位置关系及其应用等知识，属于基础题．
11．（2024秋 乌鲁木齐期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第三象限
B．直线y＝ax﹣3a+2过定点（3，2）
C．过点（2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为
D．斜率为﹣2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝﹣2x±3
【考点】直线的截距式方程；恒过定点的直线；命题的真假判断与应用；确定直线位置的几何要素；直线的点斜式方程；直线的斜截式方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用直线方程的斜截式、点斜式，以及直线过定点问题进行逐个选项判断即可．
【解答】解：因为直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，
所以直线的斜率k＜0，截距b＞0．
故点（k，b）在第二象限，所以A中说法错误．
由y＝ax﹣3a+2整理得y﹣2＝a（x﹣3）．
所以无论a取何值，（3，2）都满足方程．所以B中说法正确．
由点斜式方程可知，
过点（2，﹣1）且斜率为的直线的方程为．
所以C中说法正确．
由斜截式方程可知，
斜率为﹣2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝﹣2x+3．
所以D中说法错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了直线方程问题，考查恒过定点的直线，是基础题．
12．（2024秋 赤峰校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．λ的取值范围为（﹣∞，1]
B．圆C关于直线x+y＝0对称
C．若直线x+y+1＝0被圆C截得的弦长为，则λ＝1
D．若λ＝1，过点A（0，1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝2
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BCD
【分析】A中，将圆的方程整理，由题意可得λ的范围，判断出A的真假；B中，可得圆心C的坐标，将点C的坐标代入直线的方程，可得圆C关于直线对称，判断出B的真假；C中，求出圆心C到直线的距离d，由弦长公式，可得λ的值，判断出C的真假；D中，当λ＝1，可得圆心C的坐标及半径的大小，再求出|AC|的值，由勾股定理可得切线长|AB|的值，判断出D的真假．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0整理可得（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣λ，
可得2﹣λ＞0，解得λ＜2，
A中，λ的范围为（﹣∞，2），所以A不正确；
B中，由圆的方程可得圆心C坐标（1，﹣1），显然满足x+y＝0，
所以圆关于直线x+y＝0对称，所以B正确；
C中，圆心C（1，﹣1）到直线的距离d，
所以弦长为22，解得λ＝1，所以C正确；
D中，λ＝1时，可得圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+1）2＝1，即圆心C（1，﹣1），半径r＝1，
因为|AC|，所以切线长|AB|2，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查圆的性质的应用及直线与圆的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 静安区校级期末）直线的倾斜角为 arctan ．（用arctan表示）
【考点】直线的倾斜角．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】arctan．
【分析】由直线方程得到斜率，再由直线的斜率与倾斜角的故选，可得直线的倾斜角．
【解答】解：直线的斜率为，
设直线倾斜角为α，
则，得，
所以直线的倾斜角为．
g故答案为：arctan．
【点评】本题主要考查直线倾斜角的求解，属于基础题．
14．（2025春 福州校级期中）已知直线l：y﹣2＝k（x﹣2）与圆C：x2+y2+2y﹣24＝0相交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是 ．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意，求出直线l经过的定点，由此判断直线与圆的位置关系，结合圆的性质求出弦长|AB|的取值范围．
【解答】解：根据题意，可得直线l经过定点D（2，2），斜率为k，
由圆C化成标准方程，得x2+（y+1）2＝25，圆心C（0，﹣1），半径为r＝5，
根据|CD|r，可知点D（2，2）在圆内，
当直线l经过圆心C（0，﹣1）时，|AB|max＝2r＝10，
当直线l⊥CD时，由，可得，
综上所述，|AB|的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
15．（2025春 静安区校级月考）过定点（﹣2，0）的直线l与曲线交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】数形结合；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】由题干中的方程，明确曲线所围成的图形，根据直线与圆的位置关系，可得答案．
【解答】解：由已知曲线C是以（2，0）为圆心，以2为半径的上半圆，
由题意可知直线的斜率一定存在且大于零，可设方程为y＝kx+2k，即kx﹣y+2k＝0
当直线与圆相切时，即d＝r，得，解得，
所以直线l的斜率的取值范围是．
故答案为：[0，）．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
16．（2025 合肥校级模拟）已知a∈R，直线l：（a+1）x+2y﹣2a＝0恒过定点P，圆C的圆心与点P关于直线y＝x对称，直线l′：2x+y﹣5＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的半径为 ．
【考点】直线与圆相交的性质；恒过定点的直线．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，由直线过定点可得点P的坐标，从而可得点C的坐标，再由圆的弦长公式，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：直线l：（a+1）x+2y﹣2a＝0的方程可化为a（x﹣2）+（x+2y）＝0，
令，解得，所以点P的坐标为（2，﹣1），
又圆C的圆心与点P关于直线y＝x对称，则C（﹣1，2），
设圆C的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0），
且圆C的圆心到直线l′：2x+y﹣5＝0的距离为，
又|AB|＝2，则，
即圆C的半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 金山区校级期末）在△ABC中，A（2，2），边AC上的高BE所在的直线方程为x+3y﹣2＝0，边AB上中线CM所在的直线方程为6x+y+4＝0．
（1）求点C坐标；
（2）求直线BC的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据给定条件，求出直线AC的斜率，利用直线的点斜式方程求出直线AC的方程，再联立求出点C坐标．
（2）设B（2﹣3b，b），由AB的中点在直线CM上求出点B，再利用直线的点斜式方程求出直线BC的方程．
【解答】解：（1）在△ABC中，A（2，2），边AC上的高BE所在的直线方程为x+3y﹣2＝0，
由直线BE：x+3y﹣2＝0的斜率为，得直线AC的斜率kAC＝3，
边AB上中线CM所在的直线方程为6x+y+4＝0
直线AC的方程为y﹣2＝3（x﹣2），即y＝3x﹣4，由，解得，
所以点C的坐标为（0，﹣4）．
（2）依题意，设B（2﹣3b，b），则边AB的中点在直线CM上，
于是，解得：b＝2，即点B（﹣4，2），
所以直线BC的方程为，
即3x+2y+8＝0．
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的性质的应用，考查运算能力，属于基础题．
18．（2024秋 自贡校级期末）已知△ABC顶点A（1，2）、B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3）．
（1）求边BC的垂直平分线l1的方程；
（2）若直线l2过点A，且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线l2的方程．
【考点】直线的截距式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）3x﹣y﹣2＝0；
（2）y＝2x或2x+y﹣4＝0．
【分析】（1）根据B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3），即可得BC中点及斜率，进而可得其中垂线方程；
（2）当直线l2过坐标原点时可得直线方程；当直线l2不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解．
【解答】解：（1）由B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3），
可知BC中点为（0，﹣2），且，
所以其垂直平分线斜率满足k1 kBC＝﹣1，即k1＝3，
所以边BC的垂直平分线l1的方程为y﹣（﹣2）＝3（x﹣0），即3x﹣y﹣2＝0；
（2）当直线l2不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由l2过点A（1，2），则，解得a＝2，
所以直线l2方程为，即2x+y﹣4＝0；
当直线l2过坐标原点时，，此时直线l2：y＝2x，符合题意；
综上所述，直线l2的方程为y＝2x或2x+y﹣4＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
19．（2025春 海南期末）已知直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：2x+3y﹣8＝0．
（1）求经过点A（1，4）且与直线l2垂直的直线方程；
（2）求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的截距式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）3x﹣2y+5＝0；
（2）y＝2x或x+y﹣3＝0．
【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可；
（2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可．
【解答】解：（1）由直线，可得斜率为，
故可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得3x﹣2y+5＝0；
（2）联立，解得，即直线l1与l2的交点为（1，2），
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，
依题意，解得a＝b＝3，此时直线方程为，即x+y﹣3＝0，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为y＝kx，
代入（1，2）得k＝2，此时y＝2x；
综上所述：所求直线方程为y＝2x或x+y﹣3＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
20．（2024秋 东坡区期末）已知圆C的半径为2，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切．
（1）求圆C的方程．
（2）过M（3，4）的直线l与圆相交所得的弦长为，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系；直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据与x轴相切得圆心坐标为（a，2），再根据与直线4x﹣3y＝0相切得圆心C到直线距离等于半径2，解出参数a即得圆C的方程；
（2）先根据点斜式设直线方程，计算圆心到直线距离，再根据垂径定理列方程解出斜率，最后讨论斜率不存在时是否满足题意．
【解答】解：（1）∵圆C的半径为2，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，圆与x轴相切，
∴圆心C的坐标可设为（a，2），a＞0，
又圆与直线4x﹣3y＝0相切，
∴，解得a＝4，
∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4．
（2）过M（3，4）的直线l与圆相交所得的弦长为，
直线的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y+4﹣3k＝0，
易知圆心（4，2）到l的距离为，
∴，
解得，∴l的方程为：3x+4y﹣25＝0；
当l斜率不存在时，l方程为x＝3，此时圆心到l的距离为1，符合条件；
综上所述，l的方程为3x+4y﹣25＝0或x＝3．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．
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