2.1 算法的基本思想 学案3（含答案）

2.1　算法的基本思想
学案
1．通过对解决具体问题的过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义．
2．学会用自然语言来描述算法；初步学会为一个具体问题设计算法．
算法
(1)定义：在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些______称为解决这些问题的算法．这种描述不是算法的严格定义，但是反映了算法的基本思想．
(2)算法的性质：
①确定性：算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效地执行并得到确定的结果，而不能含糊其辞，含有歧义．
②有限性：对于一个算法来说，它的操作步骤必须是有限的，必须在有限的步骤之内完成．
③普遍性：一个算法通常能解决一类问题，不是仅仅解决一个单独的问题．
(3)作用：使________代替人完成某些工作．
(4)注意：解决一个问题可能有多个算法，但有优劣之分，其中操作简单、步骤少且能解决一类问题的算法称为最优算法．
算法与一般意义上具体问题的解法既有联系又有区别，它们之间是一般与特殊、抽象与具体的关系．算法的获得要借助于一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，这些步骤称为解决这些问题的算法，这种解决问题的思想方法称为算法的思想．
【做一做1】下列对算法的理解不正确的是(　　)．
A．算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)
B．算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果
C．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是是一种通法
D．任何问题都可以用一个算法来解决
【做一做2】求半径r＝2的圆的周长，写出算法．
一个好的算法应满足哪些要求？
剖析：一般来说，一个好的算法应满足以下要求：
(1)写出的算法必须能解决一类问题(例如解任意一个二元一次方程组)，并且能够重复使用；
(2)算法的过程要能一步一步执行，每一步操作，必须明确，不能含混不清，而且要在有限步之内得出结果；
(3)算法要简洁，要清晰可读，不能繁杂，也就是说在解决同一类问题的许多种不同的算法中，我们所确定的算法步骤应该是最简单有效的，即最优化算法．
题型一
算法的概念
【例题1】下列关于算法的叙述中，不正确的是(　　)．
A．计算机解决任何问题都需要算法
B．只有将要解决的问题分解为若干步骤，并且用计算机能够识别的语言描述出来，计算机才能解决问题
C．算法执行后可以不产生确定的结果
D．解决同一个问题的算法并不唯一，而且每一个算法都要一步一步执行，每一步都要产生确切的结果
题型二
求正约数的算法设计
【例题2】求18的所有正约数，请设计两种算法．
分析：分别对1,2,3，…，18逐一检验，或者对18进行因数分解，写出相关步骤即可．
反思：解决一个问题可以有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上面的两种算法都符合题意，但算法二运用了因数分解原理，这样步骤就比算法一少了许多，因此更为科学．本题体现了算法的特征：(1)一个算法往往具有代表性，能够解决一类问题；(2)算法不是唯一的；(3)两种算法各自体现了不同的思想内涵．
题型三
计算问题的算法设计
【例题3】写出求两底面半径分别为1和4，高为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．
分析：可先由两底面半径r1，r2和高h计算出圆台母线长l，进而求出圆台侧面积S侧＝π(r1＋r2)l.同时由r1，r2计算出两底面积S1，S2，然后由体积公式V＝(S1＋S2＋)·h及表面积公式S＝S1＋S2＋S侧求得结果．
反思：写数值性问题的算法一定要掌握有关知识及公式的正确运用和计算，要注意过程的条理化和步骤的清晰化．
题型四用
二分法求方程近似解的算法设计
【例题4】用二分法设计一个求方程x2－2＝0的近似解的算法．
分析：若令f(x)＝x2－2，则求方程x2－2＝0的近似解，就是求函数f(x)的零点的近似值．借助用二分法求函数零点近似值的方法，我们便可以设计出求方程近似解的算法．
反思：从本例可以发现，求解某类问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，它必须能解决一类问题．只要有了解决问题的算法，不管借助的工具是纸笔、计算器，还是计算机，都能按照算法步骤求得相同的结果．
题型五
易错辨析
【例题5】设计一个解方程ax2＋bx＋c＝0的算法．
错解：小华采用的算法描述如下：
1．计算Δ＝b2－4ac；
2．若Δ＜0，则输出“方程无实根”；
3．若Δ＞0，则输出方程的根．
错因分析：上述算法中有两处错误：
第一处是没有考虑a是否为0，显然a＝0时，方程无判别式，上述算法无效；
第二处错误是漏掉了Δ＝0的情况．
1下列关于算法的说法中，正确的是(　　)．
A．算法就是某个问题的解题过程
B．算法执行后可以不产生确定的结果
C．解决某类问题的算法不一定是唯一的
D．算法可以无限地操作下去不停止
2下列语句表达中是算法的有(　　)．
①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；
②＞2x＋4；
③求M(1,2)与N(－3，－5)两点连线的方程，可先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3给出算法：
1．输入n＝10.
2．令i＝1，S＝0.
3．判断i≤n是否成立，若不成立，输出S，结束算法；若成立，执行下一步．
4．令S的值加i，仍用S表示，令i的值增加1，仍用i表示，返回第3步．
该算法的功能是_______________________________________________________．
4已知长方体的长、宽、高分别为3,4,5，设计算法求其体积．
5写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．
答案：
基础知识·梳理
(1)步骤　(3)计算机
【做一做1】D
【做一做2】分析：直接用公式C＝2πr求解．
解：算法如下：
1．取r＝2.
2．计算C＝2πr.
3．输出C.
典型例题·领悟
【例题1】C　算法的主要特征是确定性和顺序性，确定性包括结果明确，每一步产生的结果和最后的结果都是明确的；顺序性包括步骤确切，每一步执行什么是明确的；因此，C项不正确，故选C.
【例题2】解：算法一：
1．1是18的正约数，将1列出；
2．2是18的正约数，将2列出；
3．3是18的正约数，将3列出；
4．4不是18的正约数，将4删除；
……
18．
18是18的正约数，将18列出．
算法二：
1．18＝2×9；
2．18＝2×32；
3．列出18的所有正约数：1,2,3,32,2×3,2×32.
【例题3】解：算法步骤如下：
1．取r1＝1，r2＝4，h＝4；
2．计算l＝；
3．计算S1＝πr21，S2＝πr22，S侧＝π(r1＋r2)l；
4．计算S表＝S1＋S2＋S侧；
5．计算V＝(S1＋＋S2)h.
【例题4】解：我们先假设所求近似值与精确解的差的绝对值不超过0.005.
算法步骤如下：
1．令f(x)＝x2－2.因为f(1)＜0，f(2)＞0，所以设x1＝1，x2＝2.
2．令m＝，判断f(m)是否为0.若是，则m为所求；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0.
3．若f(x1)·f(m)＞0，则令x1＝m；否则，令x2＝m.
4．判断|x1－x2|＜0.005是否成立．若是，则x1，x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第2步．
【例题5】正解：1.输入a，b，c的值．
2．若a＝0，b≠0，则输出方程的根x＝－；
若a＝b＝0，c≠0，则输出“方程无实根”；
若a＝b＝c＝0，则输出“方程有无数个实根”．
3．若a≠0，计算Δ＝b2－4ac：
若Δ＜0，则输出“方程无实根”；
若Δ≥0，则输出方程的根x1＝，x2＝.
随堂练习·巩固
1．C　2．C
3．计算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10的值
4．分析：利用公式V长方体＝长×宽×高，写出算法．
解：算法如下：
1．输入长方体的长a，宽b，高h.
2．计算V＝abh.
3．输出V.
5．解：方法一：1．移项，得x2－2x＝3；①
2．①两边同时加1并配方，得(x－1)2＝4；②
3．②式两边开方，得x－1＝±2；③
4．解③得x＝3，或x＝－1.
方法二：1．计算方程的判别式并判断其符号，Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0；
2．将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，得x1＝3，x2＝－1.