2.1 算法的基本思想 学案4（含答案）

算法初步
2.1算法的基本思想
学案
【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义.
【学习目标】1.理解算法的概念与特点；
2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想；
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.
【学习重点】算法概念以及用自然语言描述算法
【学习难点】用自然语言描述算法
【学习过程】
一、序言
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.
在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具.
听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域.
那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.
同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.
在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学学习中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想.
二、实例分析
例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法.
例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法.
例3
给出求解方程组的一个算法．
例4.用二分法设计一个求解方程x2–2=0的近似根的算法。并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，
例5.
写出求方程组的解的算法.
例6：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程；
第二步：根据条件列出关于，，或，，的方程组；
第三步：解出，，或，，，代入标准方程或一般方程.
三、算法的概念
通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法
在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
四、课堂练习
1：任意给定一个大于1的正整数，设计一个算法求出的所有因数.
2：设计一个计算1+2+…+100的值的算法.
3：任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.
4.
二分法求解多项式方程在区间的一种常用方法.算法步骤是。
5.两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳.同学们现在想一想，他们怎样渡过河去？请写一写你的渡河方案.
五、课堂小结
1.
算法的特性：
①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的.
②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
③可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成.
④输入：一个算法中有零个或多个输入..
⑤输出：一个算法中有一个或多个输出.
2.
描述算法的一般步骤：
①输入数据.（若数据已知时，应用赋值；若数据为任意未知时，应用输入）
②数据处理.
③输出结果.
2.1算法的基本思想答案
二、实例分析
例1：解：第一步：把水注入电锅；
第二步：打开电源把水烧开；
第三步：把烧开的水注入热水瓶.
（以上算法是解决某一问题的程序或步骤）
例2：解：
算法1
按照逐一相加的程序进行．
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．
算法2
运用公式直接计算．
第一步：取=5；
第二步：计算；
第三步：输出运算结果．
点评：一个问题的算法可能不唯一．
算法3
用循环方法求和．
第一步：使，；
第二步：使；
第三步：使；
第四步：使；
第五步：如果，则返回第三步，否则输出．
例3：解：用消元法解这个方程组，步骤是：
第一步：方程①不动，将方程②中的系数除以方程①中的系数，得到乘数；
第二步：方程②减去乘以方程①，消去方程②中的项，得到
；
第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到，．
所以原方程组的解为．
点评：通过例3再次明确算法特点：有限性和确定性
例4：解：则不难设计出以下步骤：
第一步：令f(x)=x2–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2。
第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：判断|x1–x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二
点评：渗透循环的思想，为后面教学做铺垫。
例5：解：第一步：②×
a1
-
①×a2，得：
③
第二步：解③得
；
第三步：将代入①，得
点评：可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
四、课堂练习
1：解：根据因数的定义，可设计出下面的一个算法：
第一步：输入大于1的正整数.
第二步：判断是否等于2，若，则的因数为1，；若，则执行第三步.
第三步：依次从2到检验是不是整除，若整除，则是的因数；若不整除，则不是的因数.
2：解：算法1
按照逐一相加的程序进行
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
……
第九十九步：将第九十八步中的运算结果4950与100相加，得到5050.
算法2
可以运用公式1+2+3+…+=直接计算
第一步：取=100；
第二步：计算；
第三步：输出运算结果.
3：解：第一步：输入任意正实数；
第二步：计算；
第三步：输出圆的面积.
4：解
（1）确定区间，验证，给定精度ε；
（2）
求区间的中点；
（3）
计算：
若，则就是函数的零点；
若，则令（此时零点）；
若，则令（此时零点）；
（4）
判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．
5：解：因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他人，所以只能让两个小孩先过河。
渡河的方法与步骤为：
第一步　两个小孩同船渡过河去；
第二步　一个小孩划船回来；
第三步　一个大人独自划船渡过河去；
第四步　对岸的小孩划船回来；
第五步　两个小孩再同船渡过河去；
第六步　一个小孩划船回来；
第七步　余下的一个大人独自划船渡过河去；
第八步　对岸的小孩划船回来；
第九步　两个小孩再同船渡过河去.