3.2.2 建立概率模型 教案2
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3.2.2 建立概率模型
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)使学生进一步掌握古典概型的概率计算公式．
(2)能建立概率模型解决实际问题．
2．过程与方法
根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．
3．情感、态度与价值观
概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．
重点：建立概率模型解决古典概型在实际生活中的应用．
难点：古典概型中比较复杂的背景问题的概率求值问题．
●教学建议
本节课是在学生已掌握了古典概型的定义及能够解决简单的概率求值问题的基础上学习的，教师可以例题为主线，通过学生自己动手发现问题，引导学生自主解决．
●教学流程
创设情境，引入新课，通过掷骰子试验建立古典概率模型 引导学生分析探究建立概率模型后每次试验的基本事件，掌握树状图是列举基本事件的常用方法 通过例1及变式训练掌握“有放回”与“不放回”的古典概型的区别及相应概率的求法与技巧 通过例2及变式训练掌握运用树状图解决“有序”与“无序”的古典概型的方法技巧 通过例3及变式训练，使学生掌握运用数形结合的方法解决所建立概率模型的技巧 归纳整理课堂小结，整体把握本节知识 完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.进一步掌握古典概型的概率计算公式(重点)．2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决(重点、难点).
知识1
由概率模型认识古典概型
【问题导思】
如何观察分析试验中的等可能结果？
【提示】 一次试验中的“等可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的，例如：甲、乙、丙三名同学排成一
排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位来看，则只有三种结果，即站左边、中间或右边．
1．一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．
2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．
3．树状图是进行列举的一种常用方法.
类型1
“有放回”与“不放回”的古典概型
从含有两件正品a1、a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次：
(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；
(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．
【思路探究】 分别利用列举法列举出可能出现的条件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．
【自主解答】 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件A由4个基本事件组成．因而P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝.
1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．
2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．
一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，
如果：(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的．
求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
【解】 设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．
(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P(A)＝＝＝.
(2)有放回取球时，总的基本事件为100，故P(A)＝＝.
类型2
“有序”与“无序”的古典概型
图3－2－1
用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
【思路探究】 由涂色的有序性可画出树状图解题．
【自主解答】 所有可能的基本事件共有27个，如图所示：
红红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄黄红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄蓝红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄
(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有3个，故P(A)＝＝.
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图知，事件B的基本事件有6个，故P(B)＝＝.
1．本题列出全部可能的结果采用的是树状图，对于试验结果不太多的情况，都可采用此法．
2．列出基本事件时要注意问题是否与顺序有关．
将甲、乙两枚骰子先后各抛掷一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所得的点数，若把点P(a，b)落在不等式组所表示的平面区域的事件记为A，求P(A)．
【解】 利用直角坐标系表示基本事件数及不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由图可知基本事件数为36个，落在不等式组所表示的平面区域的点共有6个，所以P(A)＝＝.
类型3
建立概率模型
先后抛掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
【思路探究】 明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求出，可借图来确定基本事件总数．
【自主解答】 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出事件A包含的基本事件共6个，(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，故P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”为事件B.从图中可以看出事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)，故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个，(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，故P(C)＝＝.
1．求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便准确地找出某事件所包含的基本事件总数．
2．数形结合能使解决问题的过程变得形象直观，给问题的解决带来方便．
某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？
【解】 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A，B，C，D，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E.
男结果女
1
2
3
A
(A,1)
(A,2)
(A,3)
B
(B,1)
(B,2)
(B,3)
C
(C,1)
(C,2)
(C,3)
D
(D,1)
(D,2)
(D,3)
由上表可知，可能结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝＝.
知识性错误致误
设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球．
(1)求这2只球都是白球的概率；
(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率．
【错解】 一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况．
(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A＝{(白，白)}，所以P(A)＝.
(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B＝{(白，黑)}，所以P(B)＝.
【错因分析】 在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的．
【防范措施】 弄清基本事件总数有哪些，注意每个基本事件的出现是等可能的．
【正解】 我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30个．
(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12个．
所以P(A)＝＝.
(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}，共16个．
所以P(B)＝＝.
1．注意区分古典概型中有无放回及有无顺序问题．
2．建立概率模型，常用列举法、列表法、树状图法求出基本事件的总数，从而解决问题．
1．下列不属于古典概型的性质的是( )
A．所有基本事件的个数是有限个
B．每个基本事件发生的可能性相等
C．任两个基本事件不能同时发生
D．可能有2个基本事件发生的可能性不相等
【解析】 古典概型的特征之一就是每个基本事件发生的可能性相等．
【答案】 D
2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，∴其概率P＝.
【答案】 A
3．从1,2,3，…，20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从1,2,3，…，20中任取一个数共有20种基本事件，其中是3的倍数是3,6,9,12,15,18共6种基本事件，由古典概型概率公式得是3的倍数的概率是＝.
【答案】 C
4．一个家庭中有两个小孩，设生男还是生女是等可能的，求此家庭中两小孩均为女孩的概率．
【解】 所有的基本事件是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)共4个，均为女孩的基本事件只有1个，故此家庭中两个均为女孩的概率为P＝＝0.25.
一、选择题
1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 由古典概型的计算公式得P(A)＝＝.
【答案】 C
2．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a，从{1,2,3}中随机选一个数为b
，则b>a的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选一个数b，共有以下不同结果：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种．
其中满足b>a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)三种，所以b>a的概率为＝，故选D.
【答案】 D
3．将一颗均匀的正方体骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c，则方程x2＋bx＋c＝0有相等的实根的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 方程x2＋bx＋c＝0有相等实根，故Δ＝b2－4c＝0即b2＝4c.基本事件总数为6×6＝36.当b＝4，c＝4或b＝2，c＝1时，b2＝4c成立，故P＝＝.
【答案】 D
4．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 从5张卡片中任取2张的基本事件总数为10，而恰好按字母顺序相邻的基本事件共有4个，故此事件的概率为＝.
【答案】 B
5．(2013·咸阳检测)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有＝18(对)，而相互垂直的有5对，故根据古典概型概率公式得P＝.
【答案】 C
二、填空题
6．先后抛掷两枚均匀的骰子，记骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
【解析】 解决本题的关键是对方程log2xy＝1的分析．先从由1,2,3,4,5,6组成的有序实数对中找到满足方程的个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
由于满足log2xy＝1即2x＝y的(x，y)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，又该试验有36个等可能发生的基本事件，所以所求概率为＝.
【答案】
7．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
【解析】 因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P＝.
【答案】
8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．
【解析】 在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形只有正六边形的对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，
∴概率为＝.
【答案】
三、解答题
9．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
【解】 (1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．
所以P(B)＝＝.
10．一只口袋中有形状、大小都相同的6只小球，其中有2只白球、2只红球和2只黄球．从中一次随机摸出2只球，试求：
(1)2只球同色的概率；
(2)“恰有1只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的多少倍．
【解】 把6只小球分别标号，2只白球分别标为白1，白2；2只红球分别标为红1，红2；2只黄球分别标为黄1，黄2.则所有可能的结果如图所示：
由图知，所有可能的结果共有15种．
(1)记“2只球同色”为事件B，则B有3种可能结果，所以事件B的概率为P(B)＝＝.
(2)记“恰有1只是白球”为事件C，“2只球都是白球”为事件D，则事件C有8种可能结果，事件D有1种可能结果，所以P(C)＝，P(D)＝.
所以“恰有一只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的8倍．
11．(2013·北京高考)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
图3－2－1
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
【解】 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
(教师用书独具)
甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)．求一次出拳游戏中：
(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率．
【解】 甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法．一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能出现的，所以一次游戏(试验)是古典概型，它的基本事件总数为9.
平局的含义是两人出法相同．例如都出了锤子．甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀，甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这3种情况．乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这3种情况．
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.由图容易得到：
(1)平局含3个基本事件(图中的△)P(A)＝＝；
(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝＝；
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)，P(C)＝＝.
将一粒骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：
(1)共有多少种不同的结果？
(2)两点数的和是3的倍数的结果有多少种？
(3)两点数的和是3的倍数的概率是多少？
【解】 (1)将一粒骰子先后抛掷两次，用(x，y)表示掷得的结果，其中x表示第一次掷得的结果，y表示第二次掷得的结果，则所有的结果是：(1,1)，(1,2)(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种等可能出现的结果；
(2)两点数的和是3的倍数的结果有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共有12种结果；
(3)记“两点数的和为3的倍数”为事件A，则事件A包含的结果有12种，所以所求的概率为P(A)＝＝.
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)使学生进一步掌握古典概型的概率计算公式．
(2)能建立概率模型解决实际问题．
2．过程与方法
根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．
3．情感、态度与价值观
概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．
重点：建立概率模型解决古典概型在实际生活中的应用．
难点：古典概型中比较复杂的背景问题的概率求值问题．
●教学建议
本节课是在学生已掌握了古典概型的定义及能够解决简单的概率求值问题的基础上学习的，教师可以例题为主线，通过学生自己动手发现问题，引导学生自主解决．
●教学流程
创设情境，引入新课，通过掷骰子试验建立古典概率模型 引导学生分析探究建立概率模型后每次试验的基本事件，掌握树状图是列举基本事件的常用方法 通过例1及变式训练掌握“有放回”与“不放回”的古典概型的区别及相应概率的求法与技巧 通过例2及变式训练掌握运用树状图解决“有序”与“无序”的古典概型的方法技巧 通过例3及变式训练，使学生掌握运用数形结合的方法解决所建立概率模型的技巧 归纳整理课堂小结，整体把握本节知识 完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.进一步掌握古典概型的概率计算公式(重点)．2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决(重点、难点).
知识1
由概率模型认识古典概型
【问题导思】
如何观察分析试验中的等可能结果？
【提示】 一次试验中的“等可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的，例如：甲、乙、丙三名同学排成一
排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位来看，则只有三种结果，即站左边、中间或右边．
1．一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．
2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．
3．树状图是进行列举的一种常用方法.
类型1
“有放回”与“不放回”的古典概型
从含有两件正品a1、a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次：
(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；
(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．
【思路探究】 分别利用列举法列举出可能出现的条件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．
【自主解答】 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件A由4个基本事件组成．因而P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝.
1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．
2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．
一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，
如果：(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的．
求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
【解】 设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．
(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P(A)＝＝＝.
(2)有放回取球时，总的基本事件为100，故P(A)＝＝.
类型2
“有序”与“无序”的古典概型
图3－2－1
用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
【思路探究】 由涂色的有序性可画出树状图解题．
【自主解答】 所有可能的基本事件共有27个，如图所示：
红红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄黄红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄蓝红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄
(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有3个，故P(A)＝＝.
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图知，事件B的基本事件有6个，故P(B)＝＝.
1．本题列出全部可能的结果采用的是树状图，对于试验结果不太多的情况，都可采用此法．
2．列出基本事件时要注意问题是否与顺序有关．
将甲、乙两枚骰子先后各抛掷一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所得的点数，若把点P(a，b)落在不等式组所表示的平面区域的事件记为A，求P(A)．
【解】 利用直角坐标系表示基本事件数及不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由图可知基本事件数为36个，落在不等式组所表示的平面区域的点共有6个，所以P(A)＝＝.
类型3
建立概率模型
先后抛掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
【思路探究】 明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求出，可借图来确定基本事件总数．
【自主解答】 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出事件A包含的基本事件共6个，(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，故P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”为事件B.从图中可以看出事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)，故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个，(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，故P(C)＝＝.
1．求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便准确地找出某事件所包含的基本事件总数．
2．数形结合能使解决问题的过程变得形象直观，给问题的解决带来方便．
某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？
【解】 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A，B，C，D，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E.
男结果女
1
2
3
A
(A,1)
(A,2)
(A,3)
B
(B,1)
(B,2)
(B,3)
C
(C,1)
(C,2)
(C,3)
D
(D,1)
(D,2)
(D,3)
由上表可知，可能结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝＝.
知识性错误致误
设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球．
(1)求这2只球都是白球的概率；
(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率．
【错解】 一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况．
(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A＝{(白，白)}，所以P(A)＝.
(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B＝{(白，黑)}，所以P(B)＝.
【错因分析】 在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的．
【防范措施】 弄清基本事件总数有哪些，注意每个基本事件的出现是等可能的．
【正解】 我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30个．
(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12个．
所以P(A)＝＝.
(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}，共16个．
所以P(B)＝＝.
1．注意区分古典概型中有无放回及有无顺序问题．
2．建立概率模型，常用列举法、列表法、树状图法求出基本事件的总数，从而解决问题．
1．下列不属于古典概型的性质的是( )
A．所有基本事件的个数是有限个
B．每个基本事件发生的可能性相等
C．任两个基本事件不能同时发生
D．可能有2个基本事件发生的可能性不相等
【解析】 古典概型的特征之一就是每个基本事件发生的可能性相等．
【答案】 D
2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，∴其概率P＝.
【答案】 A
3．从1,2,3，…，20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从1,2,3，…，20中任取一个数共有20种基本事件，其中是3的倍数是3,6,9,12,15,18共6种基本事件，由古典概型概率公式得是3的倍数的概率是＝.
【答案】 C
4．一个家庭中有两个小孩，设生男还是生女是等可能的，求此家庭中两小孩均为女孩的概率．
【解】 所有的基本事件是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)共4个，均为女孩的基本事件只有1个，故此家庭中两个均为女孩的概率为P＝＝0.25.
一、选择题
1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 由古典概型的计算公式得P(A)＝＝.
【答案】 C
2．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a，从{1,2,3}中随机选一个数为b
，则b>a的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从{1,2,3}中随机选一个数b，共有以下不同结果：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种．
其中满足b>a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)三种，所以b>a的概率为＝，故选D.
【答案】 D
3．将一颗均匀的正方体骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c，则方程x2＋bx＋c＝0有相等的实根的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 方程x2＋bx＋c＝0有相等实根，故Δ＝b2－4c＝0即b2＝4c.基本事件总数为6×6＝36.当b＝4，c＝4或b＝2，c＝1时，b2＝4c成立，故P＝＝.
【答案】 D
4．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 从5张卡片中任取2张的基本事件总数为10，而恰好按字母顺序相邻的基本事件共有4个，故此事件的概率为＝.
【答案】 B
5．(2013·咸阳检测)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有＝18(对)，而相互垂直的有5对，故根据古典概型概率公式得P＝.
【答案】 C
二、填空题
6．先后抛掷两枚均匀的骰子，记骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
【解析】 解决本题的关键是对方程log2xy＝1的分析．先从由1,2,3,4,5,6组成的有序实数对中找到满足方程的个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
由于满足log2xy＝1即2x＝y的(x，y)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，又该试验有36个等可能发生的基本事件，所以所求概率为＝.
【答案】
7．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
【解析】 因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P＝.
【答案】
8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．
【解析】 在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形只有正六边形的对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，
∴概率为＝.
【答案】
三、解答题
9．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间
[10,20)
[20,30)
[30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
【解】 (1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．
所以P(B)＝＝.
10．一只口袋中有形状、大小都相同的6只小球，其中有2只白球、2只红球和2只黄球．从中一次随机摸出2只球，试求：
(1)2只球同色的概率；
(2)“恰有1只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的多少倍．
【解】 把6只小球分别标号，2只白球分别标为白1，白2；2只红球分别标为红1，红2；2只黄球分别标为黄1，黄2.则所有可能的结果如图所示：
由图知，所有可能的结果共有15种．
(1)记“2只球同色”为事件B，则B有3种可能结果，所以事件B的概率为P(B)＝＝.
(2)记“恰有1只是白球”为事件C，“2只球都是白球”为事件D，则事件C有8种可能结果，事件D有1种可能结果，所以P(C)＝，P(D)＝.
所以“恰有一只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的8倍．
11．(2013·北京高考)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
图3－2－1
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
【解】 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
(教师用书独具)
甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)．求一次出拳游戏中：
(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率．
【解】 甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法．一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能出现的，所以一次游戏(试验)是古典概型，它的基本事件总数为9.
平局的含义是两人出法相同．例如都出了锤子．甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀，甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这3种情况．乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这3种情况．
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.由图容易得到：
(1)平局含3个基本事件(图中的△)P(A)＝＝；
(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝＝；
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)，P(C)＝＝.
将一粒骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：
(1)共有多少种不同的结果？
(2)两点数的和是3的倍数的结果有多少种？
(3)两点数的和是3的倍数的概率是多少？
【解】 (1)将一粒骰子先后抛掷两次，用(x，y)表示掷得的结果，其中x表示第一次掷得的结果，y表示第二次掷得的结果，则所有的结果是：(1,1)，(1,2)(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种等可能出现的结果；
(2)两点数的和是3的倍数的结果有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共有12种结果；
(3)记“两点数的和为3的倍数”为事件A，则事件A包含的结果有12种，所以所求的概率为P(A)＝＝.