3.1.1 频率与概率 同步测试（含答案）

3.1.1
频率与概率
同步测试
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·日照高一检测)下列现象中,是随机事件的有　(　　)
①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;
②若a为整数,则a+1为整数;
③发射一颗炮弹,命中目标;
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.当a为整数时,a+1一定为整数,是必然现象,其余3个均为随机事件.
【变式训练】12个同类产品中含有2个次品,现从中任意抽出3个,不可能事件是　(　　)
A.3个都是正品
B.至少有一个是次品
C.3个都是次品
D.至少有一个是正品
【解析】选C.A,B都是随机事件,因为只有2个次品,所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件,“至少有一个是正品”是必然事件.
2.(2014·海口高一检测)下列事件中,不可能事件为　(　　)
A.钝角三角形两个小角之和小于90°
B.三角形中大边对大角,大角对大边
C.锐角三角形中两个内角和小于90°
D.三角形中任意两边的和大于第三边
【解题指南】根据三角形内角和定理、三角形的边角关系判断.
【解析】选C.若两内角的和小于90°,则第三个内角必大于90°,故不是锐角三角形,所以C为不可能事件,而A,B,D均为必然事件.
3.下列结论正确的是　(　　)
A.事件A的概率P(A)的值满足0B.如P(A)=0.999,则A为必然事件
C.灯泡的合格率是99%,从一批灯泡中任取一个,取到合格品的可能性为99%
D.如P(A)=0.001,则A为不可能事件
【解析】选C.根据必然事件和不可能事件的概念知,必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,从而排除A,B,D,故选C.
4.(2013·潍坊高一检测)从一批计算机中随机抽出100台进行质检,其中有10台次品,下列说法正确的是　(　　)
A.次品率小于10%
B.次品率大于10%
C.次品率接近10%
D.次品率等于10%
【解析】选C.本题中的=0.1只是一次试验的频率,而概率是多次试验中频率的稳定值,故选C.
【拓展延伸】在试验中感悟“频率稳定于概率”的规律
通过大量的课内和课外的反复试验,我们发现尽管随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性,但只要保持试验不变,当试验次数很大时,那么这一事件出现的频率就会随着试验次数的增大而趋于稳定,这个稳定值就可以作为该事件在每次试验中发生的可能性(即概率)的一个估计值.例如,从一副52张(没有大小王)的牌中每次抽出一张,然后放回洗匀再抽,在这个试验中,我们可以发现,虽然每次抽取的结果是随机的、无法预测的,是一个随机事件,但是随着试验次数的增加,出现每一种花色牌的频率都稳定在25%左右,因此我们可以用平稳时的频率估计牌在每次抽出时的可能性,即概率的大小.
5.(2013·开封高二检测)在抛掷一枚硬币的试验中共抛掷100次,“正面朝上”的频率为0.49,则“正面朝下”的次数是　(　　)
A.0.49
B.49
C.0.51
D.51
【解题指南】先求出“正面朝下”的频率,再求“正面朝下”的次数.
【解析】选D.由条件可知,“正面朝下”的频率为0.51,又共抛掷100次,所以“正面朝下”的次数是0.51×100=51.
6.(2014·曲师大附中高一检测)从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子里,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计结果如下:
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是　(　　)
A.0.53
B.0.5
C.0.47
D.0.37
【解析】选A.取到号码为奇数的卡片共有13+5+6+18+11=53(次),所以取到号码为奇数的频率为=0.53.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·泰州高一检测)给出下列事件:①明天进行的某场足球赛的比分是2∶1;②下周一某地的最高气温和最低气温相差10℃;③同时掷两枚骰子,向上一面的点数之和不小于2;④射击1次,命中靶心;⑤当x为实数时,x2+4x+4<0.其中,必然事件有________,不可能事件有________,随机事件有________.
【解析】要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的.第二步再看是一定发生,还是不一定发生,或是一定不发生,据此作出判断.
答案:③　⑤　①②④
8.(2014·海门高一检测)一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20
000部汽车,时间从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________.
【解析】在一年里汽车的挡风玻璃破碎的频率为=0.03,所以估计其破碎的概率约为0.03.
答案:0.03
9.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次10环,3次9环,4次8环,1次脱靶,在这次练习中,这个人中靶的频率是________,中9环的频率是________.
【解析】打靶10次,9次中靶,故中靶的频率为=0.9,其中3次中9环,故中9环的频率是=0.3.
答案:0.9　0.3
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.某射手在同一条件下进行射击,结果如表:
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
93
178
453
击中靶心频率
(1)计算表中击中靶心的各个频率.
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少
【解析】(1)如表
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
93
178
453
击中靶心频率
0.8
0.95
0.88
0.93
0.89
0.906
(2)根据频率与概率的关系,可以认为射手射击一次,击中靶心的概率约是0.91.
【变式训练】下表为某健康调查机构调查某地区各中学学生眼睛近视情况所得数据,其中n为调查人数,m为眼睛近视人数,为眼睛近视的频率.
n
100
120
150
160
200
m
29
36
48
40
62
0.29
0.30
a
0.25
0.31
则a=________,从该地区任选一名学生,该学生眼睛近视的概率约为________.
【解析】a==0.32,该地区学生眼睛近视的频率在0.30附近波动,所以从该地区任选一名学生,该学生眼睛近视的概率约为0.30.
答案:0.32　0.30
11.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个,在不将袋中球倒出来的情况下,分小组进行摸球试验,两人一组,共20组进行摸球试验.其中一位学生摸球,另一位学生记录所摸球的颜色,并将球放回袋中摇匀,每一组做400次试验,汇总起来后,摸到红球次数为
6
000次.
(1)估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率.
(2)请你估计袋中红球的个数.
【解析】(1)因为20×400=8
000,
所以摸到红球的频率为:=0.75,
因为试验次数很大,大量试验时,频率接近于理论概率,所以估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率是0.75.
(2)设袋中红球有x个,根据题意得:
=0.75,解得x=15,
经检验x=15是原方程的解.
所以估计袋中红球接近15个.
【拓展提升】
1.求概率的基本方法
(1)先求频率:频率=.
(2)用频率估计概率:当总试验次数较大时可以用频率估计概率.
2.概率的应用
利用“频率=”公式,已知频数和总试验次数及频率三个量中的两个就可求出另外一个.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·郑州高二检测)下列事件:
①如果a>b,那么a-b>0.
②任取一实数a(a>0且a≠1),函数y=logax是增函数.
③某人射击一次,命中靶心.
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中,摸出一球观察结果是黄球.
其中是随机事件的为　(　　)
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
【解析】选D.①是必然事件;②中a>1时,y=logax为增函数,0【变式训练】给出下列三个命题,其中正确命题的个数是　(　　)
①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;
②进行7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是;
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选A.概率只是说可能性的大小,故①不正确,②中的是频率而不是概率,③频率不等同于概率.
2.100件产品中,95件正品,5件次品,从中抽取6件:至少有2件正品;至少有3件次品;6件都是次品;有2件次品、4件正品.以上四个事件中,随机事件的个数是(　　)
A.3
B.4
C.2
D.1
【解析】选A.从95件正品,5件次品中抽取6件,在这个试验中所有可能结果为:6件正品,5件正品1件次品,4件正品2件次品,3件正品3件次品,2件正品4件次品,1件正品5件次品共计6种可能.从中抽取6件不会出现6件都是次品,所以6件都是次品为不可能事件.所以随机事件的个数是3.故选A.
【变式训练】在20支同型号钢笔中,有3支钢笔是次品,从中任意抽取4支钢笔,则以下事件是必然事件的是　(　　)
A.4支均为正品
B.3支为正品,1支为次品
C.3支为次品,1支为正品
D.至少有1支为正品
【解析】选D.因为仅有3支钢笔是次品,故抽样的结果有以下四种情况:4支全是正品,有1支次品,有2支次品,有3支次品.
3.(2014·德州高一检测)在1,2,3,…,10这10个数字中,任取3个数字,那么“这三个数字的和大于6”这一事件是　(　　)
A.必然事件
B.不可能事件
C.随机事件
D.以上选项均不正确
【解析】选C.因为从1～10中任取3个数字,其和大于或等于6,所以“三个数字的和大于6”可能发生,也可能不发生,故是随机事件.
【误区警示】在1,2,3,…,10这10个数字中任取3个数字,当所取得数字为1,2,3时,它们的和最小为6,这也是极易被忽视的地方,而误选A.
4.先从一副扑克牌中抽取5张红桃,4张梅花,3张黑桃,再从抽取的12张牌中随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这种事情　(　　)
A.可能发生
B.不可能发生
C.必然发生
D.无法判断
【解析】选C.因为12张牌中,红桃、梅花、黑桃中任两种的张数之和都小于10,故从12张扑克中抽取10张,三种牌一定都有.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·泰州高二检测)一袋中装有10个红球,8个白球,7个黑球,现在把球随机地一个一个摸出来,为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球,则k的最小值为________.
【解析】至少需摸完黑球和白球共15个.
答案:16
【误区警示】本题极易认为摸出所有的黑球和白球15个即可摸到红球,而忽视了摸完黑球和白球之后还必须再摸一次,才能摸到红球.
6.给出下列事件:
①同时掷四枚均匀硬币,至少有两枚“正面向上”;
②用4个不同的球任意投入4个不同的盒子内,每盒投入的球数不限,恰好有一空盒;
③有6个房间安排4个旅游者住宿,每人可以随意进任意一间,而且一个房间也可以住几个人,恰好4个房间中各有1人;
④某人有5把钥匙,其中有一把是打开房门的钥匙,但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙,于是他逐把不重复地试开,恰好第三次打开房门锁.
其中,随机事件的序号为________.
【解析】在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件是随机事件,这四个事件均符合随机事件的定义.
答案:①②③④
【举一反三】把本题中的④改为:“某人有5把钥匙,其中有一把是打开房门的钥匙,但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙,于是他逐把不重复地试开,第三次还没有打开房门锁”,那么该事件类型如何
【解析】这个人第三次不能打开房门锁可能发生,也可能不发生,故是随机事件.
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.10个学生中,男生有x人,现从10个学生中任选6人去参加某项活动.①至少有1个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生.当x为何值时,使得①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件
【解析】“至少有1个女生”为必然事件,则有x<6;
“5个男生,1个女生”为不可能事件,则有x<5或x=10;
“3个男生,3个女生”为随机事件,则有3≤x≤7;
综上所述,又由x∈N,可知x=3或x=4.
8.假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率.
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
【解题指南】根据频数分布直方图中的数据和其他已知数据计算有关频率作为概率的估计值.
【解析】(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,用频率估计概率,所以,甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品有75+70=145个,其中甲品牌产品是75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.