3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式 教案1

3.2.1　古典概型的特征和概率计算公式
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解古典概型及其概率计算公式．
(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
2．过程与方法
根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题．
3.情感、态度与价值观
树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性的理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．
●重点难点
重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率．
难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
●教学建议
根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来．最后在例题中加入模型的展示，帮助学生突破教学难点．
●教学流程
创设情境，引入新课：以掷硬币试验为例考查事件的基本特点 教师引导学生分析探究事件的构成及特点，引出古典概型的概念并分析特点 通过例1及变式训练，使学生能掌握事件的构成，突出重点 通过例2及变式训练，使学生掌握简单古典概型的判断方法
引导学生完成例3及变式训练，使学生掌握古典概型的概率求法 归纳总结，知识升华，使学生系统的掌握本节知识并分层布置作业 完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈
课标解读
1.能记住古典概型的概念、两个基本特征及计算公式(重点)．2．掌握求基本事件总数的常用方法：列举法、树状图法、列表法等(重点)．3．会选择恰当的方法求古典概率模型的概率(难点).
知识1
古典概率模型的特征
【问题导思】　
1．掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
【提示】　(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．
2．掷一枚质地均匀的骰子，有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？
　【提示】　这个试验的基本事件有六个，正面出现的点数为1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性相等．
1．试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
2．每一个试验结果出现的可能性相同．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．
试验的每一个可能结果称为基本事件．
知识2
古典概型的概率公式
　对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝＝.
类型1
试验的基本事件
　一个盒子中装有4个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,5，有放回地取两次球．
(1)写出该试验的基本事件及基本事件总数；
(2)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件包含的基本事件．
【思路探究】　解答本题可先用列举法一一列举出来，再指出符合要求的基本事件．
【自主解答】　(1)这个试验包含的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)共有16个基本事件．
(2)“取出的两球上的数字之和是6”包含的基本事件有(1,5)，(3,3)，(5,1)三个．
1．本题中的基本事件是“有放回地取两次球”，每个事件也称一个试验结果，表达每种结果时，可依据有无顺序选用符号“{　　}”或“(　　)”．本题中由于是有放回摸出2只球，有先后顺序，故宜用“(　　)”表示每个基本事件，如(a，b)和(b，a)是两个结果．
2．用列举法列举所有基本事件时，要按一定的规律依次列举，避免重复和遗漏．另外树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求．
　随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天．
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？
(2)其中甲在乙之前的安排方法有多少种？
【解】　(1)作树状图如下：
甲乙—丙丙—乙　乙甲—丙丙—甲　丙甲—乙乙—甲
故不同的安排方法共有6种．
(2)由树状图得，甲在乙之前的排法有3种．
类型2
古典概型的判定
　(1)在数轴的0～3之间任取一点，你认为该试验是古典概型吗？为什么？若是，则求此点的坐标小于1的概率；
(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，你认为该试验是古典概型吗？为什么？若是，则求所取两数之一是2的概率．
【思路探究】　要判断试验是否为古典概型，只需看该试验中所有可能的结果是否为有限个；每个结果出现的可能性是否相同．
【自主解答】　(1)在数轴的0～3之间任取一点，此点可以在0～3之间的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型的特征“有限性”，因此不属于古典概型．
(2)因为此试验的所有基本事件共6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型，两数之一是2的概率为p＝＝.
1．列出随机试验的所有基本事件，进而求解相应事件概率．
2．判断是否为古典概型关键是看试验是否同时具备古典概型的两个特征．
　下列概率模型中，是古典概型的个数为(　　)
(1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；
(2)从[1,10]中任意取一个整数，求取到1的概率；
(3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；
(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；
第3个概率模型不是古典概型，而是以后将学的几何概型；
第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．
【答案】　A
类型3
古典概型概率的计算
　同时抛掷三枚质地均匀的硬币，计算：
(1)
恰有两枚出现正面的概率；
(2)至少有两枚出现正面的概率．
【思路探究】　先由古典概型的定义判断概型，然后由概率公式求解．
【自主解答】　依题意所有基本事件有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(1)用A表示“恰有两枚出现正面”这一事件，则事件A包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)三个基本事件，而基本事件总数共8个，故所求概率P(A)＝.
(2)用B表示“至少有两枚出现正面”这一事件，则事件B包含(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)四个基本事件，而基本事件总数共8个，故所求概率P(B)＝＝.
1．在列出所有可能出现的结果时应注意按一个确定的顺序．保证不重不漏．
2．古典概型概率计算的步骤是：首先判断试验是不是古典概型，若是，则用列举法列出所有基本条件：
(1)计算所有的基本事件数n；
(2)计算事件A包含的基本事件数m；
(3)计算P(A)，P(A)＝.
　将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，
(1)求点数之和是5的概率；
(2)设a，b分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求式子2a－b＝1成立的概率．
【解】　将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数分别记为(a，b)，则全部基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)
(1)点数之和是5的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以点数之和是5的概率是＝.
(2)由2a－b＝1可知a＝b，点数相等的基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，
所以式子2a－b＝1成立的概率是＝.
古典概型概念不清致误
　把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上、一枚反面向上的概率．
【错解】　三枚硬币掷出，所有可能的结果有2×2×2＝8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P＝.
【错因分析】　在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式P＝显然就是错误的．
【防范措施】　古典概型的计算务必紧扣它的两个特征有限、等可能．
【正解】　所求概率P＝.
解决古典概型应注意的问题
1．判断试验是否具有有限性和等可能性．
2．要分清基本事件总数n及事件A包含的基本事件数m，利用公式P(A)＝求解．
3．常用列举法、列表法、树状图法求基本事件总数.
1．下列事件属于古典概型是(　　)
A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件
B．篮球运动员投篮，观察他是否投中
C．测量一杯水中水分子的个数
D．在4个完全相同的小球中任取1个
【解析】　判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．
【答案】　D
2．广州亚运会要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C.
D.
【解析】　8名懂外文的志愿者中随机选1名有8个基本事件，“选到懂日文的志愿者”包含3个基本事件，因此所求概率为.
【答案】　A
3．(2013·重庆高考)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
【解析】　甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为＝.
【答案】　
4．一个口袋中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出2个球．
(1)写出该试验的基本事件及基本事件总数；
(2)求至少摸到1个黑球的概率．
【解】　(1)设2个白球编号为1,2,2个黑球编号为3,4，则基本事件是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有6个基本事件．
(2)设至少摸到1个黑球为事件A，则事件A包含的基本事件共有5个，
所以P(A)＝.
一、选择题
1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有(　　)
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
【解析】　两个孩子有先后出生之分，与顺序有关．如(男，女)和(女，男)是两种不同的结果．
【答案】　C
2．从1,2，…，9共9个数字中任取一个数字，取出的数字为偶数的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【解析】　1,2,3，…，9中共有5个奇数，4个偶数，故任取一个数字为偶数的概率为.
【答案】　C
3．下列随机事件的数学模型属于古典概型的是(　　)
A．在适宜的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点
C．某射击手射击一次，可能命中0环、1环、2环、…、10环
D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会
【解析】　利用古典概型的两个条件判断．在A中，事件“发芽”与事件“不发芽”发生的概率不一定相等，与古典概型的第二个条件矛盾；在B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点为无限个，从而有无限个结果，这与古典概型的第一个条件矛盾；在C中，命中0环、1环、2环、…、10环的概率都不一样．
【答案】　D
4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　由题意(m，n)的取值共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)这36种情况，而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3种情况，故所求概率为＝.
【答案】　D
5．(2013·课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为＝.
【答案】　B
二、填空题
6．(2013·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
【解析】　用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab，ac，bc，故所求概率为＝.
【答案】　
7．在1,2,3,4,5这5个自然数中，任取两个数，它们的积是偶数的概率是________．
【解析】　从5个自然数中任取两个数共有10种取法，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，若两个数的积是偶数，则这两个数中至少有一个是偶数，满足条件的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)共7种情况，故所求概率为.
【答案】　
8．若以连续掷两次均匀的骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率为________．
【解析】　基本事件的总数为6×6＝36(个)，设事件A＝“P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内”，则A所包含的基本事件有(1,1)、(2,2)、(1,3)、(1,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(2,1)共8个．所以P(A)＝＝.
【答案】　
三、解答题
9．一个口袋内装有大小、质地相同的1个白球和已有不同编号的3个黑球，从中任意摸出2个球．
(1)共有多少种不同的基本事件，这些基本事件是否为等可能的？该试验属于古典概型吗？
(2)摸出的2个球都是黑球记为事件A，问事件A包含几个基本事件；
(3)计算事件A的概率．
【解】　(1)任意摸出2球，共有“白球和黑球1”、“白球和黑球2”、“白球和黑球3”、“黑球1和黑球2”、“黑球1和黑球3”、“黑球2和黑球3”6个基本事件．因为4个球的大小、质地相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件是等可能的．由古典概型定义知这个试验属于古典概型．
(2)从4个球中摸出2个黑球包含3个基本事件，故事件A包含3个基本事件．
(3)因为试验中基本事件总数n＝6，而事件A包含的基本事件数m＝3，
所以P(A)＝＝＝.
10．(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
【解】　(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果如图：
由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
11．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析，并写出构成的汉字进行说明．
【解】　这个游戏对小慧有利．
每次游戏时，所有可能出现的结果如下(列表)：
第一张卡片第二张卡片
土
口
木
土
(土，土)
(土，口)
(土，木)
口
(口，土)
(口，口)
(口，木)
木
(木，土)
(木，口)
(木，木)
总共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”．所以小敏获胜的概率为，小慧获胜的概率为.
所以这个游戏对小慧有利．
(教师用书独具)
　一只口袋内装有大小相同的5个球，其中有3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．问：
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的2个球都是白球的概率是多少？
【自主解答】　(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2个球，有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示)：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．
因此，共有10个基本事件．
(2)如图所示，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2个白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，
故P(A)＝.
　甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙两人抽到的牌的所有可能情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，乙胜．你认为此游戏是否公平，请说明你的理由．
【解】　(1)甲、乙两人抽到的牌的所有可能情况(方片4用4′表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)(4,3)(4,4′)(4′，2)(4′，3)，(4′，4)，共12种．
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2或4或4′.所以乙抽到的数字大于3的牌只能是4或4′.所以乙抽出的牌面数字比3大的概率为.
(3)甲抽到的牌比乙抽到的牌大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，所以甲获胜的概率为P1＝，乙获胜的概率为P2＝1－＝.因为≠，所以此游戏不公平．