3.1 随机事件的概率 教案2
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文档简介
3.1
随机事件的概率
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
(2)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；
(3)了解概率的概念和意义以及事件发生的频率与概率的区别与联系；
(4)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．
2．过程与方法
(1)发现法教学：经历抛硬币试验获取数据的过程，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；
(2)通过三种事件的区分及用统计算法计算随机事件的概率，提高学生分析问题、解决问题的能力；
(3)通过概念的提炼和小结的归纳提高学生的语言表达和归纳能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；培养学生以随机的观点认识世界，使学生了解偶然性和必然性的辩证统一，培养其辩证唯物主义思想．
(2)通过动手实验，培养学生的“做”数学的精神，享受“做”数学带来的成功喜悦．
●重点难点
重点：事件的分类；了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性；正确理解概率的定义．
难点：随机事件的概率的统计定义．
由于概念比较抽象，突破难点的重要途径是注重它们的实际意义，通过实例、试验来加深学生对概念的理解．
●教学建议
实践教学法，指导学生做简单易行的试验，让学生自然地发现随机事件的某一结果发生的规律性．以实际生活中的例子展开，让学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，学生参与到知识的发生、发展中来，体会数学知识与现实世界的联系．
●教学流程
创设情境引入新课：明天下雨的可能性为95%，明天一定下雨吗？怎样理解这句话 引导学生结合初中所学的概率知识分析、思考概率与频率的区别与联系 通过引导学生回答所提问题给出概率的统计意义 通过例1及变式训练，使学生掌握判断随机事件的基本方法
通过例2及互动探究，使学生明确概率与频率的关系 通过例3及其变式训练，学生能初步掌握现实生活中的一些概率问题的合理解释 归纳整理，进行小结，使学生从整体上把握本节知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并据此估计某一事件发生的概率，进而理解概率的含义(重点)．2．对生活中的一些问题能从概率的角度作出合理的解释(难点)．3．经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
知识1
随机事件的概率
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．我们有0≤P(A)≤1.
知识2
频率与概率之间的联系
【问题导思】
做一个简单的实验：把一枚骰子掷多次，观察出现的结果，并记录各结果出现的频数．
1．在本实验中出现了几种结果？
【提示】 一共出现了1点、2点、3点、4点、5点、6点六种结果．
2．一次试验中的试验结果试验前能确定吗？
【提示】 不能．
3．若做大量地重复试验，你认为出现每种结果的次数有何关系？
【提示】 大致相等．
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．
在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此，我们常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．
知识3
生活中的概率
【问题导思】
某同学投篮命中率为50%，那么他投篮10次，一定会投中5次吗？
【提示】 不一定．投篮命中率为50%，并不能说他投篮10次一定投中5次，但随着投篮次数的增加，他投中的次数会越来越接近一半，即投中率接近50%.
概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的判断与决策.
类型1
随机事件及有关概念
指出下列事件中，哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件．
(1)在标准大气压下，水在温度达到90
℃时沸腾；
(2)某一天内电话收到的呼叫次数为0；
(3)一个袋内装有形状、大小都相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球．
【思路探究】 可先判断在给定条件下，所给事件是否一定发生，然后再确定其事件类型．
【自主解答】 根据“在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件”，可知(2)、(3)为随机事件．根据“在一定条件下一定不会发生的事件叫作不可能事件，一定条件下必然会发生的事件叫作必然事件”可知，(1)为不可能事件．
1．准确掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解决此类问题的关键．
2．应用时要特别注意看清条件，在给定条件下判断一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生来确定哪一类事件．
指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次热带气旋的侵袭；
(2)若a为实数，则|a|≥0；
(3)某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；
(4)一个正六面体的六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，将它抛掷2次，数字之和大于12.
【解】 (1)(3)所陈述的事件可能发生也可能不发生，故为随机事件；(2)所陈述的事件在此条件下一定会发生，故为必然事件；(4)中的事件在此条件下一定不会发生，故为不可能事件．
类型2
频率与概率的关系
某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，统计结果如下：
贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率，完成表格；
(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
【思路探究】 先分析两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率，然后根据频率估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
【自主解答】 (1)贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.533
0.540
0.520
0.520
0.512
0.503
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
(2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.550.
1．计算数值要细心，保留小数的位数要相同，试验次数越多，频率就越接近概率．
2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，用事件发生的频率去“测量”，通过计算事件发生的频率去估计概率．
利用本例的计算结果，分析贫富差距为什么会带来人的智力差别？
【解】 由条件可知，贫困地区经济不发达、生活水平低，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，这都是贫富差距带来人的智力差别的原因．
类型3
概率与日常生活的联系
已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，则有90人会治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会治愈
C．说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
【思路探究】 本题主要考查概率的意义，概率从数量上客观地反映了随机事件发生的可能性的大小．
【自主解答】 概率是指一个事件发生的可能性的大小．治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说是治愈的可能性较大，故选C.
【答案】 C
1．根据概率的定义可知“90%”表示的含义：使用一剂药后此病治愈的可能性是90%.
2．概率只是说明了事件发生的可能性的大小，是在事件发生之前对事件是否发生进行的一种猜测．
某射手击中靶心的概率是0.9是不是说明他射击10次就一定能击中靶心9次？
【解】 从概率的定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中靶心9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数才约为n，其中n为射击次数，而且n越大，射中的次数就越接近于n.
混淆频率与概率致误
把一枚质地均匀的硬币连续掷1
000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，求掷一次硬币正面朝上的概率．
【错解】 由题意，据公式可知＝0.498.
【错因分析】 混淆了频率与概率的概念，事实上频率本身是随机的，做同样的试验得到的事件的频率是不同的，如本题中的0.498是1
000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
【防范措施】 1.正确理解频率与概率的概念．
2．弄清频率与概率的区别与联系．
【正解】 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．随机事件的发生既是随机的，又是有规律的．每次试验的结果是随机的，大量试验的结果才呈现出其规律性．
3．概率体现了随机事件发生的可能性，故可用样本的频率来近似地估计总体中该结果出现的概率．
1．下列事件是随机事件的是( )
①从一个三角形的三个顶点各任意画一条射线，这三条射线交于一点；
②把9写成两个数的和，其中一定有一个数小于5；
③汽车排放尾气，污染环境；
④明天早晨有雾；
⑤明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．
A．①④ B．②③⑤
C．①④⑤
D．②③④
【解析】 对于②，③为必然事件，①，④，⑤为随机事件．
【答案】 C
2．下列关于随机事件的频率与概率的关系的叙述中正确的是( )
A．频率就是概率
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率是客观存在的，与试验次数无关
【解析】 根据频率与概率的关系可得答案为B.
【答案】 B
3．某地天气预报说“明天降水概率为90%”，这是指( )
A．明天该地区约90%的地方会降水
B．明天该地区约90%的时间会降水
C．气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为90%
【解析】 概率是指某一随机事件发生的可能性，题中的90%只跟降水这个事件有关，而与该地区的降水范围、时间等无关．
【答案】 D
4．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500,900)
[900,1
100)
[1
100,1
300)
[1
300,1
500)
频数
48
121
208
223
频率
分组
[1
500,1
700)
[1
700,1
900)
[1
900，＋∞)
频数
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率．
【解】 (1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1
500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1
500小时的频率是＝0.6.
所以灯管使用寿命不足1
500小时的概率约为0.6.
一、选择题
1．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则( )
A．概率为0.6
B．频率为0.6
C．频率为6
D．概率接近于0.6
【解析】 连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，只能说明频率是0.6，只有进行大量的试验时才可估计概率．
【答案】 B
2．下列说法错误的是( )
A．频率反映事件的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小
B．做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率
C．频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
【解析】 根据频率与概率的意义可知，A正确；C、D均正确，B不正确，故选B.
【答案】 B
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53
B．0.5
C．0.47
D．0.37
【解析】 ＝＝0.53.
【答案】 A
4．(2013·沈阳检测)“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买1
000张彩票就一定能中奖
B．买1
000张彩票中一次奖
C．买1
000张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性是
【解析】 中奖概率为，并不意味着买1
000张彩票就一定中奖，中一次奖或一次也不中，因此A、B、C均不正确．
【答案】 D
5．2013年山东省高考数学试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率为，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3题答对”这句话( )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
【解析】 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明做对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3题的可能性较大，但是并不一定答对3道，也可能都选错，或仅有2,3,4题选对，甚至12个题都选择正确．
【答案】 B
二、填空题
6．样本容量为200的频率分布直方图如图3－1－1所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[6,10)内的概率约为________．
图3－1－1
【解析】 样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，
频数为200×0.32＝64.
由频率与概率的关系知数据落在[6,10)内的概率约为0.32.
【答案】 64 0.32
7．在5张不同的彩票中有2张奖票，5个人依次从中各抽取1张，各人抽到奖票的概率________(填“相等”“不相等”)．
【解析】 因为每人抽得奖票的概率均为，与前后的顺序无关．
【答案】 相等
8．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，每次从中任取一球，记下颜色后放回并搅匀，取了10次有9次白球，估计袋中数量最多的是________．
【解析】 取了10次有9次白球，则取出白球的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率是，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球
.
【答案】 白球
三、解答题
9．(1)设某厂产品的次品率为2%，问“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有2件次品”这一说法对不对？为什么？
(2)若某次数学测验，全班50人的及格率为90%，若从该班中任意抽取10人，其中有5人及格是可能的吗？
【解】 (1)这种说法不对，因为产品的次品率为2%，是指产品是次品的可能性为2%，所以从该产品中任意地抽取100件，其中有可能有2件次品，而不是一定有2件次品．
(2)这种情况是可能的．
10．(2013·课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1
t该产品获利润500元，未售出的产品，每1
t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图3－1－2所示．经销商为下一个销售季度购进了130
t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
图3－1－2
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57
000元的概率．
【解】 (1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39
000.
当X∈[130,150]时，
T＝500×130＝65
000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57
000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,
150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57
000元的概率的估计值为0.7.
11．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量，单位：mm)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
[1.30,1.34)
4
[1.34,1.38)
25
[1.38,1.42)
30
[1.42,1.46)
29
[1.46,1.50)
10
[1.50,1.54)
2
总计
100
(1)画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)mm中的概率及纤度小于1.42的概率是多少．
【解】 (1)频率分布直方图，如图：
(2)纤度落在[1.38,1.50)mm中的频数是30＋29＋10＝69，
则纤度落在[1.38,1.50)mm中的频率是＝0.69，
所以估计纤度落在[1.38,1.50)mm中的概率为0.69.
纤度小于1.42
mm的频数是4＋25＋30＝59，
则纤度小于1.42
mm的频率是＝0.59，
所以估计纤度小于1.42
mm的概率为0.59.
(教师用书独具)
(2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
【解】 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为
＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，用随机模拟方法计算其连续三次投篮恰有两次投中的概率．
【解】 步骤是：
(1)用1,2,3,4表示投中，用5,6,7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%.
(2)利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，然后三个整数随机数作为一组分组．每组第1个数表示第1次投篮，第2个数表示第2次投篮，第3个数表示第3次投篮.3个随机数作为一组共组成n组数．
(3)统计这n组数中恰有两个数字在1,2,3,4中的组数m.
则三次投篮中恰有两次投中的概率近似为.
随机事件的概率
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
(2)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；
(3)了解概率的概念和意义以及事件发生的频率与概率的区别与联系；
(4)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．
2．过程与方法
(1)发现法教学：经历抛硬币试验获取数据的过程，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；
(2)通过三种事件的区分及用统计算法计算随机事件的概率，提高学生分析问题、解决问题的能力；
(3)通过概念的提炼和小结的归纳提高学生的语言表达和归纳能力．
3．情感、态度与价值观
(1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；培养学生以随机的观点认识世界，使学生了解偶然性和必然性的辩证统一，培养其辩证唯物主义思想．
(2)通过动手实验，培养学生的“做”数学的精神，享受“做”数学带来的成功喜悦．
●重点难点
重点：事件的分类；了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性；正确理解概率的定义．
难点：随机事件的概率的统计定义．
由于概念比较抽象，突破难点的重要途径是注重它们的实际意义，通过实例、试验来加深学生对概念的理解．
●教学建议
实践教学法，指导学生做简单易行的试验，让学生自然地发现随机事件的某一结果发生的规律性．以实际生活中的例子展开，让学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，学生参与到知识的发生、发展中来，体会数学知识与现实世界的联系．
●教学流程
创设情境引入新课：明天下雨的可能性为95%，明天一定下雨吗？怎样理解这句话 引导学生结合初中所学的概率知识分析、思考概率与频率的区别与联系 通过引导学生回答所提问题给出概率的统计意义 通过例1及变式训练，使学生掌握判断随机事件的基本方法
通过例2及互动探究，使学生明确概率与频率的关系 通过例3及其变式训练，学生能初步掌握现实生活中的一些概率问题的合理解释 归纳整理，进行小结，使学生从整体上把握本节知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并据此估计某一事件发生的概率，进而理解概率的含义(重点)．2．对生活中的一些问题能从概率的角度作出合理的解释(难点)．3．经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
知识1
随机事件的概率
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．我们有0≤P(A)≤1.
知识2
频率与概率之间的联系
【问题导思】
做一个简单的实验：把一枚骰子掷多次，观察出现的结果，并记录各结果出现的频数．
1．在本实验中出现了几种结果？
【提示】 一共出现了1点、2点、3点、4点、5点、6点六种结果．
2．一次试验中的试验结果试验前能确定吗？
【提示】 不能．
3．若做大量地重复试验，你认为出现每种结果的次数有何关系？
【提示】 大致相等．
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．
在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此，我们常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．
知识3
生活中的概率
【问题导思】
某同学投篮命中率为50%，那么他投篮10次，一定会投中5次吗？
【提示】 不一定．投篮命中率为50%，并不能说他投篮10次一定投中5次，但随着投篮次数的增加，他投中的次数会越来越接近一半，即投中率接近50%.
概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的判断与决策.
类型1
随机事件及有关概念
指出下列事件中，哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件．
(1)在标准大气压下，水在温度达到90
℃时沸腾；
(2)某一天内电话收到的呼叫次数为0；
(3)一个袋内装有形状、大小都相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球．
【思路探究】 可先判断在给定条件下，所给事件是否一定发生，然后再确定其事件类型．
【自主解答】 根据“在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件”，可知(2)、(3)为随机事件．根据“在一定条件下一定不会发生的事件叫作不可能事件，一定条件下必然会发生的事件叫作必然事件”可知，(1)为不可能事件．
1．准确掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解决此类问题的关键．
2．应用时要特别注意看清条件，在给定条件下判断一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生来确定哪一类事件．
指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次热带气旋的侵袭；
(2)若a为实数，则|a|≥0；
(3)某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；
(4)一个正六面体的六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，将它抛掷2次，数字之和大于12.
【解】 (1)(3)所陈述的事件可能发生也可能不发生，故为随机事件；(2)所陈述的事件在此条件下一定会发生，故为必然事件；(4)中的事件在此条件下一定不会发生，故为不可能事件．
类型2
频率与概率的关系
某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，统计结果如下：
贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率，完成表格；
(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
【思路探究】 先分析两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率，然后根据频率估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
【自主解答】 (1)贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.533
0.540
0.520
0.520
0.512
0.503
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
(2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.550.
1．计算数值要细心，保留小数的位数要相同，试验次数越多，频率就越接近概率．
2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，用事件发生的频率去“测量”，通过计算事件发生的频率去估计概率．
利用本例的计算结果，分析贫富差距为什么会带来人的智力差别？
【解】 由条件可知，贫困地区经济不发达、生活水平低，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，这都是贫富差距带来人的智力差别的原因．
类型3
概率与日常生活的联系
已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，则有90人会治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会治愈
C．说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
【思路探究】 本题主要考查概率的意义，概率从数量上客观地反映了随机事件发生的可能性的大小．
【自主解答】 概率是指一个事件发生的可能性的大小．治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说是治愈的可能性较大，故选C.
【答案】 C
1．根据概率的定义可知“90%”表示的含义：使用一剂药后此病治愈的可能性是90%.
2．概率只是说明了事件发生的可能性的大小，是在事件发生之前对事件是否发生进行的一种猜测．
某射手击中靶心的概率是0.9是不是说明他射击10次就一定能击中靶心9次？
【解】 从概率的定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中靶心9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数才约为n，其中n为射击次数，而且n越大，射中的次数就越接近于n.
混淆频率与概率致误
把一枚质地均匀的硬币连续掷1
000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，求掷一次硬币正面朝上的概率．
【错解】 由题意，据公式可知＝0.498.
【错因分析】 混淆了频率与概率的概念，事实上频率本身是随机的，做同样的试验得到的事件的频率是不同的，如本题中的0.498是1
000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
【防范措施】 1.正确理解频率与概率的概念．
2．弄清频率与概率的区别与联系．
【正解】 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．随机事件的发生既是随机的，又是有规律的．每次试验的结果是随机的，大量试验的结果才呈现出其规律性．
3．概率体现了随机事件发生的可能性，故可用样本的频率来近似地估计总体中该结果出现的概率．
1．下列事件是随机事件的是( )
①从一个三角形的三个顶点各任意画一条射线，这三条射线交于一点；
②把9写成两个数的和，其中一定有一个数小于5；
③汽车排放尾气，污染环境；
④明天早晨有雾；
⑤明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．
A．①④ B．②③⑤
C．①④⑤
D．②③④
【解析】 对于②，③为必然事件，①，④，⑤为随机事件．
【答案】 C
2．下列关于随机事件的频率与概率的关系的叙述中正确的是( )
A．频率就是概率
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率是客观存在的，与试验次数无关
【解析】 根据频率与概率的关系可得答案为B.
【答案】 B
3．某地天气预报说“明天降水概率为90%”，这是指( )
A．明天该地区约90%的地方会降水
B．明天该地区约90%的时间会降水
C．气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为90%
【解析】 概率是指某一随机事件发生的可能性，题中的90%只跟降水这个事件有关，而与该地区的降水范围、时间等无关．
【答案】 D
4．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500,900)
[900,1
100)
[1
100,1
300)
[1
300,1
500)
频数
48
121
208
223
频率
分组
[1
500,1
700)
[1
700,1
900)
[1
900，＋∞)
频数
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率．
【解】 (1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1
500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1
500小时的频率是＝0.6.
所以灯管使用寿命不足1
500小时的概率约为0.6.
一、选择题
1．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则( )
A．概率为0.6
B．频率为0.6
C．频率为6
D．概率接近于0.6
【解析】 连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，只能说明频率是0.6，只有进行大量的试验时才可估计概率．
【答案】 B
2．下列说法错误的是( )
A．频率反映事件的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小
B．做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率
C．频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
【解析】 根据频率与概率的意义可知，A正确；C、D均正确，B不正确，故选B.
【答案】 B
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53
B．0.5
C．0.47
D．0.37
【解析】 ＝＝0.53.
【答案】 A
4．(2013·沈阳检测)“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买1
000张彩票就一定能中奖
B．买1
000张彩票中一次奖
C．买1
000张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性是
【解析】 中奖概率为，并不意味着买1
000张彩票就一定中奖，中一次奖或一次也不中，因此A、B、C均不正确．
【答案】 D
5．2013年山东省高考数学试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率为，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3题答对”这句话( )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
【解析】 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明做对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3题的可能性较大，但是并不一定答对3道，也可能都选错，或仅有2,3,4题选对，甚至12个题都选择正确．
【答案】 B
二、填空题
6．样本容量为200的频率分布直方图如图3－1－1所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[6,10)内的概率约为________．
图3－1－1
【解析】 样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，
频数为200×0.32＝64.
由频率与概率的关系知数据落在[6,10)内的概率约为0.32.
【答案】 64 0.32
7．在5张不同的彩票中有2张奖票，5个人依次从中各抽取1张，各人抽到奖票的概率________(填“相等”“不相等”)．
【解析】 因为每人抽得奖票的概率均为，与前后的顺序无关．
【答案】 相等
8．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，每次从中任取一球，记下颜色后放回并搅匀，取了10次有9次白球，估计袋中数量最多的是________．
【解析】 取了10次有9次白球，则取出白球的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率是，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球
.
【答案】 白球
三、解答题
9．(1)设某厂产品的次品率为2%，问“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有2件次品”这一说法对不对？为什么？
(2)若某次数学测验，全班50人的及格率为90%，若从该班中任意抽取10人，其中有5人及格是可能的吗？
【解】 (1)这种说法不对，因为产品的次品率为2%，是指产品是次品的可能性为2%，所以从该产品中任意地抽取100件，其中有可能有2件次品，而不是一定有2件次品．
(2)这种情况是可能的．
10．(2013·课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1
t该产品获利润500元，未售出的产品，每1
t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图3－1－2所示．经销商为下一个销售季度购进了130
t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
图3－1－2
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57
000元的概率．
【解】 (1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39
000.
当X∈[130,150]时，
T＝500×130＝65
000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57
000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,
150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57
000元的概率的估计值为0.7.
11．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量，单位：mm)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
[1.30,1.34)
4
[1.34,1.38)
25
[1.38,1.42)
30
[1.42,1.46)
29
[1.46,1.50)
10
[1.50,1.54)
2
总计
100
(1)画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)mm中的概率及纤度小于1.42的概率是多少．
【解】 (1)频率分布直方图，如图：
(2)纤度落在[1.38,1.50)mm中的频数是30＋29＋10＝69，
则纤度落在[1.38,1.50)mm中的频率是＝0.69，
所以估计纤度落在[1.38,1.50)mm中的概率为0.69.
纤度小于1.42
mm的频数是4＋25＋30＝59，
则纤度小于1.42
mm的频率是＝0.59，
所以估计纤度小于1.42
mm的概率为0.59.
(教师用书独具)
(2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
【解】 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为
＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，用随机模拟方法计算其连续三次投篮恰有两次投中的概率．
【解】 步骤是：
(1)用1,2,3,4表示投中，用5,6,7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%.
(2)利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，然后三个整数随机数作为一组分组．每组第1个数表示第1次投篮，第2个数表示第2次投篮，第3个数表示第3次投篮.3个随机数作为一组共组成n组数．
(3)统计这n组数中恰有两个数字在1,2,3,4中的组数m.
则三次投篮中恰有两次投中的概率近似为.