3.2.1 古典概型的特征和概率的计算公式 学案3（含答案）

3.2.1　古典概型的特征和概率计算公式
学案
[读教材·填要点]
1．古典概型
具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．
(1)有限性：即试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
(2)等可能性：即每一个试验结果出现的可能性相同．
2．古典概型概率公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的，如果试验的所有可能结果(基本事件数)为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为
P(A)＝＝.
[小问题·大思维]
1．掷一枚骰子共有多少种不同的结果？
提示：6种．
2．下列试验中，是古典概型的有(　　)
A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．从规格直径为(250±0.6)mm的一批合格产品中任意取一件，测量其直径
C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
提示：只有选项C具有：(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
[研一题]
[例1]　下列试验中是古典概型的是(　　)
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向正方形ABCD内随机抛掷一点，该点落在正方形内任意一点都是等可能的
D．在区间[0,6]上任取一点，求此点小于2的概率
[自主解答]　
选项
分析
结果
A
发芽与不发芽的概率不同
不是
B
摸到白球与黑球的概率都是
是
C
基本事件有无限个
不是
D
区间上有无穷多个点，不满足有限性
不是
[答案]　B
[悟一法]
判断一个试验是否为古典概型，关键是看该试验是否具有有限性和等可能性两个特征．
[通一类]
1．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人作演讲；
④一只使用中的灯泡寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的有________．
解析：①不属于，原因：所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因：命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因：显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因：灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因：该品牌月饼评为“优”与评为“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
答案：③
[研一题]
[例2]　先后抛掷两枚大小相同的骰子．求点数之和能被3整除的概率．
[自主解答]　先后抛掷两枚大小相同的骰子，结果如下：
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
共有36种不同的结果．
记“点数之和能被3整除”为事件A，则事件A包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(A)＝＝.
[悟一法]
[通一类]
2．袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
解：设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5、6.从袋中的6个球中任取两球的取法有：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，且每种取法都是等可能发生的．
(1)从袋中的6个球中任取两球，所取的两球全是白球的取法总数，即为从4个白球中任取两球的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
所以P(A)＝＝；
(2)从袋中的6个球中任取两球，其中一个是白球，另一个是红球的取法有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
所以P(B)＝.
有1号、2号、3号3个信箱和A、B、C、D
4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？
[错解]　每封信投入1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A投入1号或2号信箱的概率为＝.
[错因]　应该考虑A投入各个信箱的概率，而不能考虑成四封信投入某一信箱的概率．
[正解]　由于每封信可以任意投入信箱，对于A投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果，投入1号信箱或2号信箱有2种结果，所以所求概率为.
1．抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是5或6的概率是(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D．1
解析：掷一枚骰子出现向上的点数为1,2,3,4,5,6，共6种情况．P＝＝＝.
答案：B
2．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡片是7的倍数的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：∵n＝100，m＝14，
∴P＝＝＝.
答案：B
3．一枚硬币连掷2次，恰好出现一次正面的概率是(　　)
A.
B.
C.
D．0
解析：列举出所有基本事件，找出“只有一次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有一次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为＝.
答案：A
4．下列试验是古典概型的为________．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
③近三天中有一天降雨的概率
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．
③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．
答案：①②④
5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
解析：基本事件的总数为6×6＝36个，记事件A＝{(m，n)落在圆x2＋y2＝16内}，则A所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个．
∴P(A)＝＝.
答案：
6．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根意味着Δ＝(2a)2－4b2≥0，即a≥b.
基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个，其中第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值．而事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
一、选择题
1．下面是古典概型的是(　　)
A．任意抛掷两粒骰子，所得的点数之和作为基本事件
B．为求任取一个正整数，该正整数平方值的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C．从甲地到乙地共有n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
解析：对于A，所得点数之和为基本事件，个数虽有限但不是等可能发生的；对于B，D，基本事件的个数都是无限的；只有C是古典概型．
答案：C
2．下列对古典概型的说法中正确的是(　　)
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个基本事件出现的可能性相等；
④基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④
B．①③④
C．①④
D．③④
解析：②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．
答案：B
3．在5张卡片上分别写上数字1,2,3,4,5，然后将它们混合后，再任意排成一行，则得到的五位数能被2或5整除的概率是(　　)
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
解析：一个五位数能否被5整除关键看其个位数字，而由1,2,3,4,5组成的五位数中，1,2,3,4,5出现在个位是等可能的．所以个位数字的基本事件有1,2,3,4,5，“能被2或5整除”这一事件中含有基本事件2,4,5，概率为＝0.6.
答案：C
4．(2013·抚顺高一检测)从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　
　
B.
C.
D.
解析：从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P＝＝.
答案：A
5．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：从4张卡片中随机抽取2张，对应的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，故基本事件总数n＝6.且每个基本事件发生的可能性相等．设事件A＝“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”，则A中所含的基本事件为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，故m＝4，综上可知所求事件的概率P(A)＝＝.
答案：C
二、填空题
6．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
解析：三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，共3种．且等可能出现，则恰好排成英文单词BEE的概率为.
答案：
7．(2011·江苏高考)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
解析：采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为.
答案：
8．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷三次，恰好出现一次正面向上的概率是________．
解析：所有的基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8组．设“恰好出现1次正面向上”为事件A，则A包含(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，共3个基本事件，所以P(A)＝.
答案：
三、解答题
9．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋bx＋c＝0有实根”，则
A＝{(b，c)|b2－4c≥0，b，c＝1,2，…，6}．
而(b，c)共有
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，
共36组．
其中，可使事件A成立的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组．
故事件A的概率为P(A)＝.
10．(2012·山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.