3.1
随机事件的概率
学案
[读教材·填要点]
1.概
率
在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作随机事件A的概率,记为P(A).
2.频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而概率是一个确定的值,因此,人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小.在实际问题中,某些随机事件的概率往往难以确切得到,常常通过做大量的重复试验,用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值.
3.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但是随机性中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.概率只是度量事件发生的可能性的大小,不能确定是否发生.
4.任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数,它度量该事件发生的可能性大小.小概率(接近于0)事件不是不发生,而是很少发生,大概率(接近于1)事件不是一定发生,而是经常发生.
[小问题·大思维]
1.把一枚质地均匀的硬币连续掷1
000次,其中有498次正面朝上,502次反面朝上,则此次试验正面朝上的频率为0.498,掷一次硬币正面朝上的概率为0.5,对吗?
提示:正确.由题意,正面朝上的频率为=0.498,通过做大量的试验可以发现,正面朝上的频率都在0.5附近摆动,故掷一次硬币,正面朝上的概率是0.5.即0.498是1
000次试验中正面朝上的频率;而概率是一个确定的常数,是客观存在的,与每次试验无关.
2.某种病治愈的概率是0.3,那么10个人中,前7个人没有治愈,后3个人一定能治愈吗?如何理解治愈的概率是0.3
提示:如果把治疗一个病人作为一次试验,对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前7个人没有治愈是可能的,对后3个人来说,其结果仍然是随机的,有可能治愈,也可能没有治愈.
“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加,即治疗人数的增加,大约有30%的人能够治愈,如果患病的有1
000人,那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提,就可以认为这1
000个人中大约有300人能治愈.
[研一题]
[例1] 下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果.n为抛掷硬币的次数,m为硬币正面向上的次数.计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率,并考查它的概率.
实验序号
抛掷的次数n
正面向上的次数m
“正面向上”出现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
246
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
[自主解答] 利用频率的定义,可分别得出这10次试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为:
0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494,这些数字在0.5附近左右摆动,由概率的统计定义可得,“正面向上”的概率为0.5.
[悟一法]
频数、频率和概率三者之间的关系:
(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数,频率是频数与试验总次数的比值,而概率是随机事件发生的可能性的规律体现;
(2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果,但它具有一定的稳定性;概率是频率的稳定值,不会随试验次数的变化而变化.
[通一类]
1.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:
投篮次数n
8
10
12
9
10
16
进球次数m
6
8
9
7
7
12
进球频率
(1)计算表中进球的频率;
(2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少?
解:(1)进球的频率依次是:
0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75.
(2)这位运动员投篮一次进球的概率P≈0.76.
[研一题]
[例2] 掷一颗均匀的正方体骰子得到6点的概率是,是否意味着把它掷6次能得到1次6点?
[自主解答] 把一颗均匀的骰子掷6次相当于做6次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做6次试验的结果也是随机的.这就是说,每掷一次总是随机地出现一个点数,可以是1点,2点,也可以是其他点数,不一定出现6点.所以掷一颗骰子得到6点的概率是,并不意味着把它掷6次能得到1次6点.
[悟一法]
随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率恰是其规律在数量上的反映,概率是客观存在的,它与试验次数没有关系.
[通一类]
2.掷一枚硬币,连续出现5次正面向上,有人认为下次出现反面向上的概率大于,这种理解正确吗?
解:不正确.掷一次硬币,作为一次试验,其结果是随机的,但通过做大量的试验,呈现一定的规律性,即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都为.连续5次正面向上这种结果是可能的,对下一次试验来说,仍然是随机的,其出现正面和反面的可能性还是,不会大于.
[研一题]
[例3] 为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,如200只,给每只天鹅作上记号且不影响其存活,然后放回保护区.经过适当的时间,让它们和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,如150只.查看其中有记号的天鹅,设有20只.试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.
[自主解答] 设保护区中天鹅的数量为n,假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护区中任捕一只,设事件A={捕到带有记号的天鹅},则P(A)=.
第二次从保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号,由概率的定义可知P(A)≈.
所以,≈,解得n≈1
500,
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1
500.
[悟一法]
利用频率近似等于概率的关系求未知量:
(1)抽出m个样本进行标记,设总体容量为n,则标记概率为;
(2)随机抽取n1个个体,出现其中m1个被标记,则标记频率为;
(3)用频率近似等于概率建立关系式≈;
(4)求出n≈,注意这个n值仅是真实值的近似.
[通一类]
3.为了估计水库中的鱼的条数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,如2
000条,给每条鱼作上记号且不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让它们和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,如500条,查看其中有记号的鱼,设有40条.试根据上述数据,估计水库中鱼的条数.
解:设水库中鱼的条数为n,从水库中任捕一条,捕到标记鱼的概率为.第二次从水库中捕出500条,带有记号的鱼有40条,则捕到带记号的鱼的频率(代替概率)为,由≈,得n≈25
000,所以水库中约有鱼25
000条.
一家保险公司连续多年对某城市出租车事故做了调查,发现出租车发生事故的频率总是在0.001左右.如果这个调查继续做下去,10年后发生事故的频率就会等于0.001(假定出租车发生事故都不会随着时间的改变而改变).你觉得这种看法对吗?说出你的理由.
[错解] 这种看法是正确的,10年后发生事故的频率等于0.001.
[错因] 频率会在某个常数附近摆动,随着试验次数的增加,摆动会越来越小,但不一定等于该常数.
[正解] 这种看法是错误的.随着试验次数的增加,频率会稳定于一个常数附近,这个常数就是概率,但稳定于不一定是等于,况且0.001未必是出租车发生事故的概率.
1.下列事件:
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形;
②经过有信号灯的路口,遇上红灯;
③从10个玻璃杯(其中8个正品,2个次品)中,任取3个,3个都是次品;
④下周六是晴天.
其中,是随机事件的是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析:①为必然事件;对于③,次品总数为2,故取到的3个不可能都是次品,所以③是不可能事件;②④为随机事件.
答案:D
2.在某市的天气预报中有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为90%”,这是指( )
A.明天该地区约有90%的地方会降水,其余地方不降水
B.明天该地区约有90%的时间会降水,其余时间不降水
C.在气象台的专家中,有90%认为明天会降水,其余专家认为不降水
D.明天该地区降水的可能性为90%
解析:明天降水的概率为90%指的是明天该地区降水的可能性为90%.
答案:D
3.在5张不同的彩票中有2张奖票,5个人依次从中各抽取1张,则每个人抽到奖票的概率( )
A.递减
B.递增
C.相等
D.不确定
解析:因为每个人获得奖票的概率均为,即抽到奖票的概率与抽取顺序无关.
答案:C
4.下列事件:①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1;②下周一某地的最高气温与最低气温相差10°C;③同时掷两枚大小相同的骰子,向上一面的两个点数之和不小于2;④射击一次,命中靶心;⑤当x为实数时,x2+4x+4<0.其中必然事件有________,不可能事件有________,随机事件有________.(填序号)
答案:③ ⑤ ①②④
5.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为1
000度,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若第二个月仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率是________.
解析:由频率定义可知用电量超过指标的频率为=0.4,频率约为概率.
答案:0.4
6.某质检员从一批种子中抽取若干组种子,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下(单位:粒):
种子粒数
25
70
130
700
2
000
3
000
发芽粒数
24
60
116
639
1
806
2
713
发芽率
(1)计算各组种子的发芽率,填入上表;(精确到0.01)
(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽率.
解:(1)种子发芽率从左到右依次为0.96,0.86,0.89,0.91,0.90,0.90.
(2)由(1)知,发芽率逐渐稳定在0.90,因此可以估计种子的发芽率为0.90.
一、选择题
1.“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A.买100张彩票就一定能中奖
B.买100张彩票能中一次奖
C.买100张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性为
答案:D
2.抛掷一枚骰子两次,用随机模拟方法估计上面的点数和为7的概率,共进行了两次试验,第一次产生了60组随机数,第二次产生了200组随机数,那么这两次估计的结果相比较( )
A.第一次准确
B.第二次准确
C.两次的准确率相同
D.无法比较
解析:用随机模拟方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确.
答案:B
3.下列结论正确的是( )
A.事件A发生的概率P(A)满足0<P(A)<1
B.事件A发生的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500
名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计有明显疗效的可能性为76%
D.某奖券的中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖
解析:A不正确,因为0≤P(A)≤1;B不正确,若事件A是必然事件,则P(A)=1;D不正确,某奖券的中奖率为50%,10张奖券可能会有5张中奖,但不一定会发生.
答案:C
4.给出下列三个命题,其中正确命题的个数为( )
①设有一批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面朝上,则硬币出现正面朝上的概率是;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①②③均不正确.
答案:A
5.在给病人动手术之前,外科医生会告知病人或家属一些情况,其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%,下列解释正确的是( )
A.100个手术有99个手术成功,有1个手术失败
B.这个手术一定成功
C.99%的医生能做这个手术,另外1%的医生不能做这个手术
D.这个手术成功的可能性是99%
解析:成功率大约是99%,说明手术成功的可能性是99%.
答案:D
二、填空题
6.一个口袋装有除颜色外其他均相同的白球、红球共100个,若摸出一个球为白球的概率为,则估计这100个球内,有白球________个.
解析:100×=75.
答案:75
7.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件:
①在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品;②在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品;③在这200件产品中任意选出9件,不全是二级品;④在这200件产品中任意选出9件,其中不是一级品的件数小于10;
其中________是必然条件;________是不可能事件;________是随机事件.
解析:200件产品中,8件是二级品,现从中任意选出9件,当然不可能全是二级品,不是一级品的件数最多为8,小于10.
答案:③④ ② ①
8.下列说法:
①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;
②甲乙两人做游戏:抛一枚骰子,向上的点数是奇数,甲胜,向上的点数是偶数,乙胜,这种游戏是公平的;
③乒乓球比赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;
④昨天没有下雨,则说明昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的.
其中正确的有________(填序号).
解析:对于②,甲胜、乙胜的概率都是,是公平的;对于④,降水概率为90%只说明下雨的可能性很大,但也可能不下雨,故④错误.
答案:①②③
三、解答题
9.高一(2)班有50名同学,其中男、女各25人,今有这个班的一个学生在街上碰到一位同班同学,试问:碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大?有人说可能性一样大,这种说法对吗?
解:这种说法不正确.这个同学在街上碰到的同班同学是除了自己以外的49个人中的一个,其中碰到同性同学有24种可能,碰到异性同学有25种可能,每碰到一个同学相当于做了一次试验,因为每次试验的结果是随机的,所以碰到异性同学的可能性大,碰到同性同学的可能性小.
10.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1
000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组
[500,900)
[900,1
100)
[1
100,1
300)
[1
300,1
500)
[1
500,1
700)
[1
700,1
900)
[1
900,+∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率.
解:(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1
500小时的频数是
48+121+208+223=600,
所以样本中寿命不足1
500小时的频率是=0.6,即灯管使用寿命不足1
500小时的概率约为0.6.